概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)常用的統(tǒng)計(jì)分布

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)常用的統(tǒng)計(jì)分布第1頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)分布且設(shè)相互獨(dú)立,令稱服從自由度為的

分布，記為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)常用統(tǒng)計(jì)分布的上側(cè)分位點(diǎn)記為的雙側(cè)分位點(diǎn)記為Review第2頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)分布且設(shè)相互獨(dú)立,令稱服從自由度為的

分布，記為常用統(tǒng)計(jì)分布的上側(cè)分位點(diǎn)記為Review第3頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)抽樣分布與統(tǒng)計(jì)推斷第4頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)總體的均值和方差是來(lái)自總體的樣本，則都存在.證概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征第5頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第6頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體抽樣分布定理第7頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月仍服從正態(tài)分布定理一的樣設(shè)是來(lái)自總體本,則證獨(dú)立同分布由正態(tài)分布的性質(zhì)知，線性組合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第8頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體抽樣分布定理第9頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體抽樣分布定理第10頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理三的樣本，設(shè)是總體分別為樣本均值和樣本方差，則有證由定理一、定理二有且與獨(dú)立，由分布的定義有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第11頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

設(shè)為X的一個(gè)樣本,求:樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差;

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第12頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

設(shè)為X的一個(gè)樣本,求:樣本均值的數(shù)學(xué)期望與方差;

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第13頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第14頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3

在設(shè)計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射裝置時(shí),重要事情之一是研究彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的方差.對(duì)于一類導(dǎo)彈發(fā)射裝置,彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離服從正態(tài)分布N(μ,100),現(xiàn)在進(jìn)行了25次發(fā)射試驗(yàn),用S2記這25次試驗(yàn)中彈著點(diǎn)偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差.試求S2超過(guò)50的概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第15頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第16頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4從正態(tài)總體N(μ,0.52)中抽取容量為10的樣本X1,X2,...,Xn.若μ未知,計(jì)算概率:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第17頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)單正態(tài)總體的抽樣分布第18頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比率、方差總體均值、比率、方差等概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)推斷與參數(shù)估計(jì)第19頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是利用從總體抽樣得到的信息來(lái)估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).估計(jì)新生兒的平均體重、估計(jì)廢品率、估計(jì)平均降雨量等。

在參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題第20頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計(jì)就是要從樣本出發(fā)去構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為總體中某未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量。包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。若總體X的分布函數(shù)形式已知，但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知，則由總體X的一個(gè)樣本估計(jì)總體未知參數(shù)的值的問(wèn)題就是參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題。要求由樣本構(gòu)造一個(gè)以較大的概率包含真實(shí)參數(shù)的一個(gè)范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法稱為區(qū)間估計(jì)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題第21頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知,但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)為未知,借助于總體X的一個(gè)樣本來(lái)估計(jì)總體未知參數(shù)的問(wèn)題稱為點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題第22頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值X

=80，則80就是的估計(jì)值概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題第23頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題第24頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第25頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息；同時(shí)，也可以看到,對(duì)于同一個(gè)參數(shù),用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)那么那一個(gè)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)是什么?第26頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.無(wú)偏性(unbiasedness)

設(shè)為總體未知參數(shù)的估計(jì)量若則稱是的無(wú)偏估計(jì)量，稱具有無(wú)偏性。否則，是有偏估計(jì)量.偏差=概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第27頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無(wú)偏有偏無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義:無(wú)系統(tǒng)誤差.無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)常見(jiàn)而重要的要求.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第28頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注:是μ的無(wú)偏估計(jì)量是σ2的無(wú)偏估計(jì)量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)是σ2的有偏估計(jì)量第29頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第30頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第31頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第32頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第33頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．有效性

若都是的無(wú)偏估計(jì)量且

或

則稱較為有效估計(jì)量。兩個(gè)以上的無(wú)偏估計(jì)量具有最小方差最佳無(wú)偏估計(jì)量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第34頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小方差的估計(jì)量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第35頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第36頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第37頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第38頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第39頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．相合性（consistency） 如果對(duì)任意小的正數(shù)，有則稱是的一致估計(jì)量，稱具有一致性，可以證明均具有一致性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)第40頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于估計(jì)量是樣本的函數(shù),是統(tǒng)計(jì)量,故對(duì)不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,求估計(jì)量的問(wèn)題是關(guān)鍵問(wèn)題.估計(jì)量的求法:(兩種)矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)估計(jì)量的求法第41頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、

矩估計(jì)法其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.理論依據(jù):

它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法.是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)估計(jì)量的求法第42頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩,用樣本矩的連續(xù)函數(shù)來(lái)估計(jì)總體矩的連續(xù)函數(shù),從而得出參數(shù)估計(jì)，這種估計(jì)法稱為矩估計(jì)法.記總體k階中心矩為樣本k階中心矩為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)設(shè)X1,X2,…,Xn

來(lái)自總體X的樣本記總體k階矩為樣本k階矩為矩法估計(jì)第43頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩估計(jì)法的具體步驟:矩法估計(jì)的操作步驟概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第44頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

設(shè)總體服從泊松分布，

求參數(shù)的估計(jì)量.解：設(shè)是總體的一個(gè)樣本,由于,可得

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)矩法估計(jì)第45頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)矩法估計(jì)第46頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解方程組得到a,b的矩估計(jì)量分別為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)矩法估計(jì)第47頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解例3矩法估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第48頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解解方程組得到矩估計(jì)量分別為例4矩法估計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第49頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上例表明:總體均值與方差的矩估計(jì)量的表達(dá)式，不因不同的總體分布而異.一般地:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)矩法估計(jì)第50頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒(méi)有充分利用分布提供的信息.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)矩法估計(jì)第51頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、最大似然估計(jì)法(MLE)最大似然法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇

.

費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第52頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最大似然原理的直觀想法是：在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A,B,…,若在一次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)，一般認(rèn)為A出現(xiàn)的概率最大．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)最大似然估計(jì)第53頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的聯(lián)合分布律于是定義下面的似然函數(shù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)最大似然估計(jì)第54頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第55頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求最大似然估計(jì)量的一般步驟為：（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值

（4）最后得到最大似然估計(jì)量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第56頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解似然函數(shù)例1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)最大似然估計(jì)第57頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相同的.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)最大似然估計(jì)第58頁(yè)，課件共62頁(yè)，創(chuàng)