第二章2.4-2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

PAGE第二章平面向量2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(2,3)，則a·b為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(4,3)C．3D．2解析：由數(shù)量積的幾何意義知所以a·b＝eq\f(2,3)×3＝2.答案：D2．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：因?yàn)閨a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，兩式相減得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)解析：|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(3)，設(shè)向量a與a－b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·（a－b）,|a||a－b|)＝eq\f(22－1,2×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).答案：A4．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，且eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，即一組對(duì)邊平行且相等，eq\o(AC,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝0，即對(duì)角線互相垂直，所以四邊形ABCD為菱形．答案：B5．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則a的模為()A．2B．4C．6D．12解析：因?yàn)?a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.答案：C二、填空題6．給出以下五個(gè)結(jié)論：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為________．解析：①②③顯然正確；(a·b)c與c共線，而a(b·c)與a共線，故④錯(cuò)誤；a·b是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)該有|a·b|≥a·b，故⑤錯(cuò)誤．答案：37．已知e為一單位向量，a與e之間的夾角是120°，而a在e方向上的投影為－2，則|a|＝________．解析：因?yàn)閨a|·cos120°＝－2，所以|a|·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2，所以|a|＝4.答案：48．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且滿足3a＋mb＋7c＝0，其中a與b的夾角為60°，則實(shí)數(shù)m＝________．解析：因?yàn)?a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，化簡(jiǎn)得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2)，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.答案：－8或5三、解答題9．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，(1)若a∥b且同向，求a·b；(2)若向量a·b的夾角為135°，求|a＋b|.解：(1)若a∥b且同向則a與b夾角為0°，此時(shí)a·b＝|a||b|＝eq\r(2).(2)|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(1＋2＋2\r(2)cos135°)＝1.10．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝eq\r(5).(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b與a＋3b夾角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝eq\r(5)，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5.因?yàn)閍2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，所以9－6a·b＋1＝5.所以a·b＝eq\f(5,6).所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×eq\f(5,6)＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝eq\r(15).(2)設(shè)3a－b與a＋3b的夾角為θ.因?yàn)?3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×eq\f(5,6)－3×1＝eq\f(20,3).所以cosθ＝eq\f(（3a－b）·（a＋3b）,|3a－b||a＋3b|)＝eq\f(\f(20,3),\r(5)×\r(15))＝eq\f(4\r(3),9).因?yàn)?°≤θ≤180°，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),9)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(33),9).所以3a－b與a＋3b夾角的正弦值為eq\f(\r(33),9).B級(jí)能力提升1．點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足eq\o(OA,\s\up11(→))·eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))·eq\o(OC,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))·eq\o(OC,\s\up11(→))，則點(diǎn)O是△ABC的()A．重心 B．垂心C．內(nèi)心 D．外心解析：因?yàn)閑q\o(OA,\s\up11(→))·eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))·eq\o(OC,\s\up11(→))，所以eq\o(OB,\s\up11(→))·(eq\o(OA,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up11(→))·eq\o(CA,\s\up11(→))＝0,則eq\o(OB,\s\up11(→))⊥eq\o(CA,\s\up11(→)).同理eq\o(OA,\s\up11(→))⊥eq\o(BC,\s\up11(→))，eq\o(OC,\s\up11(→))⊥eq\o(AB,\s\up11(→)).所以O(shè)是△ABC的垂心．答案：B2．如圖所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，點(diǎn)M滿足eq\o(BM,\s\up11(→))＝3eq\o(MA,\s\up11(→))，則eq\o(CM,\s\up11(→))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝________．解析：eq\o(CM,\s\up11(→))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up11(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up11(→))))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(CB,\s\up11(→))－eq\o(CA,\s\up11(→)))·eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CB2,\s\up11(→))＝4.答案：43．已知平面上三個(gè)向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角為120°.(1)求證：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范圍．(1)證明：因?yàn)閨a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之間夾角均為120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos1