高中數(shù)學-兩角和與差的余弦教學設計學情分析教材分析課后反思

教學設計教材分析是三角函數(shù)定義、誘導公式等知識的延伸，也是后繼內(nèi)容二倍角公式、和差化積、積化和差公式等知識的基礎，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡求值問題的解決有重要支撐作用。其中，兩角和與差的余弦公式的探索和證明是本節(jié)的重點和難點。作為第一節(jié)課，引導學生通過合作、交流、探索并推導兩角差的余弦公式是本節(jié)課的重點，為后續(xù)的恒等變換學習打下良好的基礎。學情分析本課時面對的是高一的學生，學生在學習本節(jié)課之前，已學習了三角函數(shù)的定義、誘導公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，為本節(jié)課的學習建立了良好的知識基礎，因此借助誘導公式的兩角和與差的特殊形式進行引入，為學生學習任意角的兩角差的余弦公式做了很好的鋪墊。同時，高一的學生數(shù)學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學生對未知世界的探索有主動意識，對新知識充滿探求的渴望，但應用已有知識解決問題的能力還處于初期，需要進一步提高。在本節(jié)課中分析兩角差的余弦公式的證明思路和方法時，通過引導學生思考單位圓，在單位圓中表示點坐標，然后可以通過學生自己合作探究得到其中的關系，留給學生一定的時間去思考，教師只需要做適當?shù)狞c撥。教學目標知識與技能目標：掌握點到直線的距離公式，了解和差公式的推導過程并能夠從正反兩個方面解決簡單應用問題。方法與過程目標：培養(yǎng)學生自主探究的意識和解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀目標：通過探究深化對知識的理解和掌握，引導學生主動參與，激發(fā)學習興趣和欲望，給學生創(chuàng)造學習的機會。4、學習方法自主學習法，合作學習法，探究學習法，練習法5、教學過程教師活動學生活動設計意圖一、引入新知教師：在同學們初中階段的學習中，我們借助直角三角形學習了特殊銳角的三角函數(shù)，知道了某些特殊銳角的三角函數(shù)值，比如等。隨著對角的概念進行推廣，我們學習了任意角的三角函數(shù)的定義，隨著對定義的探索和研究，我們又學習了同角三角函數(shù)關系式，誘導公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等相關知識，其中誘導公式的應用非常常見，我們不難發(fā)現(xiàn)，對于這樣形式的復角來說，它們的余弦值與的三角函數(shù)值之間有著密切的關系，將它進一步推廣一下，用替換這里的特殊角，那么對于這樣的和角或差角而言，它們的三角函數(shù)值是否也與角的三角函數(shù)值有關呢？這就是我們本節(jié)課所要探究的內(nèi)容。(板書課題)學生觀看PPT上流程圖，復習回顧并梳理所學知識。從學生已有的知識入手，通過復習定義和誘導公式等知識，從特殊角到任意角，符合學生的認知規(guī)律也有利于學生構造知識體系。同時，強調(diào)定義也可以加強學生對定義的認識。新知探究問題一：如何求解？能否直接求解，如果不能，它可能等于什么?問題二：能不能說？小組討論一下師：通過討論我們可以得到這個式子不是一個恒成立的式子，但事實上也存在著某對特殊的角度使這個式子成立，請同學們課后回去找一找有沒有使之成立的角度。師：與之間到底有怎樣的關系呢？我們在探究一般性結論時通常采取什么樣的方法??？請同學們通過這一組表格來猜想他們具有怎樣的關系。師：我們通過兩組特殊值猜想了一下兩角差的余弦公式，但有同學認為兩組值不太能夠說明，因此我們再用幾何畫板來驗證幾組數(shù)值試一試。（幾何畫板驗證）概念形成師：請同學們觀察一下所猜想的式子，這個式子中包含了哪幾個角？包含了哪幾個三角函數(shù)值?師：如何通過我們現(xiàn)階段所學知識，表示出角和三角函數(shù)值呢？小組活動并討論如何表示角以及角的三角函數(shù)值，教師巡視并觀察學生所出現(xiàn)的問題。對小組討論進行反饋。師：有了兩角差的余弦公式，能不能得到兩角和的余弦公式呢？師：觀察兩個公式，你能從兩個公式中發(fā)現(xiàn)它結構特征的相同點和不同點么？師生共議總結為：同名異號。同時需要注意公式中的角都為任意角。四、鞏固練習師：利用兩角和與差的余弦公式，我們可以解決我們之前學習中無法解決的問題，如非特殊角的三角函數(shù)值，你能求出cos15°，cos75°的值么？除了公式的正用，公式的逆用也非常重要。例題二：師：找學生上投屏講解，并及時反饋出題目中的易錯點和解題規(guī)范。例題三：已知,,,是第三象限角，求生：學生交流討論。生:通過交流，帶特殊值的方法，可以發(fā)現(xiàn)(其他特殊值例子均可）生：從特殊到一般：（也有學生說出對于第一行存在著關系式：，此時引導學生找尋第二行的關系，探究是否滿足與第一行同樣的關系）生：正弦余弦值。生：利用單位圓表示。學生展示討論結果：生：在直角坐標系中,以軸為始邊分別作角終邊分別與單位圓交于A,B,則表示為，學生做出新的角構造出令新的交點為D。生：要證明這個式子要找到其中的等量關系,可以看出線段BD和線段AC長度相等。可以利用兩點間距離公式。表示并化簡。生：生：都是余弦余弦相乘，正弦和正弦相乘，其次符號是相反的。生：生：做題展示做法生：做題，展示做法引導學生思考，證明不成立的結論時可以采用舉反例的方法。同時明確索要研究的問題，盡量具體化，激發(fā)學生的研究興趣，通過問題引導學生的思考方向。通過學生的自主探究猜想得到結論，培養(yǎng)學生思考和表達的能力，體會“由特殊到一半的數(shù)學思想方法。以學生的探索活動為主線，突出了學生的主體地位，使學生通過自主推導公式提高思維水平及分析問題解決問題的能力。在研究過程中也培養(yǎng)了學生的探索精神和團結合作的能力。自主總結公式的結構特征，加強公式的記憶?；乜蹌偛诺囊耄俅螁l(fā)學生將非特殊角轉化為特殊角進行求值。分別通過正用和逆用兩類題目鞏固新知。通過對不同例題的解答，師生合作，學生進一步歸納出在解決問題時需要注意問題，加深對公式的記憶和理解。五、反思總結，作業(yè)布置。1、歸納推導公式時所用到的數(shù)學思想方法：數(shù)形結合，從特殊到一般等。2、歸納解決問題中用到的一般方法尋找題目之間的聯(lián)系。由學生談體會。師生合作小結能夠進一步歸納出過程與方法，讓學生對自主學習過程有深刻的感受和多方面的收獲。作業(yè)布置課本217頁練習題完成教學反思本節(jié)課是典型的公式教學模式，是在學生已有的任意角三角函數(shù)的定義和誘導公式的基礎上進行的，因此本節(jié)課的設計流程是“回顧引入——探究猜想——推導轉化——分析記憶——應用提升——課堂小結——延申新知”它充分展示了公式教學中以學生為主體，主動探求數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程。同時發(fā)揮教師的引導作用，在關鍵地方設置問題引導學生用舊知識推證新知識。在本節(jié)課中，兩角差公式的證明過程是本節(jié)課的難點，如何引導學生自己去探索證明公式而不是老師牽著學生的鼻子走是本節(jié)課的一大難題。我認為在研究過程中，應該讓學生自己參與到整個的探究過程中，在研究過程中，能發(fā)現(xiàn)哪些結論？這些結論能幫我解決什么問題？通過設置問題引導學生自己去發(fā)現(xiàn)、探索，再通過小組討論和分析的方式進行學習，最終解決問題。此外，通過猜想——質(zhì)疑——求證的過程，學生的思維嚴密性和邏輯推理性都會大大得到提高，對今后的學習生活起著至關重要的作用。通過上述反思，我發(fā)現(xiàn)對于一堂課，設計的關鍵是要把握好課程標準的前提下，依據(jù)課程標準，通過問題來幫助學生突破重難點，如何在課堂中精準發(fā)問，幫助學生拓展思路突破重難點是我在今后的課堂中要繼續(xù)努力和加強的。學情分析本課時面對的是高一的學生，學生在學習本節(jié)課之前，已學習了三角函數(shù)的定義、誘導公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，為本節(jié)課的學習建立了良好的知識基礎，因此借助誘導公式的兩角和與差的特殊形式進行引入，為學生學習任意角的兩角差的余弦公式做了很好的鋪墊。同時，高一的學生數(shù)學表達能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學生對未知世界的探索有主動意識，對新知識充滿探求的渴望，但應用已有知識解決問題的能力還處于初期，需要進一步提高。在本節(jié)課中分析兩角差的余弦公式的證明思路和方法時，通過引導學生思考單位圓，在單位圓中表示點坐標，然后可以通過學生自己合作探究得到其中的關系，留給學生一定的時間去思考，教師只需要做適當?shù)狞c撥。效果分析本節(jié)課的教學是讓學生在學習了三角函數(shù)的定義和誘導公式的基礎上，探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的余弦公式，并通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學生運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力。引入環(huán)節(jié)：本節(jié)課是三角恒等變換的第一課時，本節(jié)課學習效果很大程度與后續(xù)的學習息息相關，因此設計最普通的復習導入，期望喚醒學生與之前所學習的知識的聯(lián)系。同時，本節(jié)課兩角差公式的驗證需要借助三角函數(shù)的幾何意義來理解，因此以復習導入幫助學生回顧上節(jié)課內(nèi)容非常有必要。新授環(huán)節(jié)：采用從特殊到一半方法，引導學生從通過對特殊值的討論和歸納總結，然后猜想兩角差的余弦公式可能是什么形式，怎樣驗證。在驗證過程中，引導學生借助猜想出的公式的結構特征，從角和三角函數(shù)值入手，引導學生借助單位圓以及在單位圓中點的坐標表示并進行討論，從而構建出相等的兩個角，利用兩點間距離公式來化簡解決問題。整個環(huán)節(jié)都是從學生的認知出發(fā)，使得學生很容易接受。練習環(huán)節(jié)：為了趁熱打鐵，鞏固練習環(huán)節(jié)選擇了三類題型，包括正向拆角求值、公式的逆用求值和三角函數(shù)給值求值的問題。這三類題型是兩角和與差余弦公式這一節(jié)里比較有代表性的題目，而且每一類題型都有獨特的解題思路。學生通過做題體會題目中的相同與不同，再次對公式的結構特征加深了印象。最后的鞏固提升環(huán)節(jié)，教師又通過拋出新問題，引入新的研究話題，引起學生的思考?？傮w來說，這節(jié)課的課堂效果較好。數(shù)學研究本就是一種創(chuàng)造性的勞動，學生在學習中鍛煉了邏輯推理能力和數(shù)學運算能力?！白寣W生學會求知”比讓學生掌握知識本身更為重要。教材分析本節(jié)課是人教A版數(shù)學必修一第五章第五節(jié)第一課時的內(nèi)容，是本章的重要內(nèi)容，是三角函數(shù)定義、誘導公式等知識的延伸，也是后繼內(nèi)容二倍角公式、和差化積、積化和差公式等知識的基礎，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡求值問題的解決有重要支撐作用。其中，兩角和與差的余弦公式的探索和證明是本節(jié)的重點和難點。作為第一節(jié)課，引導學生通過合作、交流、探索并推導兩角差的余弦公式是本節(jié)課的重點，為后續(xù)的恒等變換學習打下良好的基礎。評測練習1.利用公式證明：（1）；（2）2.利用公式求的值.3..4..5..6.已知，求的值.7.已知是第二象限角，，求的值.8.已知，求的值.9.已知，求的值.10.已知為銳角，且，求的值.課后反思本節(jié)課是典型的公式教學模式，是在學生已有的任意角三角函數(shù)的定義和誘導公式的基礎上進行的，因此本節(jié)課的設計流程是“回顧引入——探究猜想——推導轉化——分析記憶——應用提升——課堂小結——延申新知”它充分展示了公式教學中以學生為主體，主動探求數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程。同時發(fā)揮教師的引導作用，在關鍵地方設置問題引導學生用舊知識推證新知識。在本節(jié)課中，兩角差公式的證明過程是本節(jié)課的難點，如何引導學生自己去探索證明公式而不是老師牽著學生的鼻子走是本節(jié)課的一大難題。我認為在研究過程中，應該讓學生自己參與到整個的探究過程中，在研究過程中，能發(fā)現(xiàn)哪些結論？這些結論能幫我解決什么問題？通過設置問題引導學生自己去發(fā)現(xiàn)、探索，再通過小組討論和分析的方式進行學習，最終解決問題。此外，通過猜想——質(zhì)疑——求證的過程，學生的思維嚴密性和邏輯推理性都會大大得到提高，對今后的學習生活起著至關重要的作用。通過上述反思，我發(fā)現(xiàn)對于一堂課，設計的關鍵是要把握好課程標準的前提下，依據(jù)課程標準，通過問題來幫助學生突破重難點，如何在課堂中精準發(fā)問，幫助學生拓展思路突破重難點是我在今后的課堂中要繼續(xù)努力和加強的。課標分析課標要求：經(jīng)歷兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義；能從兩角差余弦公式推導出兩角和余弦公式，了解他們的內(nèi)在聯(lián)系；能利用兩角和與差的余弦公式進行簡單的恒等變換。課程定位：本節(jié)課是任意角三角函數(shù)和誘導公式等知識的延申，同時又是后面三角恒等變換的基礎，對于三角變換，化簡求值和恒等式證明問題的解決具有重要支撐作用，起承上啟下的作用。三、基