湖南省長沙市南大橋?qū)W校高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省長沙市南大橋?qū)W校高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足①在上是增函數(shù)，②為奇函數(shù)，③以為最小正周期的函數(shù)是（

）．

．

．

．參考答案：B2.在等差數(shù)列{an}中，，且，Sn為其前n項(xiàng)和，則使的最大正整數(shù)n為（

）A.202 B.201 C.200 D.199參考答案：D【分析】根據(jù)條件判斷出等差數(shù)列中正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，然后再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和下標(biāo)和的性質(zhì)求解即可．【詳解】由條件得，等差數(shù)列的公差，∵，且，∴，即．∴，，∴使的最大正整數(shù)為．故選D．【點(diǎn)睛】解答類似問題的關(guān)鍵是找到數(shù)列的項(xiàng)或和的正負(fù)值的分界點(diǎn)，其中利用等差數(shù)列中項(xiàng)的下標(biāo)和的性質(zhì)和前項(xiàng)和的結(jié)合是解題的突破口，考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題和分析能力，屬于中檔題．3.是定義在上的奇函數(shù),,（

）

A.

B.1

C.

D.5參考答案：B略4.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）

A．

B．

C．D．參考答案：B略5.設(shè)，則（

） A．

B．0

C．

D．參考答案：A6.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．參考答案：C7.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于的區(qū)間是 A．（2，3） B．（3，4） C．（1，2） D．（0，1）

參考答案：A8.已知向量且//，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.冪函數(shù)f（x）=（m2﹣m﹣1）x5m+3在（0，+∞）上是增函數(shù)，則m=（）A．2 B．﹣1 C．4 D．2或﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，即可求出m的值．【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得；m2﹣m﹣1=1，解得：m=2或m=﹣1，m=2時(shí)，f（x）=x13在（0，+∞）上是增函數(shù)，符合題意，m=﹣1時(shí)，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上是減函數(shù)，不合題意，故m=2，故選：A．10.一個(gè)不透明袋子中裝有形狀、大小都相同的紅色小球4個(gè)，白色小球2個(gè)，現(xiàn)從中摸出2個(gè)，則摸出的兩個(gè)都是紅球的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)古典概型概率公式可得．【詳解】摸出的兩個(gè)都是紅球的概率為：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，屬基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)向量，，．若，則實(shí)數(shù)x的值是

．參考答案：4由題意得

12.若f(x)＝x＋在x≥3時(shí)有最小值4，則a＝_________．參考答案：213.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若+=2c，則∠A的大小為．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由+=2c，利用正弦定理可得：=2sinC，再利用基本不等式的性質(zhì)可得sinC=1，即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：，又+=2c，∴=2sinC≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinA=sinB時(shí)取等號(hào)．而sinC≤1，∴sinC=1，又C∈（0，π）．∴C=．又sinA=sinB，∴A=B=．故答案為：．14.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是

▲

.參考答案：略15.某中學(xué)初中部共有120名老師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為__________．

參考答案：144【分析】由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數(shù)，再相加.【詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師人數(shù)為.【點(diǎn)睛】考查統(tǒng)計(jì)中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.16.一個(gè)三角形用斜二測畫法畫出來是一個(gè)邊長為1的正三角形，則此三角形的面積是

參考答案：17.函數(shù)在[2013,2013]上的最大值與最小值之和為

______________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=loga（x+3）﹣loga（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．參考答案：考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）由題意可得，從而求定義域；（2）可判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，再證明如下；（3）當(dāng)a＞1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及四則運(yùn)算可得f（x）為增函數(shù)，從而求最值．解答：解：（1）由題意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，3）；（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明如下，函數(shù)f（x）的定義域（﹣3，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；則f（﹣x）=loga（﹣x+3）﹣loga（3+x）=﹣f（x），故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．（3）當(dāng)a＞1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及四則運(yùn)算可得，f（x）=loga（x+3）﹣loga（3﹣x）為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，故fmax（x）=f（1）=loga2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域，奇偶性，單調(diào)性，最值的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19.已知、是兩個(gè)不共線的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）．（1）求證：+與﹣垂直；（2）若α∈（﹣，），β=，且|+|=，求sinα．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積為0，即可證明+與﹣垂直；（2）利用平面向量的數(shù)量積與模長公式，結(jié)合三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求出sinα的值．【解答】解：（1）證明：、是兩個(gè)不共線的向量，且=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），．∴+=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），﹣=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），∴（+）?（﹣）=（cos2﹣cos2β）+（sin2α﹣sin2β）=（cos2α+sin2α）﹣（cos2β+sin2β）=1﹣1=0，∴+與﹣垂直；（2）∵=（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2+2cos（α﹣β），且β=，|+|=，∴2+2cos（α﹣）=，解得cos（α﹣）=；又α∈（﹣，），∴α﹣∈（﹣，0），∴sin（α﹣）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=﹣×+×=﹣．20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）證明：PA∥平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題．【分析】（1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）證明：連接AC，AC交BD于O．連接EO．∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO，∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線線、線面平行和垂直的相互轉(zhuǎn)化，通過中位線證明線線平行，再由線面平行的判定得到線面平行；垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化是由線面垂直的定義和判定定理實(shí)現(xiàn)．21.甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次．得到甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖．（1）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，對(duì)預(yù)賽成績的平均值和方差進(jìn)行分析，你認(rèn)為哪位學(xué)生的成績更穩(wěn)定？請(qǐng)說明理由；（2）求在甲同學(xué)的8次預(yù)賽成績中，從不小于80分的成績中隨機(jī)抽取2個(gè)成績，列出所有結(jié)果，并求抽出的2個(gè)成績均大于85分的概率．參考答案：（1）甲的成績比較穩(wěn)定；（2）.【分析】（1）利用樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，比較即可求解，得到結(jié)論；（2）從甲同學(xué)的不小于80分的成績中抽取2個(gè)成績，利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，派甲參加比較合適，理由如下：，，，，且，，所以甲乙二人的成績相當(dāng)，但甲的成績比較穩(wěn)定；（2）從甲同學(xué)的不小于80分的成績中抽取2個(gè)成績，所有結(jié)果為（81，82），（81，84），（81，88），（81，93），（81，95），（82，84），（82，88），（82，93），（82，95），（84，88），（8