基本方程組的數(shù)值求解

基本方程組的數(shù)值求解第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月一、引言

控制層流和湍流燃燒的微分方程組的幾個(gè)特點(diǎn)：方程很復(fù)雜，無法得到分析解，需要數(shù)值求解。各個(gè)方程的結(jié)構(gòu)相似，都包含時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和源項(xiàng)幾部分。因此，各個(gè)方程可以用相同的方法求解。其中動(dòng)量方程可寫成

(1)方程是非線性的，比如對流項(xiàng)有三個(gè)應(yīng)變量，是三次項(xiàng)。非線性方程需要用迭代方法求解。各方程之間是互相耦合的。求解時(shí)，需對所有方程進(jìn)行聯(lián)立求解。

第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月二、積分區(qū)域與微分方程的離散化

1．積分區(qū)域的離散化積分區(qū)域的離散化，把參數(shù)連續(xù)變化的流場用有限個(gè)點(diǎn)來代替交線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)兩相鄰結(jié)點(diǎn)之間的距離稱為網(wǎng)格步長時(shí)間坐標(biāo)上定出有限個(gè)離散點(diǎn)，相鄰兩離散點(diǎn)間的距離為時(shí)間步長圖1網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的符號X3X2X1P第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2．微分方程的離散化利用連續(xù)方程，一維非定常流動(dòng)的方程寫為

（2）在控制容積上積分，并利用奧-高定律，得

上標(biāo)n表示當(dāng)前時(shí)間層的值；上標(biāo)（n-1）表示前一時(shí)間層的值對流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的參數(shù)暫時(shí)未注明取哪一個(gè)時(shí)間層的值式中擴(kuò)散通量一般用中心差分：

, （4）但在對流項(xiàng)中，e點(diǎn)和w點(diǎn)的值可以用不同的插值方法得出。第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖2控制容積控制容積在x方向?yàn)榈染嗑W(wǎng)格，長度為，其它兩個(gè)方向上取單位長度控制容積在與x方向垂直的面元面積=1控制體的體積第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月三、交錯(cuò)網(wǎng)格在用控制容積法建立差分方程時(shí)，需用插值辦法計(jì)算差分方程的系數(shù)Harlow等人提出用交錯(cuò)網(wǎng)格，以減少因插值而引進(jìn)的誤差在這種網(wǎng)格中，速度定義在兩結(jié)點(diǎn)之間的中點(diǎn)上，其余參數(shù)仍定義在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上實(shí)線的交點(diǎn)定義了除速度分量以外的所有參數(shù)，稱為主結(jié)點(diǎn)實(shí)線與虛線的交點(diǎn)定義了不同的速度分量，稱為速度的結(jié)點(diǎn)計(jì)算標(biāo)量的對流通量時(shí)，速度就定義在控制體的面之上，毋須插值第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖3交錯(cuò)網(wǎng)格在建立動(dòng)量方程（比如說u）的差分方程時(shí)，交錯(cuò)網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)更為突出在非交錯(cuò)網(wǎng)格中，P點(diǎn)壓力梯度的差商近似為在交錯(cuò)網(wǎng)格中，w點(diǎn)壓力梯度的差商近似為用交錯(cuò)網(wǎng)格的精度比非交錯(cuò)網(wǎng)格要高得多第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月四、差分格式1．差分方程的要求在計(jì)算數(shù)學(xué)中，為評價(jià)差分格式，提出了相容性、穩(wěn)定性、耗散性、色散性等原則，并發(fā)展了一系列的分析方法為了容易理解，這里從物理的真實(shí)性、收斂性及解的精度幾方面進(jìn)行討論

差分方程可以寫為

(5)

式中，取和號下的指數(shù)nb表示P點(diǎn)周圍的結(jié)點(diǎn)。對一維問題，是兩項(xiàng)相加，二維問題是四項(xiàng)相加，余此類推。第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月1）物理上的真實(shí)性

①差分方程的系數(shù)要同號：在差分方程（5）中，Bnb和BP要同號②在控制面上，通量要保持一致：在計(jì)算兩個(gè)控制體的通量時(shí)，要保證在同一面元上有相同的表示式，不然的話，在這個(gè)面元上就得引進(jìn)一個(gè)小的源或匯，以便保證參數(shù)總的守恒。第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2）迭代求解的收斂性對于非線性方程組的求解，目前還沒有成熟的理論，可借用線性代數(shù)方程組的原則對差分方程進(jìn)行一些限制。斯卡巴勒（Scarborough）指出：①所有結(jié)點(diǎn)的差分方程，其系數(shù)之和需滿足

（6）②至少有一個(gè)結(jié)點(diǎn)，系數(shù)之和滿足

（7）對于非線性代數(shù)方程，上述條件是充分的，但不一定是必要的第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月3）解的精確性

要使最后求得的結(jié)點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)符合，除了合理安排差分網(wǎng)格外，恰當(dāng)?shù)剡x擇差分格式也是重要的因素之一。第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2．對流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的差分很多差分格式的系數(shù)都與參數(shù)、的比值—佩克萊特（Peclet）數(shù)有關(guān) 數(shù)表示了對流與擴(kuò)散作用的相對大小當(dāng)數(shù)的絕對值很大時(shí)，導(dǎo)熱或擴(kuò)散的作用就可以忽略。這時(shí)，對流的作用就把流動(dòng)上游的信息一直帶到下游，而通過擴(kuò)散向上游傳遞的下游的信息則幾乎等于零如果輸運(yùn)系數(shù)為粘性系數(shù)，則數(shù)即為以網(wǎng)格步長為特征長度的雷諾數(shù)參數(shù)D恒為正值，參數(shù)C的正負(fù)號與速度相同。第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月定常一維的流動(dòng)和擴(kuò)散過程，其控制方程為

（8）在圖2所示的控制容積上積分得

（9）另一方面，方程（8）有精確解，通解為

（10）代入W-P段兩端的邊界條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得該段的解為其中為w截面的佩克萊特?cái)?shù)。

第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式代入式（9）的后一項(xiàng)，可得

（11）其中為w截面的參數(shù)，。通解中代入P-E段兩端的邊界條件，同樣可得

（12）這里，。第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月將式（11）和式（12）代入式（9），并利用連續(xù)條件可得其中

， ， （13）第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種對流項(xiàng)差分格式1）中心差分格式參見圖2，令，，連同式（4）一起代入方程（3），可得

（14）第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式中心差分格式利用連續(xù)方程進(jìn)一步得

（15）第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月（15）式中各系數(shù)分別為

（16）第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月顯式中心差分格式

（17）

在該差分方程中，系數(shù)本應(yīng)取n時(shí)間層的值，但在求解以前，是未知的，所以近似取n-1時(shí)間層的值。其它系數(shù)同式（16）。第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月2）迎風(fēng)差分格式參見圖2，令 代入方程（3），同樣可得式（15）或式（17），只是系數(shù)要改為

（19）這就是迎風(fēng)差分格式的系數(shù)。第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月將精確解給出的系數(shù)，以及中心差分和迎風(fēng)差分的系數(shù)[分別為式（16）和式（19）]同時(shí)畫出在圖4中從圖中可看出，當(dāng)時(shí)，中心差分格式比迎風(fēng)差分格式更接近于精確值。但當(dāng)數(shù)增大或減小時(shí)，中心差分很快就遠(yuǎn)離精確值迎風(fēng)差分格式在數(shù)較小時(shí)，精度不如中心差分格式高，但它對精確值的偏離不隨數(shù)或流動(dòng)雷諾數(shù)改變，適合解高雷諾數(shù)的流動(dòng)。第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖4差分方程系數(shù)的比較根據(jù)圖4，可推薦混合差分、指數(shù)差分和乘方差分等幾種差分格式第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月3）混合差分格式根據(jù)數(shù)的大小來確定差分方程的系數(shù)當(dāng)時(shí)，用中心差分當(dāng)時(shí)，用數(shù)趨于無窮時(shí)的漸近值，BE=0，BW=Cw；同樣，當(dāng)時(shí)，用數(shù)趨于負(fù)無窮時(shí)的漸近值，，BW=0用一個(gè)式子表示，即為混合差分格式

(20)

第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月4）指數(shù)差分格式差分方程系數(shù)直接用由定常一維方程精確解推出的公式（13）計(jì)算。系數(shù)較精確，但是包含了指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，需要較多的計(jì)算時(shí)間。第24頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年