廣東省廣州市長江中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省廣州市長江中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)z=（其中i是虛數(shù)單位），則|z|=（）A．2 B． C．1 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)“積的?！钡扔凇澳５姆e”即可求得答案．【解答】解：∵z=，∴|z|===，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)求模運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)“積的模”等于“模的積”是迅速解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2.函數(shù)的圖象如圖所示.為了得到的圖象，則只要將的圖象（

）A.向右平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度參考答案：C略3.定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．[－1,1] C． D．參考答案：D4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出（

）

（A）（B）（C）（D）參考答案：C第一次循環(huán)，滿足條件，;第二次循環(huán)，滿足條件，;第三次循環(huán)，滿足條件，;第四次循環(huán)，不滿足條件，輸出，選C.5.函數(shù)f（x）=（0＜a＜1）圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】確定函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，x＞0時(shí)，f（x）=logax（0＜a＜1）是單調(diào)減函數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，f（﹣x）=﹣f（x），所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B、D；x＞0時(shí)，f（x）=logax（0＜a＜1）是單調(diào)減函數(shù)，排除A．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，正確分析函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．6.變量x、y滿足約束條件，則的最小值為A.-3

B.-2

C.0

D.6參考答案：C7.已知F1、F2為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓與拋物線的一個交點(diǎn)，如果橢圓的離心率為e，且|PF1|=e|PF2|，則e的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.已知函數(shù)的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，此時(shí)a的取值是（

）（其中e=2.718……）

A．3

B．

C．e

D．參考答案：D略9.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：10.若=a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位），則a﹣b等于（）A． B．1 C．0 D．﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出．【解答】解：===a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位），∴a=﹣，b=．則a﹣b=﹣1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，PB為△ABC外接圓O的切線，BD平分∠PBC，交圓O于D，C，D，P共線．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，則圓O的半徑是

．參考答案：2【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【分析】連結(jié)AD，由PB為圓O的切線，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，結(jié)合BD為∠PBC的平分線，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD與Rt△BPD的內(nèi)角關(guān)系得AD的長度，即得圓O的半徑．【解答】解：如右圖所示，連結(jié)AD，∵PB為圓O的切線，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，∵BD為∠PBC的平分線，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圓O的直徑，且直徑AD=2BD=4，∴圓O的半徑為2．故答案為：2．12.若動直線過點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，則其中最小圓的面積為

.參考答案：13.在等差數(shù)列中,,則參考答案：解析:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以.14.函數(shù)y=的定義域是

．參考答案：（﹣∞，0]【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，求解指數(shù)不等式得答案．【解答】解：由，得，∴2x≤0，即x≤0．∴函數(shù)y=的定義域是：（﹣∞，0]．故答案為：（﹣∞，0]．15.△ABC中，，，，則

．參考答案：516.平面向量與的夾角為60°，，，則等于.

．參考答案：17.（本題滿分14分）已知函數(shù)和直線．

（Ⅰ）當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直時(shí)，求原點(diǎn)到直線的距離；（Ⅱ）若對于任意的恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）求證：．參考答案：（Ⅰ）………………2分 ∴，于是

，直線l的方程為……3分原點(diǎn)O到直線l的距離為…………………4分（Ⅱ）， 設(shè)，即 …………6分 ①若，存在使，，這與題設(shè)矛盾…7分②若，方程的判別式，當(dāng)，即時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即不等式成立…………………8分當(dāng)時(shí)，方程，設(shè)兩根為，當(dāng)單調(diào)遞增，與題設(shè)矛盾，綜上所述，………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，成立． 不妨令， 所以， ……11分 …………12分 累加可得 ． ………………14分三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓：，設(shè)點(diǎn)是直線：上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為且點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為（1）若，，求直線的方程；（2）經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心是，①將表示成的函數(shù)，并寫出定義域．②求線段長的最小值

參考答案：（1）

解得或（舍去）.

由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k.

所以直線PA的方程為，即

直線PA與圓M相切，，解得或

直線PA的方程是或（2）①與圓M相切于點(diǎn)A，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn).的坐標(biāo)是()②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)則.19.某種植物感染病毒極易導(dǎo)致死亡，某生物研究所為此推出了一種抗病毒的制劑，現(xiàn)對20株感染了病毒的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測試藥效.測試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；并對植株吸收制劑的量(單位：mg)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上為“足量”，否則為“不足量”.現(xiàn)對該20株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的13株，對制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共1株.編號0102030405060708091011121314151617181920吸收量(mg)683895662775106788469

（1）完成以2×2下列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)？

吸收足量吸收不足量合計(jì)植株存活

1

植株死亡

合計(jì)

20

（2）若在該樣本“制劑吸收不足量”的植株中隨機(jī)抽取3株，求這3株中恰有1株“植株存活”的概率.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

，其中參考答案：（1）填表見解析；不能在犯錯誤概率不超過的前提下，認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)（2）【分析】（1）由題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2）用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出對應(yīng)的概率值．【詳解】解析：(1)由題意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填寫列聯(lián)表如下：

吸收足量吸收不足量合計(jì)植株存活植株死亡合計(jì)

所以不能在犯錯誤概率不超過的前提下，認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)(2)樣本中“制劑吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株設(shè)事件：抽取的3株中恰有1株存活記存活的植株為，死亡的植株分別為，，，則選取的3株有以下情況：，，，，，，，共10種，其中恰有一株植株存活的情況有6種所以(其他方法酌情給分.)【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題．20.如圖，四邊形BCDE是直角梯形，CD//BE，CD丄BC，CD==2，平面BCDE丄平面ABC,又已知ΔABC為等腰直角三角形，AB=AC=4，M是BC的中點(diǎn).(I）求證:AM丄ME;(II)求四面體ADME的體積.

參考答案：略21.（本小題滿分12分）國家質(zhì)檢總局對某工廠進(jìn)行質(zhì)量檢測，抽查有編號為,,…的10個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：編號直徑

其中直徑在區(qū)間[1.48，1.52]內(nèi)的零件為一等品。（Ⅰ）從上述10個零件中，隨機(jī)抽取一個，求這個零件為一等品的概率；（Ⅱ）從一等品零件中，隨機(jī)抽取2個.

（?。┯昧慵木幪柫谐鏊锌赡艿某槿〗Y(jié)果；

（ⅱ）求這2個零件直徑相等的概率。參考答案：(ii)解：“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結(jié)果有：，，共有6種.

所以P(B)=.22.在某大學(xué)聯(lián)盟的自