2023年湖北省黃岡、華師附中等八校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．為了治療某種疾病，研制了一種新藥，為確定該藥的療效，生物實(shí)驗(yàn)室有只小動(dòng)物，其中有3只注射過該新藥，若從這只小動(dòng)物中隨機(jī)取出只檢測，則恰有只注射過該新藥的概率為()A． B． C． D．3．已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，滿足，且成等差數(shù)列，則（）A． B．6 C．7 D．94．已知過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．6．從甲、乙、丙三人中，任選兩名代表，甲被選中的概率為（）A． B． C． D．7．已知，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．9．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)A．0 B．1 C． D．10．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知點(diǎn)，,若直線與線段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.12．如圖，已知，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則向量_______（用，表示向量）13．設(shè)，，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若、、三點(diǎn)共線，則的最小值是_______．14．化簡：．15．某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是______16．我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）在同一半周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)O，P，Q，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為函數(shù)f（x）的最高點(diǎn)，Q為函數(shù)f（x）的圖象與x軸的正半軸的交點(diǎn)，△OPQ為等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）將△OPQ繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α），得到△OP′Q′，若點(diǎn)P′恰好落在曲線y（x＞0）上（如圖所示），試判斷點(diǎn)Q′是否也落在曲線y（x＞0），并說明理由．18．設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線，如果，，.（1）求證：、、共線；（2）試確定實(shí)數(shù)，使和共線.19．若數(shù)列滿足：對(duì)于，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列是公差為的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，求的前項(xiàng)之和；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有．①求證：數(shù)列為“隔項(xiàng)等差”數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．已知，且（1）求的值；（2）求的值．21．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）若，求角的值；（2）若,求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】漸近線為，時(shí)，，所以，即，，，故選A．2、B【解析】

將只注射過新藥和未注射過新藥的小動(dòng)物分別編號(hào)，列出所有的基本事件，并確定事件“恰有只注射過該新藥”所包含的基本事件的數(shù)目，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式可該事件的概率．【詳解】將只注射過新藥的小動(dòng)物編號(hào)為、、，只未注射新藥的小動(dòng)物編號(hào)為、、，記事件恰有只注射過該新藥，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，其中事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，由古典概型的概率公式得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式，列舉基本事件是解題的關(guān)鍵，一般在列舉基本事件有枚舉法和數(shù)狀圖法，列舉時(shí)應(yīng)注意不重不漏，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3、C【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，且不為1，由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，再由等比數(shù)列的求和公式，可得答案．【詳解】數(shù)列是公比不為l的等比數(shù)列，滿足，即且成等差數(shù)列，得，即，解得，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解．【詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點(diǎn)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5、A【解析】

由給出的遞推式變形，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的表達(dá)式，再利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：解：在數(shù)列中，

由，得，

，

，

則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

.，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了等比關(guān)系的確定以及等比數(shù)列的求和公式，屬中檔題.6、D【解析】

采用列舉法寫出總事件，再結(jié)合古典概型公式求解即可【詳解】被選出的情況具體有：甲乙、甲丙、乙丙，甲被選中有兩種，則故選：D7、D【解析】

根據(jù)所給等式，用表示出，代入中化簡，令并構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，由解得，因?yàn)?，所以，則由可得，令，.所以畫出，的圖像如下圖所示：由圖像可知，函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?，即的取值范圍為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了由等式求整式的取值范圍問題，打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用，注意若使用基本不等式，注意等號(hào)成立條件及自變量取值范圍影響，屬于中檔題.8、D【解析】

首先根據(jù)即可得出，再根據(jù)前n項(xiàng)的公式計(jì)算出即可?！驹斀狻?，選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：（1）通項(xiàng)公式的推廣：

（2）若

為等差數(shù)列，

；（3）若是等差數(shù)列，公差為，

，則是公差

的等差數(shù)列；9、B【解析】

根據(jù)兩直線的平行關(guān)系，列出方程，即可求解實(shí)數(shù)的值，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，顯然兩條直線不平行，所以；由兩條直線平行可得：，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程分別為：，，顯然平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程分別為，，很顯然兩條直線重合，不合題意，舍去，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線平行的條件，準(zhǔn)去計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，依次證明線面平行和面面平行，根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì)，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項(xiàng)說法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項(xiàng)說法正確；同理可證：平面，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項(xiàng)說法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項(xiàng)說法正確.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)直線方程可確定直線過定點(diǎn)；求出有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)的斜率，即和；根據(jù)位置關(guān)系可確定的范圍.【詳解】直線可整理為：直線經(jīng)過定點(diǎn)，又直線的斜率為的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠明確直線經(jīng)過的定點(diǎn)，從而確定臨界狀態(tài)時(shí)的斜率.12、【解析】

先求得，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)，求得.【詳解】依題意，由于分別是線段的中點(diǎn)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量減法運(yùn)算，考查三角形中位線，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)三點(diǎn)共線求得的的關(guān)系式，利用基本不等式求得所求表達(dá)式的最小值.【詳解】依題意，由于三點(diǎn)共線，所以，化簡得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值【點(diǎn)睛】本小題主要考查三點(diǎn)共線的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，屬于基礎(chǔ)題.14、0【解析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.15、【解析】試題分析：∵從7人中選2人共有C72=21種選法，從4個(gè)男生中選2人共有C42=6種選法∴沒有女生的概率是=，∴至少有1名女生當(dāng)選的概率1-=．考點(diǎn)：本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式．點(diǎn)評(píng)：在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)．16、1．98.【解析】

本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）見解析.【解析】

（1）由已知利用周期公式可求最小正周期T＝8，由題意可求Q坐標(biāo)為（1，0）．P坐標(biāo)為（2，a），結(jié)合△OPQ為等腰直角三角形，即可得解a的值．（2）由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，可求點(diǎn)P′，Q′的坐標(biāo)，由點(diǎn)P′在曲線y（x＞0）上，利用倍角公式，誘導(dǎo)公式可求cos2，又結(jié)合0＜α，可求sin2α的值，由于1cosα?1sinα＝8sin2α＝23，即可證明點(diǎn)Q′不落在曲線y（x＞0）上．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝asin（x）（a＞0）的最小正周期T8，所以函數(shù)f（x）的半周期為1，所以|OQ|＝1．即有Q坐標(biāo)為（1，0）．又因?yàn)镻為函數(shù)f（x）圖象的最高點(diǎn)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，a），又因?yàn)椤鱋PQ為等腰直角三角形，所以a2．（Ⅱ）點(diǎn)Q′不落在曲線y（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|＝2，|OQ|＝1，所以點(diǎn)P′，Q′的坐標(biāo)分別為（2cos（），2sin（）），（1cosα，1sinα），因?yàn)辄c(diǎn)P′在曲線y（x＞0）上，所以3＝8cos（）sin（）＝1sin（2）＝1cos2α，即cos2，又0＜α，所以sin2α．又1cosα?1sinα＝8sin2α＝823．所以點(diǎn)Q′不落在曲線y（x＞0）上．18、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)要證、、共線，只要證明存在實(shí)數(shù)，使得成立即可.

(2)利用向量共線的充要條件和兩個(gè)非零向量與不共線即可求出.【詳解】(1)證明：由.又，則.所以.所以、、共線.（2）和共線，則存在實(shí)數(shù)，使得成立.向量，不共線,所以，解得：所以當(dāng)時(shí)，使和共線.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量共線的充要條件證明點(diǎn)共線和求參數(shù)的值.19、（Ⅰ）（Ⅱ）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；②【解析】

試題分析：（Ⅰ）由新定義知：前項(xiàng)之和為兩等差數(shù)列之和，一個(gè)是首項(xiàng)為3，公差為8的等差數(shù)列前8項(xiàng)和，另一個(gè)是首項(xiàng)為17，公差為8的等差數(shù)列前7項(xiàng)和，所以前項(xiàng)之和（Ⅱ）①根據(jù)新定義知：證明目標(biāo)為，，相減得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，依次構(gòu)成首項(xiàng)為a，公差為2的等差數(shù)列,,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，依次構(gòu)成首項(xiàng)為2-a，公差為2的等差數(shù)列,②先求和：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，，，由，則，解得．試題解析：（Ⅰ）易得數(shù)列前項(xiàng)之和（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）．所以，為公差為2的“隔項(xiàng)等差”數(shù)列．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，，，，由，則，解得．所以存在實(shí)數(shù)，使得成等比數(shù)列（）考點(diǎn)：新定義，等差數(shù)列通項(xiàng)及求和20、（1）；（2）.【解析】

（1）由條件先求得然后再用二倍角公式求；（2）利用角的變換求出，在根據(jù)的范圍確定的值．【詳解】(1)因?yàn)?所以,所以,所以；(2)因?yàn)?所以因?yàn)?所以,由(1)得,所以＝,因?yàn)?所以.【點(diǎn)睛】