《線性代數(shù)》(第二版)智能教學(xué)系統(tǒng)-電子教案-第一章-矩陣-第八節(jié)課件

第八節(jié)矩陣應(yīng)用的兩個(gè)例子例1例2例1這個(gè)例子簡(jiǎn)要說(shuō)明了方陣及其方冪在稱為圖論的有關(guān)研究中的應(yīng)用情況.圖G=(V,E)由點(diǎn)集V和邊集E組成.例如，以V={a,b,c,d,e}為點(diǎn)集，以E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(d,e),(e,e)}為邊集構(gòu)成的圖G，如圖1–2所示.abcde圖1–2一條邊除了聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)外，也可以由某個(gè)點(diǎn)聯(lián)結(jié)自身構(gòu)成，如中的點(diǎn)e與邊(e,e)，這種邊稱為一個(gè)環(huán).由圖1–2表示的這類“圖〞顯然不同于函數(shù)的圖形，但它在各種科學(xué)和工業(yè)活動(dòng)中廣泛存在，如組織機(jī)構(gòu)圖、電路圖、網(wǎng)絡(luò)圖、煤氣或天然氣管道圖及城市交通或道路圖等等.與圖有關(guān)的許多問(wèn)題涉及道路.道路是一個(gè)點(diǎn)的序列，其相鄰的點(diǎn)由邊聯(lián)結(jié).道路的長(zhǎng)度是指構(gòu)成該道路的邊的數(shù)量，abcde圖1–2如圖1–2中，(a,b,d,e)是a與e之間，長(zhǎng)度為3的一條道路.對(duì)于不同的問(wèn)題，可能是要求我們找出兩點(diǎn)之間的最短道路，也可能是確定的一對(duì)點(diǎn)中，是否存在一條道路等等.而后一類問(wèn)題在許多實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，例如規(guī)定的呼叫線路；研究隨機(jī)中斷(例如由于閃電)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響等.下面我們將說(shuō)明方陣及其方冪可用于解決有關(guān)一個(gè)圖中各類道路的存在問(wèn)題.為此，我們首先介紹用一種稱為鄰接矩陣的矩陣表示圖的方法.圖G的鄰接矩陣A(G)=(aij

)的元aij按下述方法確定：如果第i點(diǎn)與第j點(diǎn)之間有一條邊，那么aij=1,否那么aij=0;一般情況下，aii

=0,除非第i點(diǎn)上有一個(gè)環(huán)(此時(shí)aii

=1).可見A(G)說(shuō)明了圖G中哪些點(diǎn)是鄰接的.因而，圖1–2中的圖G的鄰接矩陣為abcde圖1–2aabbccddee從圖1–2還可以看出：點(diǎn)a與b之間，除了有一條長(zhǎng)度為1的道路(a,b)邊聯(lián)結(jié)外，還可以由a經(jīng)c或d由另外兩條長(zhǎng)度為2的道路與b聯(lián)結(jié)，那么，如何確定圖G中有哪些點(diǎn)之間存在長(zhǎng)度為2的道路呢？可以證明：如果A(G)是圖G的鄰接矩陣,那么A2(G)中的第i行第j列元(ij)的數(shù)值等于第i個(gè)點(diǎn)與第j個(gè)點(diǎn)之間長(zhǎng)度為2的道路個(gè)數(shù).aabbccddeeaabbccddeeA2(G)的主對(duì)角線以外的正元，指出圖G中哪些不同的點(diǎn)對(duì)之間可由長(zhǎng)度為2的道路聯(lián)結(jié).可以看出，只有點(diǎn)c與點(diǎn)e之間，不存在長(zhǎng)度為2的道路.同時(shí)，這些正元的數(shù)值還說(shuō)明了不同的點(diǎn)對(duì)之間長(zhǎng)度為2的道路個(gè)數(shù).例如a與b之間有兩條長(zhǎng)度為2的道路，而a與c之間只有一條長(zhǎng)度為2的道路.類似地aabbccddee可以反映出圖G中不同的點(diǎn)之間由長(zhǎng)度為3的道路聯(lián)結(jié)的情況.例2假設(shè)某城市的天氣分為3種狀態(tài)：晴、陰和下雨.又由統(tǒng)計(jì)資料說(shuō)明，在某個(gè)季節(jié)期間，如果今天晴，那么明天晴的概率(即可能性)為陰的概率為下雨的概率為類似地，如果今天陰或下雨那么明天的天氣出現(xiàn)各種狀態(tài)又分別有另外的概率.表1.3提供了這些數(shù)據(jù).表1.3今天明天晴陰下雨晴陰下雨由這些數(shù)據(jù)組成33矩陣A的每一列分別表示為今天天氣對(duì)應(yīng)的明天天氣的狀態(tài)概率，每一行分別對(duì)應(yīng)明天天氣的各種狀態(tài).例如第一行表示當(dāng)今天天氣為晴、陰、下雨時(shí),明天天氣為晴的概率分別為和第二列那么表示當(dāng)今天為陰時(shí)，明天為晴、陰、下雨的概率分別為和這些概率值稱為轉(zhuǎn)移概率，該矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣.由于A的各列分別表示當(dāng)今天天氣處于晴、陰或下雨的情況下，明天天氣為晴、陰或下雨的概率.A的各行分別表示當(dāng)今天天氣為晴、陰或下雨的不同情況下，明天為晴、為陰或?yàn)橄掠甑母怕?因此，如果設(shè)今天為晴、陰、下雨的概率分別為p1(0),p2(0),p3(0);又設(shè)p1(1)表示明天為晴的概率，那么有類似地，假設(shè)設(shè)p2(1),p3(1)分別表示明天陰和下雨的概率，那么由A的第二行與第三行，有例如，當(dāng)我們?cè)谇宄柯牭教鞖忸A(yù)報(bào)為：今天為陰或?yàn)橛甑母怕示鶠榧茨敲从缮厦?式可預(yù)測(cè)出明天的天氣概率假設(shè)令那么由矩陣乘法有P(1)=AP(0)正如可以由今天的天氣概率通過(guò)轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)測(cè)明天的天氣概率一樣，又可由明天的天氣概率預(yù)測(cè)后天的天氣概率.假設(shè)令表示后天天氣為晴、陰、下雨的概率，那么有P(2)=AP(1)=A(AP(0))=A2P(0)依次類推，設(shè)P(n)表示n天后(即從今天起第n+1天)為晴、陰、下雨的概率，那么有P(n)=AP(n–1)=AnP(0)(n=1,2,3,…)其中An是n天后天氣狀況的轉(zhuǎn)移矩陣.例如，當(dāng)n=2時(shí)n=3時(shí)從而當(dāng)今天天氣為晴、陰、下雨的概率分別為時(shí)，大后天的天氣概率為晴陰下雨因此，我們可以用3天的轉(zhuǎn)移概率，提前3天進(jìn)行天氣預(yù)報(bào).依此類推，當(dāng)今天天氣為晴、陰、雨的概率分別為時(shí)，通過(guò)計(jì)算，可以得到以下預(yù)測(cè)表：晴陰雨今天明天(一天后)后天(兩天后)大后天(三天后)5后天10后天100后天由此可見，只要知道今天的天氣狀況，利用轉(zhuǎn)移矩陣，即可提供一天接一天的天氣概率預(yù)測(cè).注意到，假設(shè)干天以后，晴、陰、雨的概率分別穩(wěn)定在和上述結(jié)果說(shuō)明，在未來(lái)的平常一天，晴天的概率為陰天的概率為下雨天的概率為以當(dāng)前狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)下一段時(shí)間不同狀態(tài)的概率的模型，稱為馬爾可夫(Markov)鏈.對(duì)于任何馬爾可夫鏈，數(shù)學(xué)上可以證明，確定幾十天后的穩(wěn)定概率，比確定3天后的概率要容易得多.數(shù)學(xué)在確定一個(gè)模型內(nèi)在的、長(zhǎng)期趨勢(shì)方面的作用，常常比在找出逐天變化的中期結(jié)果方面的作用要大.由于線性代數(shù)提供了有效的數(shù)學(xué)工具，從本質(zhì)上解決了人們?cè)隈R爾可夫鏈方面提出的任何問(wèn)題.因此馬爾可夫鏈在各方面有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請(qǐng)單擊