直線及橢圓位置關系經(jīng)典教師版

12121221212122abab2a2b211122k11221122或者AB=(x或者AB=(x-x)2+(y-y)2=(x-x)2+(y-y)2=(1+)(y-y)21212k1k212k212=(1+)[(y+y)-4yy]。)k一，直線與橢圓的位置關系441644416444164y44164解法二：直線恒過一定點(0,1)m解法三：直線恒過一定點(0,1)5m[評述]由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接導致兩曲線的交點狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關于x或y的一元二以判定直線與橢圓的位置關系，方程及其判別式是最根本的工具?；蛘呖墒紫扰袛嘀本€是否過定點，并且初定定點在橢圓內(nèi)、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例2中法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點在橢圓內(nèi)部這一特征：點M(x,三則緊抓定點在橢圓內(nèi)部這一特征：點M(x,y)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則o+o共1211212解法一：由題可知：直線l方程為2x+y+2=0AB由〈|(可得9y2+4y_4=0，y_y=(y+y)2_4yy=410|l2+1=1121212945解法二：F到直線AB的距離h=2xkxk991+y-y〔k為直線斜率〕或焦〔左〕半徑公式21+y-y〔k為直線斜率〕或焦〔左〕半徑公式22212x)時，應結合韋達定理解決問題。x)時，應結合韋達定理解決問題。21212幾過它對的左焦點F作傾斜解為的直線交橢圓于A，B幾過它對的左焦點F作傾斜解為的直線交橢圓于A，B分析：可以利用弦長公式AB=1+k2x-x=(1+k2)[(x+x)2-4xx]求得，121212也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求．bcx121212xyF3,0)，從而直線方程為y=3x+9．36913133691122122112112326648122112112326648一、求中點弦所在直線方程問題例1過橢圓x2+y2=1內(nèi)一點M〔2，1〕引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。又設直線與橢圓的交點為A(x,y)，B〔x,y〕，則x,x是方程的兩個根，于是11221212解法二：設直線與橢圓的交點為A(x,y)，B〔x,y〕，M〔2，1〕為AB的中點，112212121122兩式相減得(x2x2)+4(y2y2)=0，1212 解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y)，由于中點為M〔2，1〕，x4y2=16二、求弦中點的軌跡方程問題6436解法一：設弦PQ中點M〔x,y〕，弦端點P〔x,y〕，Q〔x,y〕，1122則有〈(9x12+16y12=576，兩式相減得9(x2x2)+16(y2y2)=0，229x2+16y2=5761212212121212yy9xy09xy，而k=，故=。，而k=，故=。12解法二：設弦中點M〔x,y〕，Q〔x,y〕，由x=x18，y=y1可得x=2x+8，y=2y，1122116436三、弦中點的坐標問題解：解法一：設直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x,y)，B(x,y)，其中點P(x,y)，由題意112200(y=x1y2=4xxxxx202000200解法二：設直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x,y)，B(x,y)，其中點P(x,y)，由題意得112200y2=4x2121(2112000例題5、P(4,2)是直線l被橢圓x2+y2=1所截得的線段的中點，求直線l的方程．369的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系，直接求出x+x，xx(或y+y，yy)的值代入計算即得．12121212并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求〞的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．2212124k2+12212124k2+111221212又∵A，B在橢圓上，∴x2+4y2=36，x2+4y2=36兩式相減得(x2x2)+4(y2y2)=0，11221212AxyBx,4y)．10〔2〕假設直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．522〔2〕設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x，x，由〔1〕得xx2m，xxm21．22〔2〕設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為x，x，由〔1〕得xx2m，xxm21．12125125122m24m21210．解得m0．方程為yx．555說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式．用弦長公式，假設能合理運用例題7、橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=*+1與該橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，2求橢圓方程.可設橢圓方程為：m*2+ny2=1(m>0，n>0)簡便.1122yx1由中消去y并依*聚項整理得：(m+n)·*2+2n*+(n121211221212又|PQ|=(xx)2(yy)2(xx)2[(x1)(x1)]212121212＝2(xx)22?(xx)24xx12121222n24n110②mnmn213mm三，對稱問題例題8、橢圓C：x2+y2=1，試確定m的取值*圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有不同的兩點關于43利用上述條件建立m的不等式即可求得m的取值*圍．解：(法1)設橢圓上A(x,y)，B(x,y)兩點關于直線l對稱，直線AB與l交于M(x,y)點．112200131313413413(法2)同解法1得出n=一m，∴x=(一m)=一m，401340404441313(法3)設A(x,y)，B(x,y)是橢圓上關于l對稱的兩點，直線AB與l的交點M的坐標為(x,y)．112200434312121212012012x一x4y120ABl4y00000說明：涉及橢圓上兩點A，B關于直線l恒對稱，求有關參數(shù)的取值*圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：00ab00四，最值問題)到這個橢圓上的點的最遠距離例題9、設橢圓的中心是坐標原點，長軸在*軸上，離心率e=，點P(0，)到這個橢圓上的點的最遠距離277【解前點津】由條件，可將橢圓標準方程用含一個參數(shù)的形式表示，將“最遠距離〞轉化為二次函數(shù)的最值.by24b2b2b2[-b，b]，求二次函數(shù)的最值.24422224【解后歸納】這是一道解析幾何與函數(shù)的綜合題，其知識的交匯點及“等價轉化〞的數(shù)學思想，是必須“關注〞482D兩點.幾448*2=,y2=，由對稱性知四邊形*2=,y2=，由對稱性知四邊形ABCD為矩形，又由于0<θ<，所以四邊形ABCD的面tttmin4ma*3確定四邊形ABCD為矩形，是解題的一個亮點，讀者應認真體會.2222x2222x如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．1