最優(yōu)化考試試題文檔

《最優(yōu)化方法》1一、填空題：1．最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般為：____________________________，其中___________稱為目標(biāo)函數(shù)，___________稱為約束函數(shù)，可行域D可以表示為_____________________________，若______________________________，稱x為問題的局部最優(yōu)解，若_____________________________________，稱x**為問題的全局最優(yōu)解。2．設(shè)f(x)=2x22xxx5x，則其梯度為___________，海色矩陣11212___________,令x(1,2)T,d(1,0)T,則f(x)在x處沿方向d的一階方向?qū)?shù)為___________，幾何意義為___________________________________,二階方向?qū)?shù)為___________________，幾何意義為____________________________________________________________。3．設(shè)嚴(yán)格凸二次規(guī)劃形式為：則其對(duì)偶規(guī)劃為___________________________________________。4．求解無約束最優(yōu)化問題：minf(x),xRn，設(shè)xk是不滿足最優(yōu)性條件的第k步迭代點(diǎn)，則：用最速下降法求解時(shí)，搜索方向d=___________k用Newton法求解時(shí)，搜索方向d=___________k用共軛梯度法求解時(shí)，搜索方向d=_______________k____________________________________________________________。二．（10分）簡答題：試設(shè)計(jì)求解無約束優(yōu)化三．（25分）計(jì)算題1．（10分）用一無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解：問題的一般下降算法。階必要和充分條件求解如下minf(x)2x33x26xx(xx1).1112122．（15分）用約束問題局部解的一階必要條件和二階充分條件求約束問題：的最優(yōu)四．解和相應(yīng)的乘子。33分）1．（10分）設(shè)f(x)12xTGxrTx是正定二次函數(shù)，證明一維問題的最優(yōu)步長為af(xk)Tdk.kdkGdkT2．（10分）證明凸規(guī)劃1頁

minf(x),xD（其中f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，D是凸集）的最優(yōu)解是唯一的3.（13分）考慮不等式約束問題其中f(x),c(x)(iI)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)x是約束問題的可行點(diǎn)，若在x處id滿足則d是x處的可行下降方向。《最優(yōu)化方法》2一、填空題1．最優(yōu)化問題的數(shù)___________稱為為_____________________________，若：學(xué)模型一般為：____________________________，其中___________稱為約束函數(shù)，可行域D可以表示______________________________，目標(biāo)函數(shù)，稱x為問題的局部最優(yōu)解，若_____________________________________，稱x**為問題的全局最優(yōu)解。2．設(shè)f(x)=x22xx10x5x，則其梯度為___________，海色矩陣11212___________,令x(1,0)T,d(1,1)T,則f(x)在x處沿方向d的一階方向?qū)?shù)為___________，幾何意義為___________________________________,二階方向?qū)?shù)為___________________，幾何意義為____________________________________________________________。3．設(shè)嚴(yán)格凸___________________________________________。二次規(guī)劃形式為：則其對(duì)偶規(guī)劃為4．求解無約束最優(yōu)化問題：minf(x),xRn，設(shè)x是不滿足最優(yōu)性條件的第kk步迭代點(diǎn)，則：用最速下降法求解時(shí)，搜索方向d=___________k用Newton法求解時(shí)，搜索方向d=___________k用共軛梯度法求解時(shí)，搜索方向d=_______________k____________________________________________________________。10分）缺點(diǎn)。（200字左右）三．（25分）計(jì)算題3．（10分）階必要和充分條件求解如下二．（簡答題：試敘述求解無約束優(yōu)化問題的優(yōu)化方法及其優(yōu)用一無約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解：minf(x)2x33x26xx(xx1).1112122頁

4．（15分）用約束問題局部解的一階必要條件和二階充分條件求解約束問題：其中p1,a0.四．證明題（共33分）1．（10分）設(shè)f(x)12xTGxrTx是正定二次函數(shù)，證明一維問題a的最優(yōu)步長為kf(xk)Tdk.dkGdkT2．（23分）考慮如下規(guī)劃問題其中f(x),c(x)(i1,,n)是凸函數(shù)，證明：i（1）（7分）上述規(guī)劃為凸規(guī)劃；（2）（8分）上述規(guī)劃的最優(yōu)解集R為凸集；*（3）（8分）設(shè)if(x),c(x)(i1,2,,n)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，若x是*KT點(diǎn)，則x是上述凸規(guī)劃問題的全局解。*《最優(yōu)化方法》試題3一、填空題1.設(shè)f(x)是凸集上的一階可微函數(shù)，則f(x)是S上的凸函數(shù)SRn的一階充要條件是（），當(dāng)n=2時(shí)，該充要條件的幾何意義是（）；2.設(shè)f(x)是凸集上的二階可微函數(shù)，則f(x)是Rn上的嚴(yán)格凸函數(shù)Rn（）（填‘當(dāng)’或‘當(dāng)且僅當(dāng)’）對(duì)任意，是xRf(x)n2（）矩陣；121minzxxxx2x3x21s.t.xx222255，則在點(diǎn)處的x(,)T663.已知規(guī)劃問題12x5x5x,x012123頁

可行方向集為（），下降方向集為（）。二、選擇題minf(x2)x22211.給定問題，則下列各點(diǎn)屬于K-T點(diǎn)的是s.t.xx2012xx012（）12A)(0,0)B)(1,1)C)D)(,)TTT2211(,)T222.下列函數(shù)中屬于嚴(yán)格凸函數(shù)的是（）A)B)D)f(x)x22xx10x5x11212f(x)x2x(x0)3122C)f(x)2x2xxx22x26xx1123132f(x)3x4x6x312三、求下列問題取初始點(diǎn)。0,5T四、考慮約束優(yōu)化問題用兩種懲罰函數(shù)法求解。五．用牛頓法求解二次函數(shù)11的極小值。初始點(diǎn)。Tx,1,220六、證明題4頁

minf(x)12xTQxcTx，設(shè)從點(diǎn)xRn出發(fā)，沿方1.對(duì)無約束凸規(guī)劃問題向作最優(yōu)一維搜索，得到步長t和新的點(diǎn)yxtd，試證當(dāng)dRndTQd1時(shí)，。t22[f(x)f(y)]minfxx2x3x2.設(shè)x*(x*,x*,x*)T0是非線性規(guī)劃問題3的最優(yōu)12s.t.x4x4x410312231minx4x4x解，試證也是非線性規(guī)劃問題x*43s.t.x2x3xf*的最優(yōu)解，其中21123。f*x*2x*3x*312《最優(yōu)化方法》試題4一、是非題1.若某集合是凸集，則該集合中任意兩點(diǎn)的所有正線性組合均屬于此集合。2.設(shè)函數(shù)f(x)C2，若，并且半正定，則x*是minf(x)f(x)0f(x)*2*的局部最優(yōu)解。3.設(shè)是的局部最優(yōu)解，則在x*處的下降方向一定不是可xminf(x)*行方向。4.設(shè)是的局部最優(yōu)解，則是的K-T點(diǎn)。xminf(x)*xminf(x)*5.設(shè)函數(shù)f(x)C2，則用最速下降法求解minf(x)時(shí)，在迭代點(diǎn)處xk的搜索方向一定是f(x)在xk處的下降方向。6.用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，要求初始點(diǎn)是不可行點(diǎn)。二、在區(qū)間[1,1]上用黃金分割法求函數(shù)的極小點(diǎn)，求f(x)xx22出初始的兩個(gè)試點(diǎn)及保留區(qū)間。5頁

117,117三、驗(yàn)證點(diǎn)與是否是規(guī)劃問題(0,3)T()T22的K-T點(diǎn)。對(duì)K-T點(diǎn)寫出相應(yīng)的Lagrange乘子。四、用外點(diǎn)法求解五．用共軛梯度法求解無約束優(yōu)化問題取初始點(diǎn)，精度為103。x(0,0)T0六、證明題1.設(shè)集合是凸集，是上的凸函數(shù)，令SRf(x),f(x)S1nk證明f(x)也是S上的凸函數(shù)。2.設(shè)X，記xRn|axb,i1,,m,x0,j1,,n,xXnLijjijLj1證明：p是X在x處的可行方向的充要條件是Lap0,iI(x);p0,jJ(x)。nijjjj1《最優(yōu)化方法》試題5二、填空題1.設(shè)Q為n階對(duì)稱正定矩陣，為行滿秩矩陣，則問題Amn的K-T點(diǎn)為（）；s.t.Axb2.的平穩(wěn)點(diǎn)為（），該平穩(wěn)點(diǎn)minf(x)(x2)4(x2x)2112（）（填‘是’或‘不是’）局部最優(yōu)解；6頁

minfx()3.設(shè)是問題的可行解，則在處有?x?..stAxbxAR,xRn,bRmmn其中?,?,，則是的下降方向A(AT,AT)T,b(bT,bT)T0?xAxbAxb1d1221212的充要條件為（），是的可行方向的充要條件為d0x?（）。二．運(yùn)用0.618法求在區(qū)間[1,3]上的極小點(diǎn)。要求最終區(qū)間長度不大于原區(qū)間長度的0.08倍。（計(jì)算結(jié)果精確到0.001）2，取三、用最速下降法求解無約束問題minfx3x24x3212初始點(diǎn)。x14,3T四、證明題f(x)12xTAxbTxc（A為對(duì)稱正定矩陣）的極小值1.用牛頓法求函數(shù)只需一次迭代；2.罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法定義懲罰函數(shù)G(x,r)f(x)rB(x)，（其中B(x)0）。設(shè)，證明：rr(k1,)產(chǎn)生序列xk()k1k（1）；G(x,r)G(x(k),r)k(k1)k1（2）；B(x)B(x)(k1)(k)（3）.f(x)f(x)(k1)(k)minf