浙江省杭州市之江中學2022年高三數學文上學期期末試卷含解析

浙江省杭州市之江中學2022年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數列{an}的前n項和Sn，若a3+a7-a10=8，a11-a4=4，則S13等于 （

）A．152

B．154

C．156

D．158

參考答案：C略2.過拋物線焦點的直線交其于，兩點，為坐標原點．若，則的面積為（

）A．

B．

C．

D．2參考答案：C3.若變量滿足約束條件，則的最大值為A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.一個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t，硝酸鹽18t，可獲利10000元，生產一車皮乙種肥料所需的主要原料是磷酸鹽是1t，硝酸鹽15t，可獲利5000元，現庫存磷酸鹽15t，硝酸鹽66t，則安排甲、乙兩種肥料的生產分別是多少時，才能獲得的最大利潤（）A．﹣3，1 B．2，2 C．2，1 D．1，3參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；數形結合；轉化思想；不等式．【分析】先設x、y分別為計劃生產甲、乙兩種混合肥料的車皮數，根據題意列出約束條件，再利用線性規(guī)劃的方法求解最優(yōu)解即可．【解答】解：設x、y分別為計劃生產甲、乙兩種混合肥料的車皮數，于是滿足以下條件：；再設分別生產甲、乙兩種肥料各x、y車皮產生的利潤為z=10000x+5000y=5000（2x+y），由得兩直線的交點M（2，2）．令t=2x+y，當直線L：y=﹣2x+t經過點M（2，2）時，它在y軸上的截距有最大值為6，此時z=30000．∴分別生產甲、乙兩種肥料各為2，2車皮，能夠產生最大利潤，最大利潤是30000t．故選：B．【點評】利用線性規(guī)劃知識解決的應用題．新高考中的重要的理念就是把數學知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關鍵，屬于中檔題．5.若函數的值域為R，則實數m的取值范圍為(A)

(B)(—∞,0)

(C)

(D)參考答案：C6.某食品廠只做了3中與“福”字有關的精美卡片，分別是“富強?！薄ⅰ昂椭C?！?、“友善福”、每袋食品隨機裝入一張卡片，若只有集齊3種卡片才可獲獎，則購買該食品4袋，獲獎的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：B7.函數存在與直線平行的切線，則實數的取值范圍是（

）.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B8.函數在區(qū)間［0，］上的零點個數為（

）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：B略9.設，，則“”是“”則（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A10.若則的大小關系為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中，直線的方程為，則點（到直線的距離為

．參考答案：略12.設集合，若，則

．參考答案：

13.已知四個非負實數，滿足，則的最大值為

.參考答案：7略14.已知全集，，如果，則

．參考答案：215.若實數x，y滿足，則x＋2y的值域為＿＿＿＿參考答案：可行域如圖.設則.易知點，為最優(yōu)解.,,又可行域過原點，.

16.函數f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函數f﹣1（x）=

．參考答案：（x＞﹣2）考點：反函數．專題：函數的性質及應用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x與y互換即可得出．解答： 解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x與y互換可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案為：（x＞﹣2）．點評：本題考查了反函數的求法，屬于基礎題．17.平面幾何中有如下結論：如圖1，設O是等腰Rt△ABC底邊BC的中點，AB＝1，過點O的動直線與兩腰或其延長線的交點分別為Q，R，則有．類比此結論，將其拓展到空間有：如圖2，設O是正三棱錐A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD兩兩垂直，AB＝1，過點O的動平面與三棱錐的三條側棱或其延長線的交點分別為Q，R，P，則有

．參考答案：【知識點】類比推理.M1【答案解析】

解析：不妨設R為AC的中點，取AB的中點M，連接RM，QR與BC交于N，所以BN//MR，故,所以，即，解得，所以,,所以，故答案為3.【思路點撥】不妨設R為AC的中點，取AB的中點M，連接RM，QR與BC交于N，所以BN//MR，然后求出各線段的長度代入即可.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4（1）

求橢圓的方程；（2）

設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值.參考答案：（1）由，得，再由，得由題意可知，解方程組

得a=2,b=1，所以橢圓的方程為。(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去整理，得由得設線段AB是中點為M，則M的坐標為以下分兩種情況：（1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當k時，線段AB的垂直平分線方程為（后邊的Y改為小寫）令x=0，解得由整理得綜上略19.已知數列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（1）求數列{an}的通項an；（2）求數列{n2an}的前n項和Tn；（3）若存在n∈N*，使得an≥（n+1）λ成立，求實數λ的取值范圍．參考答案：考點：數列與不等式的綜合；數列的求和；等比數列的性質．專題：綜合題．分析：（1）因為a1+2a2+3a3+…+nan=，所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2．所以=3（n≥2）．由此能夠求出an．（2）由（1）可知當n≥2n2an=2n?3n﹣2．當n≥2時，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2，由錯位相減法得到（n≥2），又因為T1=a1=1也滿足上式，所以Tn=．（3）an≥（n+1）λ等價于λ≤，當n≥2時，，設f（n）=，則f（n+1）﹣f（n）=＜0，由此能求出實數λ的取值范圍．解答：解：（1）因為a1+2a2+3a3+…+nan=所以a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）兩式相減得nan=所以=3（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此數列{nan}從第二項起，是以2為首項，以3為公比的等比數列所以nan=2?3n﹣2（n≥2）﹣﹣﹣﹣（3分）故an=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知當n≥2n2an=2n?3n﹣2當n≥2時，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴3Tn=3+4?31+…+2（n﹣1）?3n﹣2+2n?3n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）兩式相減得（n≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又∵T1=a1=1也滿足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以Tn=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）an≥（n+1）λ等價于λ≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由（1）可知當n≥2時，設f（n）=，則f（n+1）﹣f（n）=＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴，又及，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴所求實數λ的取值范圍為λ≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要注意錯位相減求和法和轉化與化歸思想的合理運用，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．20.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且

∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．參考答案：解：（Ⅰ）如圖1所示，取AB中點E，連PE、CE．則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，所以PE⊥AB．PE=1，CE=，PC=2，即．由勾股定理可得，PE⊥CE．

又因為ABì平面ABCD，CEì平面ABCD，Ks5u且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．而PEì平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）（方法1）如圖1，在Rt△PEC中，過點E作EF⊥PC于點F，連AF．過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連FH．因為AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因為AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．由于AB∥平面PCD，所以A、E兩點到平面PCD的距離相等，故AH=EF．所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．

（方法2）以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．

設是平面PAC的一個法向量，則，即．取，可得，．

設是平面PCD的一個法向量，則，即．取，可得，．

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．略21.（本題滿分12分）數列的前項和為，數列的前項的和為，為等差數列且各項均為正數，，，（Ⅰ）求證：數列是等比數列；（Ⅱ）若，，成等比數列，求．參考答案：（Ⅰ）當時，

∴，即

又

∴是公比為3的等比數列（Ⅱ）由（1）得：

設的公差為（），∵，∴依題意有，，∴

即，得，或（舍去）故22.（本小題滿分12分）

在數列中，已知.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）求證：數列是等差數列；