大一數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)總復習

設(shè)PPx1x2xnf(x,x x)ax22axx

2axxax2

2axx

a

稱為數(shù)域 11 121

1n1 22

2n2

nnP上的一個n設(shè)f(x1x2

xn

是數(shù)域P上的nf(x1x2

xn

'f(x1, xn)=X其中x=(x,x x)'，A=(a ,A'A。A稱為二次型f(x,x x)的矩陣。秩（A）稱 ij 二次型f(x1, 數(shù)域P上nn矩陣A,B稱為合同的，如果有屬于PnnCBnn1 2定理數(shù)域P上任意一個二次型都可以經(jīng)過 的線性替換化成dy2dy21 2

d定 任意一個復系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當?shù)姆堑木€性替換化成規(guī)范型z2z2 z2 定 任意一個實系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶木€性替換化成規(guī)范z2z2 正定二次型f(x1都有f )

設(shè)f(x1,x2, 是一實二次型,對于任意一組不全為零的實數(shù)c1,c2,如果f(c1,c2)0.，那么f(x1,x2,xn)稱為負定的；如果都有f(c1,c2)0.那么稱 )0.，那么f(x1,x2,xn)稱為半負 xn)=X'AX，其中A是實對稱的，下列條件等價i)f(x1 iii)f(x1,x2 iv）A與單位矩陣合同設(shè)V是一個非空集合，P是一個數(shù)域。在集合V的元間定義了一種代數(shù)運算；這就是說，的和，記為rkV中任意元素V中都有唯一的元素k與k如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P（1）（2）()()(3)在V0V中任意元素（0稱為V的零元素

0對于V中的每一個元素，都有V，使得0（稱為的負元素1k(l)(kl)kk()k如果性空間V中有n個線性無關(guān)的向量。但是沒有數(shù)目的線性無關(guān)的向量，那么V就稱為n維的。如果在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么V就稱為無限維的。如 性空間V中有n個線性無關(guān)的向量 ,n，且V中任一向量都可以用它線性表出，那么V是n維的，而 ,n就是V的一組基在n維線性空間中，n個線性無關(guān)的向量 ,n稱為V的一組基。設(shè)是V中任一量，于是1,2,......,n，線性相關(guān)，因此可以被基 ,n唯一的線性表a11a11......ann，其中系數(shù)1,2,.....,n稱為在基 ,n下的坐標記 ,n設(shè)......,與e,,e, ,e,是n維線性空間V中兩組基，如1, 1 (e,,e,,....,e,)(.....,)

a1n

a1n 矩陣A 稱為......, 1 1, n a

a

1, nn基e,,e, ,e,的過度矩陣

nn （2）設(shè)

......,與e,,e,,....,e,是n維線性空間V中兩組基，由基 ......,到基e,,e, ,1, 1 1, 1 的過度矩陣為A，向量在這兩組基下的坐標分別為（xxx）與(xx,x, x x'1 1x2 x'則 =A2

x'nP中線性空間V的一個非空子集合WVW對于V的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。線性空間V的非空子集W是V的子空間的充分必要條件是WV維 如果V1,V2是線性空間V的兩個子空間，那1 1V1，2 （2）(k)k其中是V中任意向量，k是P中任意數(shù)，這樣的映射都有?()=?()+?( 數(shù) 乘 （?）（）=?（（ 11 12 1nAeaa 11 12 1nAeaa a 21 22 2n annn 其 A

a1n

矩陣A稱為?在基 ,n下列矩陣 a nn設(shè)1,2,..........,n是數(shù)域P上n維向量空間V的一組基，在這組基下，每個線性變換按 對應一個nn矩陣。這個對應具有以下性質(zhì)：（3）設(shè)線性變換?在基1,2,......,n下的矩陣是A，向量在基 ,n下的坐標y1 x1(x,,x

在基 ......,下的坐標（y,y,.....,y）可

2 1, .... ... n n

f(A)An

)An1

AE i air是屬于特征值i的線性無關(guān)的i 說A相似于B,記為A~B. AV的一個線性變換，AAAV表示。AVV的子空間，維（AV）A的秩，所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，A1(0)A1(0)是V的子空間，維（A1(0)）稱為A設(shè)?是n維線性空間V的線性變換， WAA（1）(,)(,)（2）(k,)k(,（3）(,)(,)(,（4）(,0，當且僅當=0時(=0.這里,是V中任意的向量，k是任意實數(shù)，這樣的線性空間V稱為得空間。非負實數(shù)(,稱為向量非零向量

規(guī)定為arccos(,0

,如果向量的內(nèi)積為零，即(0，那么稱為正交或互相垂直，記為設(shè)V是一個n 得空間，在V中取一組基1,2,......,n令aij(i,j),(i,j1, A(aij)nn稱為基 ,n的度量矩陣（2）(k)k 這里VkR，這樣的映射V到v都有(AA設(shè)A是歐氏空間V4A保持向量的長度不變，即對于VA 間V1正交，記為V1。 歐氏空間V的每一個子空間V都有唯一的正交補V AVV，有(AA則稱A為對稱變換。A是對稱變換，V是A-子空間，則V也是A- 稱為向量的距離，記為d(（2）d