數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版）第七章必刷大題14空間向量與立體幾何

必刷大題14空間向量與

立體幾何第七章立體幾何與空間向量123456(1)求A到平面A1BC的距離；123456設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，因為直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為4，

，123456(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求平面ABD與平面BCD夾角的正弦值.123456取A1B的中點(diǎn)E，連接AE，則AE⊥A1B.因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AE⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.123456因為AA1∩AE＝A，AA1，AE?平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB?平面ABB1A1，所以BC⊥AB.123456所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)，設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，123456令x＝1，得n＝(1,0，－1).設(shè)平面ABD與平面BCD的夾角為θ，2.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，M是PC的中點(diǎn)，PA＝AB.123456(1)求證：AM⊥平面PBD；123456由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，(2)設(shè)直線AM與平面PBD交于O，求證：AO＝2OM.123456123456如圖，連接AC交BD于點(diǎn)E，則E是AC的中點(diǎn)，連接PE，∵AM∩平面PBD＝O，∴O∈AM且O∈平面PBD，∵AM?平面PAC，∴O∈平面PAC，又平面PBD∩平面PAC＝PE，∴O∈PE，123456∴AM，PE的交點(diǎn)就是O，連接ME，∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴PA∥ME，PA＝2ME，∴△PAO∽△EMO，∴AO＝2OM.1234563.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn).(1)求證：CE∥平面PAD；123456連接EF(圖略)，∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PA，∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD.∴四邊形ADCF為平行四邊形，即CF∥AD，∵CF?平面PAD，AD?平面PAD，∴CF∥平面PAD，∵EF∩CF＝F，EF，CF?平面EFC，∴平面PAD∥平面EFC，CE?平面EFC，則CE∥平面PAD.123456(2)求點(diǎn)B到平面PCF的距離.123456∵∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.設(shè)點(diǎn)A到平面PCF的距離為h，由VP－AFC＝VA－PFC，1234561234564.(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn).(1)證明：平面BED⊥平面ACD；123456因為AD＝CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC.因為E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE.又BE∩DE＝E，BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.123456(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.123456由(1)可知AB＝BC，又∠ACB＝60°，AB＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，因為AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC為等腰直角三角形，所以DE＝1.所以DE2＋BE2＝BD2，則DE⊥BE.123456由(1)可知，AC⊥平面BED.連接EF，因為EF?平面BED，所以AC⊥EF，當(dāng)△AFC的面積最小時，點(diǎn)F到直線AC的距離最小，即EF的長度最小.在Rt△BED中，當(dāng)EF的長度最小時，123456方法一由(1)可知，DE⊥AC，BE⊥AC，所以EA，EB，ED兩兩垂直，123456設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x1，y1，z1)，123456記CF與平面ABD所成的角為α，方法二因為E為AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面ABD的距離等于點(diǎn)E到平面ABD的距離的2倍.因為DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE?平面ABC，所以DE⊥平面ABC.因為VD－AEB＝VE－ADB，123456123456由(1)知AC⊥平面BED，EF?平面BED，所以AC⊥EF，記CF與平面ABD所成的角為α，123456方法三如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AB交AB于點(diǎn)M，連接DM，過點(diǎn)E作EG⊥DM交DM于點(diǎn)G.因為DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以DE⊥AB，又EM∩DE＝E，EM，DE?平面DEM，所以AB⊥平面DEM，又EG?平面DEM，所以AB⊥EG，又AB∩DM＝M，AB，DM?平面ABD，123456所以EG⊥平面ABD，則EG的長度等于點(diǎn)E到平面ABD的距離.123456記CF與平面ABD所成的角為α，1234565.(2023·青島模擬)如圖①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)，以DE為折痕把△ADE折起，連接AB，AC，得到如圖②的幾何體，在圖②的幾何體中解答下列問題.(1)證明：AC⊥DE；123456在圖①中，連接CE(圖略)，所以DC∥AE，且DC＝AE，所以四邊形ADCE為平行四邊形，所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可證DE＝2，在圖②中，取DE的中點(diǎn)O，連接OA，OC(圖略)，123456因為AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，因為OA∩OC＝O，OA，OC?平面AOC，所以DE⊥平面AOC，因為AC?平面AOC，所以DE⊥AC.123456(2)請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求平面DAE與平面AEC夾角的余弦值.①四棱錐A－BCDE的體積為2；123456若選擇①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE?平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交線為OC，123456設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，123456設(shè)平面DAE與平面AEC的夾角為θ，123456123456若選擇②：因為DC∥EB，所以∠ACD即為異面直線AC與EB所成的角，因為DE⊥平面AOC，DE?平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交線為OC，又OA?平面AOC，所以AO⊥平面BCDE，123456設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，123456設(shè)平面DAE與平面AEC的夾角為θ，1234566.(2022·連云港模擬)如圖，在三棱錐A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn).(1)證明：平面ACD⊥平面AEF；123456因為△ABC是正三角形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，又因為CD?平面BCD，所以CD⊥AE，因為點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，又因為BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因為AE∩EF＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，所以CD⊥平面AEF，又因為CD?平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF.123456(2)若∠BCD＝60°，點(diǎn)G是線段BD上的動點(diǎn)，問：點(diǎn)G運(yùn)動到何處時，平面AEG與平面ACD的夾角最小.123456在平面BCD中，過點(diǎn)E作EH⊥BD