固體電子導論第三章

固體電子導論第三章第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、微振動方程及其解設晶體由N個原子組成，考慮原子振動，每個原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動動能：第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體振動勢能按的冪將勢能在平衡位置附近展開為泰勒級數(shù)高階項其中平衡位置處的勢能為零勢能點平衡位置處勢能為極小值略去高階項（簡諧近似）晶體的振動勢能：第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程由3N個線性齊次方程組成的方程組,其一組特解為第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月所有原子在每個方向上都作同頻率,同相位,不同振幅的振動,稱為簡諧振動。有N個原子組成的晶體，一共有3N組特解，即有3N種不同頻率的間歇振動，也即有3N個振動模式。每一個簡諧振動并不表示某一個原子的振動，而是表示整個晶體所有原子都參與的頻率，初相位的振動，也稱為一個振動模式。第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月方程的一般解可表示為特解的線性疊加共有3N種疊加方式，表示在3N個方向上的振動。對晶體中某一個原子而言，實際振動是由許多振動模式引起的振動的疊加，形式極為復雜。借助簡諧振動，可以將這一復雜的運動圖象簡化。晶體中原子的實際振動由運動方程的一般解表示第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月運用線性變換的方法，引入簡正坐標

，總能量：簡正坐標和諧振子：代入能量表達式，消除勢能交叉項（即消去相互作用）諧振子第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月N個相互作用著的原子系統(tǒng)可看成3N個獨立的諧振子組成的系統(tǒng)。第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的總能量：每一個諧振子能量可表示為根據(jù)量子理論二、聲子聲子晶體系統(tǒng)的能量可看成由大量聲子組成。第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月光子------電磁波的能量量子。電磁波可以認為是光子流，光子攜帶電磁波的能量和動量。聲子------聲子攜帶聲波的能量和動量。若格波頻率為ω，波矢q為，則聲子的能量為?ω，動量為?q。聲子和物質(zhì)相互作用服從能量和動量守恒定律，如同具有能量?ω和動量?q的粒子一樣?？梢詫⒏癫ㄅc物質(zhì)的互作用過程，理解為聲子和物質(zhì)的碰撞過程，使問題大大簡化。聲子的粒子性：返回第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.2一維布拉菲格子的晶格振動一維布拉菲格子（一維單原子鏈）對一維格子晶格振動的討論是了解和描述三維格子晶格振動的重要基礎。第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、簡諧近似下的運動解則原子間相互作用力近似1：簡諧近似下原子間作用力簡化為彈性力。作用力常數(shù)第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月因此在簡諧近似下，原子間的相互作用類似于一個彈簧振子。一維原子鏈是一個耦合諧振子。第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月+2nx第n+1個原子對第n個原子的作用力第n-1個原子對第n個原子的作用力第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月每一個原子對應一個方程，n個原子對應n個方程聯(lián)立的線性齊次方程組.第n個原子的運動方程第n個原子受到的合力為：近似2：只考慮最近鄰原子間作用力第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月正q對應于沿+x方向的前進波，負q對應于沿-x方向的波，這種在晶體中傳播的波，稱為格波。試解：為波矢位于處的原子的振動試探解一種振動模式（n=1,2,…）為頻率第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月試解代入運動方程——一維布拉菲晶格中格波的色散關系第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月常將q限制在稱為一維布拉菲晶格的第一布里淵區(qū)。即一維布拉菲晶格的倒格子原胞色散關系具有周期性0q一維布拉菲晶格的色散關系曲線第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月色散關系曲線中任意一點的坐標代表一種振動模式，即代表一種格波。例如：第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月整個晶格象剛體一樣作整體運動,因而恢復力為0,故長波極限，鄰近原子反向運動(位相相反)，所以恢復力和頻率取極大值第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、周期性邊界條件考慮有限長的一維原子鏈，由N個原子組成，另有無窮多個相同的一維原子鏈與之聯(lián)結而形成無限長的一維原子鏈，各段相應原子運動情況相同。第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月有N種取值波矢點在波矢空間（第一布里淵區(qū)、倒格子原胞）均勻分布共有N種取值周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關系曲線0q周期性邊界條件下，頻率也相應有N個取值。第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月在周期性邊界條件的約束下，N個格點組成的一維布拉格晶格的振動模式數(shù)共有N種，由色散關系曲線中N組分立的決定。周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關系曲線0q第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、色散關系周期性的物理意義：0q第一布里淵區(qū)第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波矢相差倒格矢，晶格振動相同?????第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波矢空間中，晶格振動模式（代表點）均勻分布。晶格的獨立振動模式數(shù)等于N，等于晶體的自由度數(shù)。色散關系中一組對應一種格波，或振動模式。一維布拉菲晶格中原子振動的特解是格波周期性邊界條件限制0q小結：第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2aMm2n2n+1§3.3一維復式格子的晶格振動一維復式格子（一維雙原子鏈）對一維復式格子晶格振動的討論是了解和描述大量三維復式晶格的重要基礎。第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、運動方程試解：2aMm2n2n+1采用簡諧近似和最近鄰原子作用近似波矢為，頻率為的格波，同一原胞中的兩個原子振幅不同。第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次方程非零解條件代入運動方程——一維復式晶格中格波的色散關系第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為一維復式晶格的第一布里淵區(qū)如m<M，色散關系中存在頻隙0q一維復式晶格的色散關系曲線將q限制在：色散關系具有周期性，即一維復式晶格的倒格子原胞第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月周期性邊界條件：一維雙原子鏈由N個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同的基，將若干個相同的一維雙原子鏈首尾相接，形成無限長的一維鏈。則有，共有N種取值有N種取值所以第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波矢的取值數(shù)=N（晶格原胞數(shù)）對每一個波矢q，有兩類獨立的振動振動模式數(shù)=2N（總自由度數(shù)）0q第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為聲頻支，相應的格波稱為聲學波0q聲學波相鄰原子振動方向相同二、聲頻支和光頻支Mm2n2n+1第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月表示聲頻支在長波極限下，原胞內(nèi)兩個原子的振幅相同，且相鄰原子振動位相差振動情況一致.聲頻支在長波限描述了原胞的整體運動.長聲學波與聲波的性質(zhì)類似，可近似連續(xù)介質(zhì)的彈性波。0q彈性波的色散關系考慮長波極限第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為光頻支，相應的格波稱為光學波0q光學波相鄰原子振動方向相反Mm2n2n+1第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮長波極限表明光頻支在長波極限下，相鄰原子反向振動，原胞質(zhì)心保持靜止。若是離子晶體，在電場作用下異號離子受力相反，可用光波來激發(fā)離子晶體中的這種長波振動。0q第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月小結：1、簡諧近似和最近鄰原子作用近似原子之間的作用力近似為彈性力，且只受到最近鄰原子作用。第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2、一維晶格中原子振動的特解是格波布拉菲晶格：復式晶格：一組確定的決定一種格波，或振動模式。第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3、格波的具體模式由色散關系確定一維布拉菲晶格0q0q一維復式晶格第一布里淵區(qū)（倒格子原胞）的范圍第一布里淵區(qū)內(nèi)波矢點均勻分布，波矢點的取值波矢點的取值個數(shù)（原胞數(shù)），晶格的振動模式數(shù)（自由度數(shù)）第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對于實際三維的晶體，上述的分析方法和結論是普適的。三維情形下，若基由n個原子組成，原胞內(nèi)的原子共有3n個自由度，因而存在3n種色散關系。其中3支為聲頻支；

3(n-1)支為光頻支。三、三維晶格金剛石【100】方向的色散關系第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月原胞內(nèi)含原子數(shù)原胞數(shù)自由度數(shù)q數(shù)格波數(shù)聲學格波數(shù)光學格波數(shù)單原子鏈雙原子鏈三維晶體12nNNNN2N3nNNNNNN3N0N3(n-1)N

格波數(shù)與晶體的維數(shù)及晶胞內(nèi)原子數(shù)的關系第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一、晶格熱容的量子理論§3.4晶格熱容及其理論模型1）根據(jù)量子統(tǒng)計理論，聲子是玻色子，由玻色分布知，溫度為T時，角頻率為的聲子數(shù)為：由3N個諧振子組成的晶格系統(tǒng)，其總能量為：2）頻率為的諧振子能量為：第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為頻率分布函數(shù)，表示單位頻率間隔內(nèi)的振動模式數(shù)。

諧振子數(shù)近似處理：1）取值的密集性可將求和近似用求積分代替；2）忽略零點振動能量3）整個晶格振動對應的內(nèi)能為：4）晶格振動的內(nèi)能可用積分求出：5）與原子的晶格振動對應的熱容第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、愛因斯坦模型假設：晶格包含N個原胞、每個原胞內(nèi)包含n個原子，共有種振動模式，每個振動模式都具有相同的振動頻率，愛因斯坦模型的頻率分布函數(shù)：愛因斯坦模型的色散關系第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為愛因斯坦比熱容函數(shù)其中愛因斯坦特征溫度熱容：內(nèi)能：第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月①高溫區(qū)HE與經(jīng)典的實驗結論相符②低溫區(qū)HE討論：與實驗定性相符低溫下，與的實驗結論有差異愛因斯坦模型的缺陷：愛因斯坦模型的色散關系第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三、德拜模型假設：晶格振動的頻率與波矢成正比(C為常數(shù))即將晶體看成是各向同性的連續(xù)介質(zhì)，把晶格振動看成是連續(xù)介質(zhì)中傳播的彈性波。德拜模型的色散關系德拜模型的頻率分布函數(shù)：第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)能：熱容：其中德拜溫度德拜頻率第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月②低溫區(qū)與固體的低溫比熱容相符德拜模型的局限性：在短波部分與實驗結果不符討論：①高溫區(qū)與經(jīng)典的實驗結論相符德拜模型的色散關系第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月四、頻率分布函數(shù)（模式密度）1)在波矢空間，晶格振動模式是均勻分布的——表示單位頻率間隔中晶格振動的模式數(shù)。頻率分布函數(shù)的定義：對于三維情形，分布密度為晶體體積二維晶格模式的分布密度為：一維晶格模式分布密度為：q第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月空間內(nèi)，頻率為的模式所占體積dq——表示兩等頻面間的垂直距離dsdqds——為面積元——兩等頻面間的體積2）求頻率在范圍內(nèi)的模式數(shù)第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月其中表示色散關系的斜率又因為積分對q空間的等頻面進行。3）求頻率分布函數(shù)第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月(三維)(二維)(一維)第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例：德拜模型中假設(C為大于0常數(shù))空間中的等頻面為球面，半徑為第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體銅的實際模式密度與德拜近似模式密度的比較第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例：

是一種常見的色散關系，

在三維情形，空間中等頻率面為球面，半徑為二維情形：一維情形：第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3.7設三維晶格的光學振動在q=0附近的長波極限有：證明：頻率分布函數(shù)

三維晶格振動的態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)對