常數(shù)項級數(shù)概念和性質(zhì)

第十 無窮級 R1造函數(shù)值表).故它在積分運算和微分?程求解時,也呈現(xiàn)在?然科學(xué)和?程技術(shù)中,也常??窮級數(shù)來分析問題,如諧波分析等.2

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constantterminfinite常數(shù)項級數(shù)的概念收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的必要條件小結(jié)思考題作業(yè) 第?章?窮級 引例用圓內(nèi)接正多邊形面 依次作圓內(nèi)接正3·2n(n=0,1,2, )邊設(shè)a0表示內(nèi)接正三角形面積ak邊數(shù)增加時增加的面積3·n0+a1

+nfi￥時,這個 近于圓的面積A A=a0+a1+a2 +an51.1.+un￥un=u1+u2++un￥

3+ +n1-1+;

-1 +(-

n-11 +(-1)n-1+6un=u1+u2+u3 +un 2.也算不完,那么如何計算?稱?窮級數(shù)(1)的前nnsn=u1+u2 +un

這樣,級數(shù)(1)對應(yīng)?個部分和數(shù)列s1=u1, s2=u1+u2,sn=u1+u2 +,

s3=u1+u2+u3 從?限到有限,從?限到有限,再從有限(近似)到?限(精確當(dāng)n?限增?時如果級數(shù)un￥￥數(shù)列sn有極限s,即limsns. nfi un收斂,這時極限s叫做級數(shù)un的和 并寫成s=u1+u2 +un￥如果sn沒有極限,則稱?窮級數(shù)un發(fā)散￥即limsn存在(不存在 常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散8￥un=u1+u2+u3 ￥

n極限是等價的對收斂級數(shù)(1

=￥ ￥為級數(shù)(1)的余項或余和.顯然有l(wèi)imrn當(dāng)n充分?時,sn

誤差為|rn|9例級數(shù)1+2+3+ +n+ =1+2+3 +n=n(n

=limn(n+1) 所以,級數(shù)發(fā)散例討論等比級數(shù)(?何級數(shù)￥aqn=a+aq+aq2 +aqn (a￥的收斂性.(重要 如果q?1時sn=a+aq+aq2 +=a- 1- =1-

1-當(dāng)q1時

limn=

sn=1-sn=1-q-1-a=當(dāng)q1時

limn￥lim ￥如果q1

當(dāng)q=1時,sn=nafi 當(dāng)q1時級數(shù)變?yōu)閍aaa\limsn不存 nfi 當(dāng)

時,綜 aqn

當(dāng)

時,例 + +1 3

(2n-1)(2n+

. u =1 - (2n-1)(2n+ 22n- 2n+n\ = +1 n13+3 (2n-1)(2n+=1 11 11 1) =1(1- \limsn

nfi￥

)=2級數(shù)收斂,和為12

即s2 rn=s-=1

22n+￥ ￥

n收斂并求其和

=1

+ 3 +n = ++= n后式減前式,

=1+(2-1)+(3-2) +( n

2n- 2n-

1++

1

2n-+2

1- 21-￥￥2n

-n=2- - 1-

故s=lim =lim(2

-n)=nfi￥

所以,此級數(shù)收斂且其和為 性質(zhì) 設(shè)常數(shù)k?0,則un與 證令un與kunsn及sn. sn=ku1+ku2 +kun=k(u1+u2 于是當(dāng)snfissnksnfi =ksn也不存在極限 結(jié)論:級數(shù)的每? ￥例討論級數(shù)3lnna(a0)的斂散性￥￥解因為3lnna是以lna為公比的等比級數(shù)￥故當(dāng)1ae時,|lna|1,級數(shù)收斂.當(dāng)0a￡1或ae時|lna|1,發(fā)散. 當(dāng)

時,aqn

當(dāng)

時, 性質(zhì)2設(shè)有兩個級數(shù)un與vn 若若￥un￥vn則￥nn)=s–s 若un收斂vn發(fā)散則(unvn 若un,vn均發(fā)散則(unvn斂散性不確定 證級數(shù)的部分和(uivi=ui–vi i i 極限的性質(zhì)lim(uivilimuilimvi即證

nfi￥i

nfi￥i

nfi￥i結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減￥若兩級數(shù)都發(fā)散unvn)不?定發(fā)散￥ ,都發(fā)散.

, 0收斂￥例￥

￥nn=1￥n

都收斂￥￥n當(dāng)q時,當(dāng)q時,

1 ￥

+3n

=

33

+n￥1￥1

+1

3n-￥ 3￥S=S= 1-1 11-

= 3性質(zhì)3添加、去掉或改變有限項不影響?個￥證將級數(shù)unk項去掉,￥ uk+n的部分和為sn=uk =sk+n-

由于nfi￥時,sn與sk+n極限狀況相同故新舊兩級當(dāng)級數(shù)收斂時其和的關(guān)系為sssk￥性質(zhì)4設(shè)級數(shù)un收斂,在此收斂￥以任意加(有限個或?限個)括號,所得新級數(shù)仍收注?個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散注則原級數(shù)發(fā)散事實上設(shè)原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)性質(zhì)4,加括后的級數(shù)就應(yīng)該收斂了.②?個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定括號括號11+能加?窮多括號性質(zhì)性質(zhì)4數(shù)的和￥證sun若按某一規(guī)律加括弧,￥(u1+u2)+(u3+u4+u5)則新級數(shù)的部分和數(shù)列sm(m=1,2, 和數(shù)列sn(n=1,2, )的一個子數(shù)列,因此必有l(wèi)imsm=limsn=mfi limun=￥證sun un=sn-sn-limunlimsnlimsn-

nfi=s-s=注級數(shù)收斂的必要條件注級數(shù)收斂的必要條件:limun①級數(shù)收斂的必要條件常?判別級數(shù)發(fā)散②也可?它求或驗證極限為“0”的極限③必要條件不充分如

1+1+ 1+++n +++n

有￥討論由于x

(x>0)發(fā) nn sn=

>ln1+k

=ln2+ln3+ln4 +lnn1=ln

3 n+1

n 2 111收斂+1111收斂+1

知級數(shù)發(fā)散例

n3-2n+￥

(2n-1)(2n+1)(2n+(1+￥￥

lnn3 -n=1 級數(shù)收斂的必要條件limun常?判別級數(shù)發(fā)散 n32n (2n-1)(2n+1)(2n+解limun=

n3-2n+

=1?￥￥

lim

=3?nfi￥

nfi￥ 1 n1+n n

1￥￥

lnn3=1 ￥ 解因調(diào)和級數(shù)￥￥

n發(fā)散由性質(zhì)1知

n=1

發(fā)散

lnn

r

ln3

為公比的等比級數(shù)|r|ln3 所以這個等比級數(shù)收斂3￥ lnn3發(fā)散

-n=1 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件limun￥設(shè)un為收斂級數(shù),a為非零常數(shù)￥(una的斂散性￥解因為un