2020-2021學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

試題數(shù)：25，總分：100

1.（單選題，3分）函數(shù)y=（x+1）2-2的最小值是（

）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

2.（單選題，3分）下面是利用圖形變化的知識設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案，其中既是軸對稱圖形，

又是中心對稱圖形的是（

）

A.

B.

C.

D.

3.（單選題，3分）若一個(gè)扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的面積為（

A.3?

2

）

B.3

C.6

D.9

4.（單選題，3分）點(diǎn)A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函數(shù)?=2圖象上的三

?

個(gè)點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

A.y3＜y2＜y1

）

B.y1＜y3＜y2

C.y2＜y3＜y1

D.y3＜y1＜y2

5.（單選題，3分）直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示．若管內(nèi)有積水（陰影部

分），水面寬AB為8分米，則積水的最大深度CD為（

）

A.2分米

B.3分米

C.4分米

D.5分米

6.（單選題，3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象是拋物線G，自變量x與函數(shù)y的

部分對應(yīng)值如下表：

x

y

下列說法正確的是（

A.拋物線G的開口向下

B.拋物線G的對稱軸是直線x=-2

C.拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）

D.當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而增大

7.（單選題，3分）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，

BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）

-5

4

）

-4

-3

-2

-2

-2

-1

4

A.∠ACB=90°

B.∠BDC=∠BAC

C.AC平分∠BAD

D.∠BCD+∠BAD=180°

8.（單選題，3分）函數(shù)y=1+

2

1

?2

的圖象如圖所示，若點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是該函

數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A.x10，x20

B.y1＞1，y2＞1

2

2

C.若y1

2，則|x1|=|x2|

D.若y1＜y2，則x1＜x2

9.（填空題，3分）將拋物線y=x2向下平移2個(gè)單位長度，平移后拋物線的解析式為___．

10.（填空題，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，AC，BE交于點(diǎn)O，若

AE：

：2，則S△AOE：S△COB=___．

11.（填空題，3分）林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹

在移植過程中的一組數(shù)據(jù)：

移植的棵數(shù)n

成活的棵數(shù)m

成活的頻率?

?

1000

865

0.865

1500

1356

0.904

2500

2220

0.888

4000

3500

0.875

8000

7056

0.882

15000

13170

0.878

20000

17580

0.879

30000

26430

0.881

估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活的概率為___．

12.（填空題，3分）拋物線y=x2+bx+4與x軸有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，則b=___．

13.（填空題，3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是??的中點(diǎn)，連接AD，BD，BD與

?

AC交于點(diǎn)E，請寫出圖中所有與△ADE相似的三角形___．

14.（填空題，3分）如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離

樹根部5m的地面上，然后她沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當(dāng)她后退1m時(shí)，正好在鏡中

看見樹的頂端．小英估計(jì)自己的眼睛到地面的距離為1.6m，則大樹的高度是___m．

15.（填空題，3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥BC于點(diǎn)D．

下面是借助直尺，畫出△ABC中∠BAC的平分線的步驟：

①延長OD交??于點(diǎn)M；

?

②連接AM交BC于點(diǎn)N．

所以∠BAN=∠CAN．

即線段AN為所求△ABC中∠BAC的平分線．

請回答，得到∠BAN=∠CAN的依據(jù)是___．

16.（填空題，3分）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（Day）．歷史上求圓周率

的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的"割圓術(shù)"相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾?卡西的計(jì)算方法是：當(dāng)正

整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算某個(gè)圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的

正6n邊形）的周長，再將它們的平均數(shù)作為2r的近似值．

當(dāng)

時(shí)，如圖是⊙O及它的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形．

（1）若⊙O的半徑為1，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長是___；

（2）按照阿爾?卡西的方法，計(jì)算

數(shù)據(jù)：31.732）

時(shí)的近似值是___．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考

17.（問答題，5分）已知二次函數(shù)

（1）求二次函數(shù)

2-4x+3

2-4x+3．

圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

2-4x+3

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)

的圖象；

（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．

18.（問答題，5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接DE，且

．

（1）求證：△ADE∽△ACB；

（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度數(shù)．

19.（問答題，5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0），

O（0，0），B（2，2）．

（1）畫出△A1OB1，使△A1OB1與△AOB關(guān)于點(diǎn)O中心對稱；

（2）以點(diǎn)O為位似中心，將△AOB放大為原來的2倍，得到△A2OB2，畫出一個(gè)滿足條件的

△A2OB2．

20.（問答題，5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0），C（0，2）．點(diǎn)D是矩形

OABC對角線的交點(diǎn)．已知反比例函數(shù)y=?（k0）在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)

?

M，交AB于點(diǎn)N．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和k的值；（2）反比例函數(shù)圖象在點(diǎn)M到點(diǎn)N之間的部分（包含M，N

兩點(diǎn)）記為圖形G，求圖形G上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

21.（問答題，5分）如圖，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)D，BC交⊙O于點(diǎn)E，

DE||，CE是⊙O的直徑．

OA

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若BD=4，CE=6，求AC的長．

22.（問答題，6分）在倡議"綠色環(huán)保，公交出行"的活動中，學(xué)生小志對公交車的計(jì)價(jià)方式進(jìn)

行了研究．他發(fā)現(xiàn)北京公交集團(tuán)的公交車站牌中都寫有："10公里以內(nèi)（含）票價(jià)2元，每增

加5公里以內(nèi)（含）加價(jià)1元"，如圖．

小志查閱了相關(guān)資料，了解到北京公交車的票價(jià)按照乘客乘坐公交車的里程（公里）數(shù)計(jì)算，

乘客可以按照如下方法計(jì)算票價(jià)：

①站牌中每一站上面標(biāo)注的數(shù)字表示該站的站位號，乘客可以通過計(jì)算上、下車站的站位號

的差，得到乘車的大致里程數(shù)，然后按照下面具體標(biāo)準(zhǔn)得出票價(jià)：若里程數(shù)在0至10之間

（含0和10，下同），則票價(jià)為2元；若里程數(shù)在11至15之間，則票價(jià)為3元；若里程數(shù)

在16至20之間，則票價(jià)為4元，以此類推．

②為了鼓勵(lì)市民綠色出行，北京公交集團(tuán)制定了票價(jià)優(yōu)惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，

普通卡打5折，學(xué)生卡打2.5折．

請根據(jù)上述信息，回答下列問題：

（1）學(xué)生甲想去抗戰(zhàn)雕塑園參觀，他乘坐339路公交車從云崗站上車，到抗戰(zhàn)雕塑園站下車，

那么原票價(jià)應(yīng)為___元，他使用學(xué)生卡實(shí)際支付___元；

（2）學(xué)生乙使用學(xué)生卡乘339路公交車去北京西站，若下車刷卡時(shí)實(shí)際支付了1元，則他在

佃起村上車的概率為___．

23.（問答題，7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx（a0）過點(diǎn)（4，0）．

（1）用含a的代數(shù)式表示b；

（2）已知點(diǎn)A（0，a），將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，再將點(diǎn)B向右平移2個(gè)

單位長度得到點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

24.（問答題，7分）已知正方形ABCD，點(diǎn)E是CB延長線上一點(diǎn)，位置如圖所示，連接AE，

過點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，連接BF．

（1）求證：∠FAB=∠BCF；

（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)M．

①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段CF，AF，BM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

25.（問答題，7分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：若在圖形

M上存在點(diǎn)Q，使得

，k為正數(shù)，則稱點(diǎn)P為圖形M的k倍等距點(diǎn)．

已知點(diǎn)A（-2，2），B（2，2）．

（1）在點(diǎn)C（1，0），D（0，-2），E（1，1）中，線段AB的2倍等距點(diǎn)是___；

（2）畫出線段AB的所有2倍等距點(diǎn)形成的圖形（用陰影表示），并求該圖形的面積；

（3）已知直線y=-x+b與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F，G，若線段FG上存在線段AB的2

倍等距點(diǎn)，直接寫出b的取值范圍．

2020-2021學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

試題數(shù)：25，總分：100

1.（單選題，3分）函數(shù)y=（x+1）2-2的最小值是（

）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

【正確答案】：D

【解析】：拋物線y=（x+1）2-2開口向上，有最小值，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），頂點(diǎn)的縱坐

標(biāo)-2即為函數(shù)的最小值．

【解答】：解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)y=（x-1）2-2的最小值是-2．

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查對二次函數(shù)最值．求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖

象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．

2.（單選題，3分）下面是利用圖形變化的知識設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案，其中既是軸對稱圖形，

又是中心對稱圖形的是（

）

A.

B.

C.

D.

【正確答案】：A

【解析】：根據(jù)圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答．

【解答】：解：A、既是軸對稱圖形又是對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．

故選：A．

【點(diǎn)評】：本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，

圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖

重合．

3.（單選題，3分）若一個(gè)扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的面積為（

A.3?

2

）

B.3

C.6

D.9

【正確答案】：D

【解析】：利用扇形的面積公式計(jì)算即可．

【解答】：解：S

故選：D．

=90??62

扇形

360

，

【點(diǎn)評】：本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積=???2=1lr（r是扇形的半徑，

360

2

l是扇形的弧長）．

4.（單選題，3分）點(diǎn)A（-1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函數(shù)?=2圖象上的三

?

個(gè)點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

A.y3＜y2＜y1

B.y1＜y3＜y2

）

C.y2＜y3＜y1

D.y3＜y1＜y2

【正確答案】：B

【解析】：先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)

進(jìn)行解答即可

【解答】：解：∵?=2中，k=2＞0，

?

∴反比例函數(shù)?=2圖象在一、三象限，并且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

?

∵-1＜0，

∴A點(diǎn)在第三象限，

∴y1＜0，

∵2＞1＞0，

∴B、C兩點(diǎn)在第一象限，

∴y2＞y3＞0，

∴y1＜y3＜y2．

故選：B．

【點(diǎn)評】：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答此題

的關(guān)鍵．

5.（單選題，3分）直徑為10分米的圓柱形排水管，截面如圖所示．若管內(nèi)有積水（陰影部

分），水面寬AB為8分米，則積水的最大深度CD為（

）

A.2分米

B.3分米

C.4分米

D.5分米

【正確答案】：A

【解析】：連接OA，先由垂徑定理求出AC的長，再由勾股定理求出OC的長，進(jìn)而可得出

結(jié)論．

【解答】：解：連接OA，如圖所示：

∵⊙O的直徑為10分米，

分米，

由題意得：OD⊥AB，AB=8分米，

1

2

AB=4分米，

∴OC=??2??2=5242=3（分米），

∴水的最大深度

故選：A．

（分米），

【點(diǎn)評】：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理，根據(jù)勾股定理求出OC的長是解答此

題的關(guān)鍵．

6.（單選題，3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象是拋物線G，自變量x與函數(shù)y的

部分對應(yīng)值如下表：

x

y

下列說法正確的是（

A.拋物線G的開口向下

B.拋物線G的對稱軸是直線x=-2

C.拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）

D.當(dāng)x＞-3時(shí)，y隨x的增大而增大

【正確答案】：C

【解析】：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，本題

得以解決．

-5

4

）

-4

-3

-2

-2

-2

-1

4

【解答】：解：由表格可知，

該函數(shù)的對稱軸是直線x=32

2

5

2

，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

該拋物線開口向上，在

5

2

時(shí)，取得最小值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

當(dāng)x＞-5時(shí)，y隨x的增大而最大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

2

當(dāng)

時(shí)，y=4，則拋物線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），故選項(xiàng)C正確；

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值，解答

本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

7.（單選題，3分）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，

BD．則下面結(jié)論不一定成立的是（

）

A.∠ACB=90°

B.∠BDC=∠BAC

C.AC平分∠BAD

D.∠BCD+∠BAD=180°

【正確答案】：C

【解析】：先利用圓的定義可判斷點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，如圖，然后根據(jù)圓周角定理對各

選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

【解答】：解：∵點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，

∴點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，如圖，

∵AB為直徑，

，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；

∵∠BDC和∠BAC都對??，

?

∴∠BDC=∠BAC，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；

只有當(dāng)

時(shí)，∠BAC=∠DAC，所以C選項(xiàng)的結(jié)論不正確；

∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，

，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是

直徑．

8.（單選題，3分）函數(shù)y=1+

2

1

?2

的圖象如圖所示，若點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是該函

數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A.x10，x20

B.y1＞1，y2＞1

2

2

C.若y1

2，則|x1|=|x2|

D.若y1＜y2，則x1＜x2

【正確答案】：D

【解析】：根據(jù)圖象得到函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．

【解答】：解：由圖象可知，x10，x20，故選項(xiàng)A正確；

∵y=1+

2

2

1

?2

，

2

∴y1＞1，y2＞1，故選項(xiàng)B正確；

∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，

∴y1

2，則|x1|=|x2|，故選項(xiàng)

C正確；

根據(jù)函數(shù)的增減性，當(dāng)x＜0時(shí)，若y1＜y2，則x1＜x2，當(dāng)x＞0時(shí)，若y1＜y2，則x1＞x2，故

選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

9.（填空題，3分）將拋物線y=x2向下平移2個(gè)單位長度，平移后拋物線的解析式為___．

【正確答案】：[1]y=x2-2

【解析】：根據(jù)"上加下減"可得答案．

【解答】：解：將拋物線

故答案為：

2-2．

2

向下平移2個(gè)單位長度，平移后拋物線的解析式為

2-2，

【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加

下減．

10.（填空題，3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，AC，BE交于點(diǎn)O，若

AE：

：2，則S△AOE：S△COB=___．

【正確答案】：[1]1：9

【解析】：本題通過平行四邊形的性質(zhì)可以得到AB=CD且AB||CD，進(jìn)而得到△AOE∽△CBO，

在通過AE：ED=1：2，得到AE：BC=1：3，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方得出

答案．

【解答】：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

且AB||CD，

∴△AOE∽△CBO，

∵AE：

∴AE：

∴AE：

：2，

：3，

：3，

因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方，

所以S△AOE：S△COB

：9，

故答案為：1：9，

【點(diǎn)評】：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)，本題要熟記相似三角形的

面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．

11.（填空題，3分）林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹

在移植過程中的一組數(shù)據(jù)：

移植的棵數(shù)n

成活的棵數(shù)m

成活的頻率?

?

1000

865

0.865

1500

1356

0.904

2500

2220

0.888

4000

3500

0.875

___

．

8000

7056

0.882

15000

13170

0.878

20000

17580

0.879

30000

26430

0.881

估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活的概率為

【正確答案】：[1]0.881

【解析】：概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多

的頻率越接近于概率．

【解答】：解：概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)

越多的頻率越接近于概率

∴這種幼樹移植成活率的概率約為0.881．

故答案為：0.881．

【點(diǎn)評】：此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知

識點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

12.（填空題，3分）拋物線y=x2+bx+4與x軸有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，則b=___．

【正確答案】：[1]±4

【解析】：令

，則關(guān)于x的一元二次方程x2

的根的判別式

，據(jù)此列

出關(guān)于b的新方程，通過解新方程即可求得b的值．

【解答】：解：令

的一元二次方程x2

，則當(dāng)拋物線y=x2+bx+4的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，關(guān)于x

的根的判別式

，即b2

，

解得b=±4．

故答案是：±4．

【點(diǎn)評】：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解題時(shí)，運(yùn)用"二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)"求解即可．

13.（填空題，3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是??的中點(diǎn)，連接AD，BD，BD與

?

AC交于點(diǎn)E，請寫出圖中所有與△ADE相似的三角形___．

【正確答案】：[1]△CBE，△BDA

【解析】：根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得出答案．

【解答】：解：∵?=，

????

?

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠DAE=∠DBC，

∴∠DAE=∠ABD，

∵∠ADE=∠ADB，

∴△ADE∽△BDA，

∵∠DAE=∠EBC，∠AED=∠BEC，

∴△AED∽△BEC，

故答案為：△CBE，△BDA．

【點(diǎn)評】：本題考查相似三角形的判定，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．

14.（填空題，3分）如圖，為了測量操場上一棵大樹的高度，小英拿來一面鏡子，平放在離

樹根部5m的地面上，然后她沿著樹根和鏡子所在的直線后退，當(dāng)她后退1m時(shí)，正好在鏡中

看見樹的頂端．小英估計(jì)自己的眼睛到地面的距離為1.6m，則大樹的高度是___．

m

【正確答案】：[1]8

【解析】：入射角等于反射角，兩個(gè)直角相等，那么圖中的兩個(gè)三角形相似，利用對應(yīng)邊成比

例可求得樹高．

【解答】：解：∵∠ABC=∠DBE，

∴△ABC∽△DBE，

∴BC：

：DE，

，

即1：5=1.6：DE，

（m），

故答案為：8．

【點(diǎn)評】：本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)

邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．

15.（填空題，3分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥BC于點(diǎn)D．

下面是借助直尺，畫出△ABC中∠BAC的平分線的步驟：

①延長OD交??于點(diǎn)M；

?

②連接AM交BC于點(diǎn)N．

所以∠BAN=∠CAN．

即線段AN為所求△ABC中∠BAC的平分線．

請回答，得到∠BAN=∠CAN的依據(jù)是___．

【正確答案】：[1]在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等

【解析】：根據(jù)作圖步驟進(jìn)行作圖即可得結(jié)論．

【解答】：解：如圖，AN為所求△ABC中∠BAC的平分線，

故答案為：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．

【點(diǎn)評】：本題考查了作圖-基本作圖，圓周角定理，垂徑定理，三角形的外接圓與外心，角

平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合掌握以上知識．

16.（填空題，3分）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（Day）．歷史上求圓周率

的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的"割圓術(shù)"相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾?卡西的計(jì)算方法是：當(dāng)正

整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算某個(gè)圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的

正6n邊形）的周長，再將它們的平均數(shù)作為2r的近似值．

當(dāng)

時(shí)，如圖是⊙O及它的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形．

（1）若⊙O的半徑為1，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長是___；

（2）按照阿爾?卡西的方法，計(jì)算

數(shù)據(jù)：31.732）

時(shí)的近似值是___．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考

【正確答案】：[1]1;[2]3.23

【解析】：（1）⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長與圓的半徑相等，延長可得結(jié)論．

（2）求出兩個(gè)正六邊形的周長，再求出兩個(gè)周長的平均數(shù)，可得2的近似值，延長即可解

決問題．

【解答】：解：（1）⊙O的半徑為1，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長是1，

故答案為：1．

（2）圓的外切正六邊形的邊長

∴圓的外切正六邊形的周長=43，

∵圓的內(nèi)接正六邊形的周長

，

=23，

3

∴243+6，

2

∴3.23．

故答案為：3.23．

【點(diǎn)評】：本題考查正多邊形與圓，近似數(shù)和有效數(shù)字，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

17.（問答題，5分）已知二次函數(shù)

（1）求二次函數(shù)

2-4x+3

2-4x+3．

圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

2-4x+3

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)

的圖象；

（3）當(dāng)1＜x＜4時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．

【正確答案】：無

【解析】：（1）把一般式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象；

（3）結(jié)合二次函數(shù)圖象，寫出當(dāng)1＜x＜4時(shí)對應(yīng)的y的取值范圍．

【解答】：解：（1）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）；

（2）當(dāng)

時(shí)，x2

，解得x1

，x2

，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0）；

當(dāng)

如圖：

時(shí)，y=x2

，則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

；

（3）由圖象可知，當(dāng)1＜x＜4時(shí)，-1y＜3．

【點(diǎn)評】：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解

題的關(guān)鍵．

18.（問答題，5分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接DE，且

．

（1）求證：△ADE∽△ACB；

（2）若∠B=55°，∠ADE=75°，求∠A的度數(shù)．

【正確答案】：無

【解析】：（1）本題根據(jù)相似三角形的判定可以推出△ADE∽△ACB．

（2）由第（1）問可知△ADE∽△ACB，進(jìn)而得到∠ADE=∠ACB，從而得到

用三角形的內(nèi)角和得出所求角即可．

，在利

【解答】：（1）證明：

，

∴??=??．

??

??

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB．

（2）解：由（1）知，△ADE∽△ACB，

∴∠ADE=∠ACB．

，

．

又

，

∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．

【點(diǎn)評】：本題考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟記相似三角形的判定和性質(zhì)是解決本題

的關(guān)鍵．

19.（問答題，5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0），

O（0，0），B（2，2）．

（1）畫出△A1OB1，使△A1OB1與△AOB關(guān)于點(diǎn)O中心對稱；

（2）以點(diǎn)O為位似中心，將△AOB放大為原來的2倍，得到△A2OB2，畫出一個(gè)滿足條件的

△A2OB2．

【正確答案】：無

【解析】：（1）利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A1、B1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；

（2）把A、B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到A2、B2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可．

【解答】：解：（1）如圖，△A1OB1為所作；

（2）如圖，△A2OB2為所作．

【點(diǎn)評】：本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別

連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的

關(guān)鍵點(diǎn)；最后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．位似圖形與坐標(biāo)．也考查了旋轉(zhuǎn)變

換．

20.（問答題，5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（4，0），C（0，2）．點(diǎn)D是矩形

OABC對角線的交點(diǎn)．已知反比例函數(shù)y=?（k0）在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)

?

M，交AB于點(diǎn)N．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和k的值；（2）反比例函數(shù)圖象在點(diǎn)M到點(diǎn)N之間的部分（包含M，N

兩點(diǎn)）記為圖形G，求圖形G上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

【正確答案】：無

【解析】：（1）先求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）根據(jù)M的縱坐標(biāo)，即可求得M的橫坐標(biāo)，結(jié)合N的橫坐標(biāo)，即可得到圖形G上點(diǎn)的橫

坐標(biāo)x的取值范圍．

【解答】：解：（1）∵點(diǎn)D是矩形OABC的對角線交點(diǎn)，

∴點(diǎn)D是矩形OABC的對角線AC的中點(diǎn)，

又∵A（4，0），C（0，2），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．

∵反比例函數(shù)?=?的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，

?

∴1=?，

2

解得：

．

（2）由題意可得：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4．

∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)?=2的圖象上，

?

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），

∴1x4．

【點(diǎn)評】：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函

數(shù)的解析式，求得點(diǎn)D、點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

21.（問答題，5分）如圖，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)D，BC交⊙O于點(diǎn)E，

DE||OA，CE是⊙O的直徑．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若BD=4，CE=6，求AC的長．

【正確答案】：無

【解析】：（1）連接OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，進(jìn)而證得△AOD≌△AOC（SAS），得

到∠ADO=∠ACB=90°，即可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理求得BO，得到

即可．

，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AC的方程，解方程

【解答】：（1）證明：連接OD．

，

∴∠OED=∠ODE，

∵DE||OA，

∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，

∴∠AOC=∠AOD．

在△AOD和△AOC中，

??=??

{∠???=∠???，

??=??

∴△AOD≌△AOC（SAS），

∴∠ADO=∠ACO．

∵AC與⊙O相切于點(diǎn)C，

，

又∵OD是⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線．

（2）解：

，

．

在Rt△ODB中，

∴BD2+OD2

2，

，OD=3，

，

．

∵⊙O與AB和AC都相切，

．

在Rt△ACB中，AC2+BC2

即：AC2+82=（AC+4）2，

2，

解得：

．

【點(diǎn)評】：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

22.（問答題，6分）在倡議"綠色環(huán)保，公交出行"的活動中，學(xué)生小志對公交車的計(jì)價(jià)方式進(jìn)

行了研究．他發(fā)現(xiàn)北京公交集團(tuán)的公交車站牌中都寫有："10公里以內(nèi)（含）票價(jià)2元，每增

加5公里以內(nèi)（含）加價(jià)1元"，如圖．

小志查閱了相關(guān)資料，了解到北京公交車的票價(jià)按照乘客乘坐公交車的里程（公里）數(shù)計(jì)算，

乘客可以按照如下方法計(jì)算票價(jià)：

①站牌中每一站上面標(biāo)注的數(shù)字表示該站的站位號，乘客可以通過計(jì)算上、下車站的站位號

的差，得到乘車的大致里程數(shù)，然后按照下面具體標(biāo)準(zhǔn)得出票價(jià)：若里程數(shù)在0至10之間

（含0和10，下同），則票價(jià)為2元；若里程數(shù)在11至15之間，則票價(jià)為3元；若里程數(shù)

在16至20之間，則票價(jià)為4元，以此類推．

②為了鼓勵(lì)市民綠色出行，北京公交集團(tuán)制定了票價(jià)優(yōu)惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，

普通卡打5折，學(xué)生卡打2.5折．

請根據(jù)上述信息，回答下列問題：

（1）學(xué)生甲想去抗戰(zhàn)雕塑園參觀，他乘坐339路公交車從云崗站上車，到抗戰(zhàn)雕塑園站下車，

那么原票價(jià)應(yīng)為___元，他使用學(xué)生卡實(shí)際支付___元；

（2）學(xué)生乙使用學(xué)生卡乘339路公交車去北京西站，若下車刷卡時(shí)實(shí)際支付了1元，則他在

佃起村上車的概率為___．

【正確答案】：3;0.75;

1

6

【解析】：（1）先根據(jù)上下車地點(diǎn)確定乘坐里程數(shù)，結(jié)合題意可得原票價(jià)及折后票價(jià)；

（2）根據(jù)支付費(fèi)用及學(xué)生卡折扣求出原票價(jià)，再結(jié)合下車地點(diǎn)確定其上車的可能地點(diǎn)，再根

據(jù)概率公式求解即可．

【解答】：解：（1）乘坐339路公交車從云崗站上車，到抗戰(zhàn)雕塑園站下車，里程數(shù)為14-

3=11，

則原票價(jià)應(yīng)為3元，

他使用學(xué)生卡實(shí)際支付

（元），

故答案為：3、0.75；

（2）∵下車刷卡時(shí)實(shí)際支付了1元，

∴學(xué)生乙原票價(jià)為

（元），

∴學(xué)生乙乘坐的里程數(shù)再16至20之間，

由圖知，學(xué)生乙上車地點(diǎn)可能是云崗北區(qū)、佃起村、張家墳、朱家墳、趙辛店、北京十中這6

個(gè)，

∴他在佃起村上車的概率為1，

6

故答案為：1．

6

【點(diǎn)評】：本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算和概率公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到所有可能

結(jié)果及符合條件的結(jié)果、概率公式．

23.（問答題，7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx（a0）過點(diǎn)（4，0）．

（1）用含a的代數(shù)式表示b；

（2）已知點(diǎn)A（0，a），將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，再將點(diǎn)B向右平移2個(gè)

單位長度得到點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，若線段AC與拋物線有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

【正確答案】：無

【解析】：（1）將（4，0）代入即可得答案，

（2）y