浙江省溫州市瑞安隆山中高2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

浙江省溫州市瑞安隆山中高2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.現(xiàn)有5項工程由甲、乙、丙3個工程隊承包，每隊至少一項，但甲承包的項目不超過2個，不同的承包方案有（

）種A.130

B.150

C.220

D.240參考答案：A2.三棱柱的側(cè)棱AA1和BB1上各有一動點P，Q滿足A1P=BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為（）A．3：1 B．2：1 C．4：1 D．參考答案：B【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中三棱柱的側(cè)棱AA1和BB1上各有一動點P，Q滿足A1P=BQ，我們可得四邊形PQBA與四邊形PQB1A1的面積相等，等于側(cè)面ABPQB1A1的面積的一半，根據(jù)等底同高的棱錐體積相等，可將四棱椎C﹣PQBA的體積轉(zhuǎn)化三棱錐C﹣ABA1的體積，進(jìn)而根據(jù)同底同高的棱錐體積為棱柱的，求出四棱椎C﹣PQBA的體積，進(jìn)而得到答案．【解答】解：設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為V∵側(cè)棱AA1和BB1上各有一動點P，Q滿足A1P=BQ，∴四邊形PQBA與四邊形PQB1A1的面積相等故四棱椎C﹣PQBA的體積等于三棱錐C﹣ABA1的體積等于V則四棱椎C﹣PQB1A1的體積等于V故過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為2：1故選B【點評】本題考查的知識點是棱柱的體積，棱錐的體積，其中根據(jù)四邊形PQBA與四邊形PQB1A1的面積相等，等于側(cè)面ABPQB1A1的面積的一半，將四棱椎C﹣PQBA的體積轉(zhuǎn)化三棱錐C﹣ABA1的體積，進(jìn)而根據(jù)同底同高的棱錐體積為棱柱的，求出上下兩部分的體積，是解答本題的關(guān)鍵．3.若一個圓錐的底面半徑是母線長的一半，側(cè)面積和它的體積的數(shù)值相等，則該圓錐的底面半徑為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【專題】計算題；方程思想；立體幾何．【分析】根據(jù)已知中側(cè)面積和它的體積的數(shù)值相等，構(gòu)造關(guān)于r的方程，解得答案．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則母線長為2r，則圓錐的高h(yuǎn)=r，由題意得：πr?2r=，解得：r=2，故選：C．【點評】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握圓錐的側(cè)面積公式和體積公式，是解答的關(guān)鍵．4.設(shè)函數(shù)，則的值為A

1

B

3

C

5

D

6參考答案：C5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=6，a1=4，則公差d等于（）A．﹣2 B．1 C． D．3參考答案：A【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】由題意和等差數(shù)列的求和公式可得的方程，解方程即可．【解答】解：由題意和等差數(shù)列的求和公式可得S3=3a1+d=3×4+3d=6，解得d=﹣2故選：A6.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：C略7.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足，若點O是△ABC外一點，，則四邊形OACB的面積的最大值為（）A. B. C.12 D.參考答案：A【分析】由誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍、商的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值求出B，結(jié)合條件判斷出△ABC為等邊三角形，設(shè)∠AOB＝θ，求出θ的范圍，利用三角形的面積公式與余弦定理，表示出得SOACB，利用輔助角公式化簡，由θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出平面四邊形OACB面積的最大值．【詳解】∵，，∴，化簡得，∵為三角形內(nèi)角，，∴，∴由得，，又∵，∴為等邊三角形；設(shè)，則，∴，∵，∴，∴當(dāng)，即時，取得最大值1，∴平面四邊形面積的最大值為．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換中的公式，余弦定理的應(yīng)用，考查化簡、變形及運算能力，屬于中檔題．8.如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P做直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）A． B．C． D．參考答案：C【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意長度、距離為正，再根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義即可得到f（x）的表達(dá)式，然后化簡，分析周期和最值，結(jié)合圖象正確選擇．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，則OM=|cosx|，∴點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期為T=，最大值為，最小值為0，故選C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，同時考查二倍角公式的運用．9.化簡的結(jié)果是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先用消去式子中的，再用二倍角公式可進(jìn)一步對式子進(jìn)行化簡即得?！驹斀狻坑深}得原式，，，，故選B。【點睛】本題主要考查二倍角公式的運用，在開二次根號時需要注意開出的數(shù)必須為正數(shù)。10.已知函數(shù)，則=（

）A．-4

B．4

C．8

D．-8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則對任意實數(shù),，都有以下四條性質(zhì)中的

▲

(填入所有對應(yīng)性質(zhì)的序號).①②③④參考答案：④略12.設(shè)a、b∈R，“a=O”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的

▲

．參考答案：必要不充分條件13.已知，且，則的值為__________.參考答案：略14.若集合{3，|x|，ｘ}＝｛－２，２，y｝，則=

;參考答案：12略15.已知向量，滿足且與的夾角為，則

.參考答案：16.已知集合若A中至多有一個元素，則a的取值范圍是_________.參考答案：略17.若a>3，則函數(shù)f（x）=x2-ax+1在區(qū)間（0，2）上恰好有_____________個零點參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量、、，其中,且滿足求：

（1）

；

（2）與的夾角。參考答案：（1）

（2）0

略19.Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項的和，且S4=S9，a1=﹣12（1）求數(shù)列的通項an及Sn；（2）求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|參考答案：【考點】8E：數(shù)列的求和；85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式，構(gòu)造關(guān)于公差d的方程，求出公差后，可得數(shù)列的通項an及Sn；（2）由（1）中數(shù)列的通項公式，可得數(shù)列前6項為負(fù)，故可分n≤6和n≥7時兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求Tn．【解答】解：（1）∵S4=S9，a1=﹣12，∴4×（﹣12）+6d=9×（﹣12）+36d解得d=2…∴…（2）當(dāng)n≤6時，an＜0，|an|=﹣an，Tn=﹣（a1+a2+…=13n﹣n2，…當(dāng)n≥7時，an≥0，Tn=﹣（a1+a2+…+a6）+（a7+…=Sn﹣2（a1+a2+…+a6）=n2﹣13n+84…20.（本小題滿分13分）2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：組別PM2.5（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組(0,15]40.1第二組(15,30]12第三組(30,45]80.2第四組(45,60]80.2第五組(60,75]0.1第六組(75,90)40.1（Ⅰ）試確定的值，并寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計算過程）；（Ⅱ）完成相應(yīng)的頻率分布直方圖.（Ⅲ）求出樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由.參考答案：解：(Ⅰ)，…………………2分眾數(shù)為22.5微克/立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米.……4分（Ⅱ）其頻率分布直方圖如圖所示：……8分(Ⅲ)樣本的平均數(shù)為…………10分因為，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).……………………13分21.已知向量，，，函數(shù)，已知y=f（x）的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為1，且經(jīng)過點（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摩斜?，縱坐標(biāo)不變，再向右平移m（m＞0）個單位長度，向下平移3個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，求實數(shù)m的最小值．參考答案：【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積的定義，正弦函數(shù)的周期性求得ω，再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點M，求得函數(shù)f（x）的解析式．（Ⅱ）依題意利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性，求得m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）=sin2（ωx+φ）+4﹣1﹣cos2（ωx+φ）=﹣cos（2ωx+2φ）+3，由題可知，，∴T=4，∴由得．又∵函數(shù)f（x）經(jīng)過點，∴，∴，∵，∴，即，∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=．（Ⅱ）先將函數(shù)y=f（x）=﹣cos（x+）+3圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摩斜?，縱坐標(biāo)不變，可得y=﹣cos（x+）+3的圖象；再向右平移m（m＞0）個單位長度，向下平移3個單位長度，得到函數(shù)y==的圖象．∵函數(shù)g（x）關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，即，∴，∵m＞0，∴當(dāng)k=﹣1時，m的最小值為，∴綜上所述，實數(shù)m的最小值為．22.已知數(shù)列{an}滿足，．（Ⅰ）若，求證：對一切的，，都有；（Ⅱ）若，記，求證：數(shù)列{bn}的前n項和；（Ⅲ）若，求證：．參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號