河北省涿州市實驗中學2022-2023學年九年級數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷

請考生注意：

1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》

，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1．函數(shù)y=

k

x與y=-kx+k（k0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（

2

）

A．

B．

C．

D．

2．已知，如圖，點C，D在⊙O上，直徑AB=6cm，弦AC，BD相交于點E，若CE=BC，則陰影部分面積為（

）

A．

93

4

B．

99

4

2

C．

393

2

4

D．

39

2

2

）

3．關于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（

A．k＝4

B．k＝﹣4

C．k﹣4

D．k4

4．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象如圖所示，當y＞0時，x的取值范圍是(

)

A．－1＜x＜2

B．x＞2

C．x＜－1

D．x＜－1或x＞2

5．關于二次函數(shù)y2x24，下列說法錯誤的是（

．．

A．它的圖象開口方向向上

C．它的圖象對稱軸是y軸

）

B．它的圖象頂點坐標為（0，4）

D．當x0時，y有最大值4

6．一個袋子中裝有6個黑球3個白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同，在看不到球的條件下，隨機

地從這個袋子中摸出一個球，摸到白球的概率為（

）

1

A．

9

1

B．

3

1

C．

2

2

D．

3

7．如圖，AB是

O的直徑，BCAB，垂足為點B，連接CO交O于點D，延長CO交O于點E，連接AD并

延長交BC于點F.則下列結論：①CBDCEB；②

BDCD

；③點F是BC的中點.其中正確的是（）

BEBC

A．①②

B．①③

C．②③

）

D．①②③

8．觀察下列四個圖形，中心對稱圖形是（

A．

B．

C．

D．

9．如圖，在⊙O中，若點C是AB的中點，∠A=50°，則∠BOC=（

）

A．40°

B．45°

C．50°

D．60°

10．如圖，兩個同心圓(圓心相同半徑不同的圓)的半徑分別為6cm和3cm，大圓的弦AB與小圓相切，則劣弧AB的

長為(

)

A．2cm

B．4cm

C．6cm

D．8cm

11．下列圖形是中心對稱圖形的是（

）

A．

B．

C．

D．

12．若數(shù)據(jù)2，x，4，8的平均數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)是（

）

A．3和2

B．4和2

C．2和2

D．2和4

二、填空題（每題4分，共24分）

13．如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M為射線AD上的一個動點，將△ABM沿BM折疊得到△NBM．若

△NBC是直角三角形．則所有符合條件的M點所對應的AM長度的和為_____．

14．古希臘數(shù)學家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，若把第一個三角形數(shù)記為x1，

第二個三角形數(shù)記為x2，第n個三角形數(shù)記為xn，則xn+xn+1=

．

15．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠BOD=140°，則∠BCD=_____．

16．若a是方程x2x10的一個根，則

1aa

a

1a的值是________.

17．若點A2,1與B2,m關于原點對稱，則m的值是___________.

18．有一個二次函數(shù)的圖象,三位同學分別說了它的一些特點:甲:圖象與x軸只有一個交點；乙:圖象的對稱軸是直線

x3；:圖象有最高點，請你寫出一個滿足上述全部特點的二次函數(shù)的解析式__________.

丙

三、解答題（共78分）

19．8分）解方程：x2－5=4x．

（

20．8分）如圖，射線AM交一圓于點B，C，射線AN交該圓于點D，E，且BCDE.

（

（1）判斷AC與AE的數(shù)量關系.（不必證明）

（2）利用尺規(guī)作圖，分別作線段CE的垂直平分線與MCE的平分線，兩線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）

，

求證：EF平分CEN.

21．8分）已知四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，對角線AC和BD交于點E．

（

（1）若∠BAD和∠BCD的度數(shù)之比為1：2，求∠BCD的度數(shù)；

（2）若AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為劣弧BD的中點，求弦AC的長；

（3）若⊙O的半徑為1，AC+BD＝3，且AC⊥BD．求線段OE的取值范圍．

22．10分）如圖，折疊邊長為a的正方形ABCD，使點C落在邊AB上的點M處（不與點A，B重合）

（

，點D落在

點N處，折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F，MN與邊AD交于點G.證明：

（1）AGM∽BME；

（2）若

M為AB中點，則AMAGMG；

3

4

5

（3）AGM的周長為2a.

23．10分）如圖，已知⊙O的半徑長為R=5，弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5，AB=6，求弦CD的長．

（

24．10分）若m為實數(shù)，關于x的方程x24xm20的兩個非負實數(shù)根為a、b，求代數(shù)式(a21)(b21)的

（

最大值．

25．12分）已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一個根，求a的值．

（

26．綜合與實踐

在數(shù)學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在ABC中，ACB90，AC6，BC8，點D為BC

邊上的任意一點．將C沿過點D的直線折疊，使點C落在斜邊AB上的點E處．問是否存在BDE是直角三角形？

若不存在，請說明理由；若存在，求出此時CD的長度．

探究展示：勤奮小組很快找到了點D、E的位置．

如圖2，作CAB的角平分線交BC于點D，此時C沿AD所在的直線折疊，點E恰好在AB上，且BED90，

所以BDE是直角三角形．

問題解決:

（1）按勤奮小組的這種折疊方式，CD的長度為

．

（2）創(chuàng)新小組看完勤奮小組的折疊方法后，發(fā)現(xiàn)還有另一種折疊方法，請在圖3中畫出來．

（3）在（2）的條件下，求出CD的長．

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、B

【分析】先由反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致，由此即可解答．

【詳解】由解析式y(tǒng)=-kx2+k可得：拋物線對稱軸x=0；

選項A，由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得k＜0，則-k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點為y

軸的負半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，選項A錯誤；

選項B，由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y

軸的正半軸上，本圖象符合題意，選項B正確；

選項C，由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y

軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，選項C錯誤；

選項D，由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則-k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點在y

軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，選項D錯誤．

故選B．

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：1）先根據(jù)圖象的特點判斷k取值是否矛

（

盾；2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點是否符合要求．

（

2、B

【分析】連接OD、OC，根據(jù)CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，進而得出∠DOC=90°，根據(jù)S陰影=S扇形-S△ODC

即可求得．

【詳解】連接OD、OC，

∵AB是直徑,

∴∠ACB=90°，

∵CE=BC，

∴∠CBD=∠CEB=45°，

∴∠COD=2∠DBC=90°，

90

∴S陰影=S扇形S△ODC=

故答案選B.

【點睛】

321×3×3=99.

360

2

4

2

本題考查的知識點是扇形面積的計算，解題的關鍵是熟練的掌握扇形面積的計算.

3、A

【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根結合根的判別式即可得出關于k的一元一次方程，解之即可得出結論．

【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2+1x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，

∴△＝12﹣1k＝16﹣1k＝0，

解得：k＝1．

故選：A．

【點睛】

本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，熟練掌握"當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根"是解題的關鍵．

4、D

【分析】根據(jù)已知圖象可以得到圖象與x軸的交點是（-1，0），（2，0）

，又y＞0時，圖象在x軸的上方，由此可以

求出x的取值范圍．

【詳解】依題意得圖象與x軸的交點是（-1，0），（2，0），

當y＞0時，圖象在x軸的上方，

此時x＜－1或x＞2，

∴x的取值范圍是x＜－1或x＞2，

故選D．

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)與不等式，解答此題的關鍵是求出圖象與x軸的交點，然后由圖象找出當y＞0時，自變量x的范

圍，注意數(shù)形結合思想的運用.

5、D

【分析】由拋物線的解析式可求得其開口方向、對稱軸、函數(shù)的最值即可判斷．

【詳解】∵y2x24，

∴拋物線開口向上，

對稱軸為直線x＝0，頂點為（0，4）

，當x＝0時，有最小值4，

故A、B、C正確，D錯誤；

故選：D．

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y＝a（xh）2＋k中，對稱軸為x＝h，頂

點坐標為（h，k）

．

6、B

【分析】讓白球的個數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到白球的概率．

【詳解】解：6個黑球3個白球一共有9個球，所以摸到白球的概率是

31

93．

故選：B．

【點睛】

本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．

7、A

【分析】根據(jù)"同弧所對圓周角相等"以及"等角的余角相等"即可解決問題①，運用相似三角形的判定定理證明

△EBC∽△BDC即可得到②，運用反證法來判定③即可.

【詳解】證明：①∵BC⊥AB于點B，

∴∠CBD+∠ABD=90°，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CBD=∠BAD，

∵∠BAD=∠CEB，

∴∠CEB=∠CBD，

故①正確；

②∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，

∴△EBC∽△BDC，

∴

BDCD

BEBC，

故②正確；

③∵∠ADB=90°，

∴∠BDF=90°，

∵DE為直徑，

∴∠EBD=90°，

∴∠EBD=∠BDF，

∴DF∥BE，

假設點F是BC的中點，則點D是EC的中點，

∴ED=DC，

∵ED是直徑，長度不變，而DC的長度是不定的，

∴DC不一定等于ED，

故③是錯誤的.

故選：A.

【點睛】

本題考查了圓周角的性質，余角的性質，相似三角形的判定與性質，平行線的判定等知識，知識涉及比較多，但不難，

熟練掌握基礎的定理性質是解題的關鍵.

8、C

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義即可判斷.

【詳解】在平面內，若一個圖形可以繞某個點旋轉180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，

根據(jù)定義可知，C選項中的圖形是中心對稱圖形.

故答案選：C.

【點睛】

本題考查的知識點是中心對稱圖形，解題的關鍵是熟練的掌握中心對稱圖形.

9、A

【解析】試題解析：

A50,OAOB,

OBAOAB50，

AOB180505080，

∵點C是AB的中點，

BOC1AOB40.

2

故選A.

點睛：垂直于弦的直徑，平分弦并且平分弦所對的兩條弧.

10、B

【解析】首先連接OC，AO，由切線的性質，可得OC⊥AB，根據(jù)已知條件可得：OA=2OC，進而求出∠AOC的度

數(shù)，則圓心角∠AOB可求，根據(jù)弧長公式即可求出劣弧AB的長．

【詳解】解：如圖，連接OC，AO，

∵大圓的一條弦AB與小圓相切，

∴OC⊥AB，

∵OA=6，OC=3，

∴OA=2OC，

∴∠A=30°，

∴∠AOC=60°，

∴∠AOB=120°，

1206

∴劣弧AB的長=

=4，

180

故選B．

【點睛】

本題考查切線的性質，弧長公式，熟練掌握切線的性質是解題關鍵．

11、B

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，在平面內，把圖形繞著某個點旋轉180，如果旋轉后的圖像能與原圖形重合，就

為中心對稱圖形.

【詳解】選項A，不是中心對稱圖形.

選項B,是中心對稱圖形.

選項C,不是中心對稱圖形.

選項D,不是中心對稱圖形.

故選B

【點睛】

本題考查了中心對稱圖形的定義.

12、A

【分析】平均數(shù)的計算方法是求出所有數(shù)據(jù)的和，然后除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)；據(jù)此先求得x的值，再將數(shù)據(jù)按從小到大

排列，將中間的兩個數(shù)求平均值即可得到中位數(shù)，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．

【詳解】這組數(shù)的平均數(shù)為

2＋x＋4＋8

＝4，

4

解得：x＝2；

所以這組數(shù)據(jù)是：2，2，4，8；

中位數(shù)是（2＋4）÷2＝3，

2在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)2次，4出現(xiàn)一次，8出現(xiàn)一次，

所以眾數(shù)是2；

故選：A．

【點睛】

本題考查平均數(shù)和中位數(shù)和眾數(shù)的概念．

二、填空題（每題4分，共24分）

13、5．

【分析】

根據(jù)四邊形ABCD為矩形以及折疊的性質得到∠A=∠MNB=90°，M為射線AD上的一個動點可知若△NBC

由

是直角三角形，∠NBC=90°與∠NCB=90°都不符合題意，只有∠BNC=90°．然后分N在矩形ABCD內部與N在矩形

ABCD外部兩種情況進行討論，利用勾股定理求得結論即可．

【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵將△ABM沿BM折疊得到△NBM，

∴∠MAB＝∠MNB＝90°．

∵M為射線AD上的一個動點，△NBC是直角三角形，

∴∠NBC＝90°與∠NCB＝90°都不符合題意，

∴只有∠BNC＝90°．

①

當∠BNC＝90°，N在矩形ABCD內部，如圖3．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、N、C三點共線，

∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，

∴NC＝4．

設AM＝MN＝x，

∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，

∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，

35+（5﹣x）5＝（4+x）5，

解得x＝3；

當∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部時，如圖5．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、C、N三點共線，

∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，

∴NC＝4，

設AM＝MN＝y(tǒng)，

∵MD＝y(tǒng)﹣5，MC＝y(tǒng)﹣4，

∴在Rt△MDC中，CD5+MD5＝MC5，

35+（y﹣5）5＝（y﹣4）5，

解得y＝9，

則所有符合條件的M點所對應的AM和為3+9＝5．

故答案為5．

【點睛】

本題考查了翻折變換（折疊問題）

，矩形的性質以及勾股定理，難度適中．利用數(shù)形結合與分類討論的數(shù)學思想是解題

的關鍵．

14、(n1)2．

【分析】根據(jù)三角形數(shù)得到x1=1，x1=3=1+1，x3=6=1+1+3，x4=10=1+1+3+4，x5=15=1+1+3+4+5，即三角形數(shù)為從1

到它的順號數(shù)之間所有整數(shù)的和，即xn=1+1+3++n=nn1、xn+1=n1n2，然后計算xn+xn+1可得．

2

2

【詳解】∵x1=1，

x1═3=1+1，

x3=6=1+1+3，

x4═10=1+1+3+4，

x5═15=1+1+3+4+5，

∴xn=1+1+3++n=nn1，

2

xn+1=n1n2，

2

則xn+xn+1=

n1n2+nn1=（n+1）1，

2

2

故答案為：n+1）1．

（

15、110°.

1

【分析】

由圓周角定理,同弧所對的圓心角是圓周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根據(jù)圓內接四邊形對角互補,可得

2

∠C=180-∠A=110°

【詳解】∵∠BOD=140°

1

∴∠A=∠BOD=70°

2

∴∠C=180°-∠A=110°，

故答案為：110°.

【點睛】

此題考查圓周角定理，解題的關鍵在于利用圓內接四邊形的性質求角度.

16、1

【分析】將a代入方程x2x10，得到a2a10，進而得到1aa2，a1a2，然后代入求值即可.

【詳解】解：由題意，將a代入方程x2x10

∴a2a10，1aa2，aa21

∴

1aaa21a2a(1a)(1a)a1a1

a

1aa1a

1a

故答案為：1

【點睛】

本題考查一元二次方程的解，及分式的化簡，掌握方程的解的概念和平方差公式是本題的解題關鍵.

17、1

【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反.

【詳解】∵點A2,1與B2,m關于原點對稱

∴m1

故填：1.

【點睛】

本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，熟練掌握點的變化規(guī)律是關鍵．

18、y(x3)2（答案不唯一）

【解析】利用二次函數(shù)的頂點式解決問題即可．

【詳解】由題意拋物線的頂點坐標為（3，0），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）1．

∵開口向下，可取a=－1，∴拋物線的解析式為y=－（x﹣3）1．

故答案為y=－（x﹣3）1（答案不唯一）．

【點睛】

本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

三、解答題（共78分）

19、x1=5，x2=﹣1．

【解析】試題分析：移項后，用因式分解法解答即可．

試題解析：解：∵x2﹣5=4x，∴x2﹣4x﹣5=0，∴（x﹣5）（x+1）=0，∴x﹣5=0或者x+1=0，∴x1=5，x2=﹣1．

20、1）AC=AE；2）圖見解析，證明見解析

（

（

【解析】1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO．證△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得

（

證；

（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=

1

1

∠MCE=∠CEN得證．

2

2

【詳解】證明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO.

∵BCDE，

∴BC=DE，

∴BP=DQ，

又∵OB=OD，

∴△OBP≌△ODQ，

∴OP=OQ.

∴BP=DQ=CP=EQ.

直角三角形APO和AQO中，

AO=AO，OP=OQ，

∴△APO≌△AQO.

∴AP=AQ.

∵CP=EQ，

∴AC=AE.

（2）作圖如圖所示

證明：∵AC=AE，∴ACEAEC，

∴ECMCEN，由于AF是CE的垂直平分線，且CF平分MCE，

∴CF=EF.

∴FCEFEC

因此EF平分CEN

【點睛】

1MCE1CEN

2

2

本題考查了圓心角、弧、弦的關系,全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質,等腰三角形的性質，綜合性比

較強，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.

21、1）120°；2）

（

（

83；3）3OE14

（

3

2

4

【分析】(1)利用圓內接四邊形對角互補構建方程解決問題即可．

(2)將△ACD繞點C逆時針旋轉120°得△CBE，根據(jù)旋轉的性質得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求

出A、B、E三點共線，解直角三角形求出即可；

(3)由題知AC⊥BD，過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，判斷出四邊形OMEN是矩形，進

而得出OE2＝2﹣（AC2+BD2）

，設AC＝m，構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質解決問題即可．

【詳解】解：(1)如圖1中，

∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠A+∠C＝180°，

∵∠A：∠C＝1：2，

∴設∠A＝x，∠C＝2x，則x+2x＝180°，

解得，x＝60°，

∴∠C＝2x＝120°．

(2)如圖2中，

∵A、B、C、D四點共圓，∠BAD＝60°，

∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，

∵點C為弧BD的中點，

1

∴BC＝CD，∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，

2

將△ACD繞點C逆時針旋轉120°得△CBE，如圖2所示：

則∠E＝∠CAD＝∠CAB＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，

∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝360°﹣（∠CAB+∠ACB+∠ABC）＝360°

﹣180°＝180°，

∴A、B、E三點共線，

過C作CM⊥AE于M，

∵AC＝CE，

∴AM＝EM＝

1

1

1

AE＝（AB+AD）＝×（3+5）＝4，

2

2

2

AM483

在Rt△AMC中，AC＝cos30

3

3．

2

(3)過點O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，連接OA，OD，

1

1

∵OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2，ON2＝OD2﹣DN2，AM＝AC，DN＝BD，AC⊥BD，

2

2

∴四邊形OMEN是矩形，

∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2，

∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣

1

4（AC+BD）

2

2

設AC＝m，則BD＝3﹣m，

∵⊙O的半徑為1，AC+BD＝3，

∴1m2，

OE2＝2﹣

1

1

3

1

1

3

7

[（AC+BD）2﹣2AC×BD]＝﹣m2+m﹣＝﹣（m﹣）2+，

4

2

2

4

2

2

8

3

7

∴OE

2

4

8，

∴

3OE14．

2

4

【點睛】

本題主要考查的是圓和四邊形的綜合應用，掌握圓和四邊形的基本性質結合題目條件分析題目隱藏條件是解題的關鍵.

22、1）詳見解析；2）詳見解析；3）詳見解析.

（

（

（

【分析】1）根據(jù)折疊和正方形的性質結合相似三角形的判定定理即可得出答案；

（

（2）設BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質證明即可得出答案；

（3）設BM=x，AM=a-x，利用勾股定理和相似三角形的性質即可得出答案.

【詳解】證明：1）∵四邊形ABCD是正方形，

（

∴ABC90，

∴AMGAGM90，

∵EF為折痕，

∴GMEC90，

∴AMGBME90，

∴AGMBME，

在AGM與BME中

∵AB，AGMBME，

∴AGM∽BME；

（2）∵M為AB中點，

∴

BMAMa，

2

設BEx，則MECEa-，

x

在RtBME中，B90，

∴BM2BE2ME2，即

a2x2ax2，

2

3a

8，

3

5

∴BEa，MEa，

8

8

∴x

由（1）知，AGM∽BME，

∴

AGGMAM4

BMME

BE3，

4

2

4

5

∴AGBMa，GMMEa，

3

3

3

6

∴

AMAGMG

3

4

5；

（3）設BMx，則AMax，MECEaBE，

在RtBME中，B90，

∴BM2BE2ME2，即x2BE2aBE2，

解得：BE

ax2，

22a

由（1）知，AGM∽BME，

CAGMAM2a

∴C

BEax，

BME

∵CBMEBMBEMEBMBECEBMBCax，

∴CAGMCBME

AMax2a2a

.

BE

ax

【點睛】

本題考查的是相似三角形的綜合，涉及的知識點有折疊的性質、正方形的性質、勾股定理和相似三角形，難度系數(shù)較

大.

23、46

【分析】如圖所示作出輔助線，由垂徑定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，進而求出ON的值，再由勾股

定理求CN的值，最后得出CD的值即可．

【詳解】解：如圖所示，因為AB∥CD，所以過點O作MN⊥AB交AB于點M，交CD于點N，連接OA，OC，

由垂徑定理可得AM=

1AB3

，

2

∴在Rt△AOM中，OMOA2AM252324，

∴ON=MN-OM=1，

∴在Rt△CON中，CNOC2ON25212

2426，

∴CD2CN46，

故答案為：46

【點睛】

本題考查勾股定理及垂徑定理，作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．

24、1

【分