運算基礎(chǔ)二進(jìn)制的運算和計算機中的四則運算

1.2運算基礎(chǔ)二、二進(jìn)制的運算和計算機中的四則運算一、各種進(jìn)制數(shù)的表示和它們之間的轉(zhuǎn)換三、各種數(shù)制的編碼、字符編碼、BCD碼、

ASCII碼、漢字編碼四、邏輯電路和邏輯運算計算機中的各種數(shù)制在計算機內(nèi)部，信息廣泛采用二進(jìn)制形式表示，有時還會使用十進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制。2進(jìn)制，用兩個阿拉伯?dāng)?shù)字：0、1；8進(jìn)制，用八個阿拉伯?dāng)?shù)字：0、1、2、3、4、5、6、7；10進(jìn)制，用十個阿拉伯?dāng)?shù)字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；16進(jìn)制，用十六個阿拉伯?dāng)?shù)字……等等，阿拉伯人或說是印度人，只發(fā)明了10個數(shù)字?。?6進(jìn)制就是逢16進(jìn)1，但我們只有0~9這十個數(shù)字，所以我們用A，B，C，D，E，F(xiàn)這五個字母來分別表示10，11，12，13，14，15。字母不區(qū)分大小寫。對任意進(jìn)位制數(shù)都可以寫成按權(quán)展開的多項式的和的形式：十進(jìn)制使用廣泛，它主要用在計算機外部。特點：一是十進(jìn)制由十個不同的數(shù)符組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，即基數(shù)為“10”；二是十進(jìn)制遵循每相鄰兩位“逢十進(jìn)一”的原則。二進(jìn)制是用于計算機內(nèi)部描述各種信息的一種數(shù)制。特點：一是二進(jìn)制由“0”和“1”兩個符號構(gòu)成，即基數(shù)為2；二是每相鄰兩位遵循“逢二進(jìn)一”的原則。K=Kn-1×Rn-1+Kn-2×Rn-2+……+K1×R1+K0×R0+K-1×R-1+K-2×R-2+……=Ki×Ri式中：i－－數(shù)位；m，n－－正整數(shù)；

R－－基數(shù)；Ki－－第i位數(shù)碼。為什么需要八進(jìn)制和十六進(jìn)制?

編程中，我們常用的還是10進(jìn)制……必竟C/C++是高級語言。比如：inta=100,b=99;

不過，由于數(shù)據(jù)在計算機中的表示，最終以二進(jìn)制的形式存在，所以有時候使用二進(jìn)制，可以更直觀地解決問題。但，二進(jìn)制數(shù)太長了。比如int類型占用4個字節(jié)，32位。比如100，用int類型的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)將是：000000000000000001100100面對這么長的數(shù)進(jìn)行思考或操作，沒有人會喜歡。用16進(jìn)制或8進(jìn)制可以解決這個問題。因為，進(jìn)制越大，數(shù)的表達(dá)長度也就越短。不過，為什么偏偏是16或8進(jìn)制，而不其它的，諸如9或20進(jìn)制呢？

2、8、16，分別是2的1次方，3次方，4次方。這一點使得三種進(jìn)制之間可以非常直接地互相轉(zhuǎn)換。8進(jìn)制或16進(jìn)制縮短了二進(jìn)制數(shù)，但保持了二進(jìn)制數(shù)的表達(dá)特點。1）二進(jìn)制數(shù)用B(Binary),八進(jìn)制數(shù)用O(Octonary),O也可用Q表示,十進(jìn)制數(shù)用D(decimal),十六進(jìn)制數(shù)用H(Hexadecimal)表示.:101B,123Q,789,10CEH分別表示二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)2）給數(shù)加括號并加數(shù)字下標(biāo)如(1001)2,,(2357)8,(8790)10,(1AFF)16分別表示二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制。書寫規(guī)則常用的書寫方法有兩種:應(yīng)該還有其他寫法，如c＋＋中的表示等。數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換下面是豎式：將01100100換算成十進(jìn)制第0位0*20

=

0第1位0*21

=

0第2位1*22

=

4第3位0*23

=

0第4位0*24

=

0第5位1*25

=32第6位1*26

=64第7位0*27

=

0

＋---------------------------

100

2進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)制數(shù)用橫式計算為：0*20+0*21+1*22+1*23+0*24+1*25+1*26+0*27=100

0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：1*22+1*23+

1*25+1*26=100二進(jìn)制數(shù)00101010十進(jìn)制數(shù)4225+23+21=42轉(zhuǎn)換方法：e.g110進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為2進(jìn)制數(shù)給你一個十進(jìn)制，比如：6，如果將它轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)呢？10進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，這是一個連續(xù)除2的過程：把要轉(zhuǎn)換的數(shù)，除以2，得到商和余數(shù)，將商繼續(xù)除以2，直到商為0。最后將所有余數(shù)倒序排列，得到數(shù)就是轉(zhuǎn)換結(jié)果。十進(jìn)制數(shù)58二進(jìn)制數(shù)00111010轉(zhuǎn)換方法：

2|58……02|1……12|29……12|14……02|7……12|3……102|1……1e.g2取余數(shù)對應(yīng)二進(jìn)制位數(shù)223……余1……K0最低位211……余1……K125……余1……K222……余0……K321……余1……K4最高位

即：23D=10111B總結(jié)：十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)用“除2取余倒讀法”轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)就可概括為“除R取余倒讀法”。例：十進(jìn)制數(shù)23轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)二進(jìn)制位數(shù)取整數(shù)K-1最高位1K-21K-30K-4最低位10.8125×

21.62500.6250×

21.25000.2500×

20.50000.5000×

21.0000即：0.8125D=0.1101B總結(jié)：十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成其它進(jìn)制數(shù)方法“乘R取整順讀”例：將十進(jìn)制數(shù)0.8125轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)的第0位的權(quán)值為16的0次方，第1位的權(quán)值為16的1次方，第2位的權(quán)值為16的2次方……所以，在第N（N從0開始）位上，如果是數(shù)X（X大于等于0，并且X小于等于15，即：F）表示的大小為X*16的N次方。假設(shè)有一個十六進(jìn)數(shù)2AF5,那么如何換算成10進(jìn)制呢？用豎式計算：2AF5換算成10進(jìn)制:

第0位：

5*160=5第1位：

F*161=240第2位：

A*162=2560第3位：

2*163=8192

＋-------------------------------------

10997

直接計算就是：5*160

+F*161+A*162+2*163=10997(別忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)現(xiàn)在可以看出，所有進(jìn)制換算成10進(jìn)制，關(guān)鍵在于各自的權(quán)值不同假設(shè)有人問你，十進(jìn)數(shù)1234為什么是一千二百三十四？你盡可以給他這么一個算式：1234=1*103+2*102+3*101+4*100三位組合法：把二進(jìn)制數(shù)以小數(shù)點為中心，分別向左、右每三位分為一組，不夠補零；然后，每組用等值的八進(jìn)制數(shù)碼表示。例：將二進(jìn)制數(shù)101.1011轉(zhuǎn)換成等值八進(jìn)制數(shù).(101.1011)2=101.101

100=(5.54)8分解三位法：把八進(jìn)數(shù)的各位依次用對應(yīng)的三位二進(jìn)制數(shù)碼表示。例：將八進(jìn)制數(shù)12.56轉(zhuǎn)換成等值二進(jìn)制數(shù)(12.56)8=001010.101110=(1010.10111)2二進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換與二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制類似用“四位組合法和分解四位法”例：將二進(jìn)制數(shù)101110轉(zhuǎn)換成等值十六進(jìn)制數(shù)。(101110)2=0010

1110=(2E)16將十六進(jìn)制數(shù)5.B8轉(zhuǎn)換成等值二進(jìn)制數(shù)分別轉(zhuǎn)換成等值(5.B8)16=0101.1011

1000=(101.10111)2二進(jìn)數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換二進(jìn)制十六進(jìn)制十進(jìn)制BCD碼00000000000001110001001022001000113300110100440100010155010101106601100111770111100088100010019910011010A101011B111100C121101D131110E141111F15數(shù)碼對照表機器數(shù)：“數(shù)”以某種方式存儲在計算機中，一般稱為機器數(shù)。機器數(shù)的范圍一個計算機的字長為8位或16位時,它的無符號整數(shù)的最大值分別是(11111111)2=(255)102=(65535)102.機器數(shù)的符號無符號數(shù)：不考慮正負(fù)的數(shù)，相反稱為有符號數(shù)有符號數(shù):計算機中有符號數(shù)的符號被數(shù)字化了；一般最高位為0表示正號，為1表示負(fù)號常用的編碼方式有三種：原碼、反碼、補碼。數(shù)據(jù)的表示

無符號數(shù)與有符號數(shù)的區(qū)別僅在于，無符號數(shù)沒有符號位，全部有效位均用來表示數(shù)的大小。在計算機中，無符號數(shù)常用來表示地址。1.無符號數(shù)（1）原碼符號位用0表示正，用1表示負(fù)，數(shù)值部分不變。原碼和真值的關(guān)系如下式所示：2.有符號數(shù)例如：求X=+105的原碼（X)原=01101001

求X=－105的原碼（X)原=11101001

原碼表示簡單直觀,但0的表示不唯一，加減運算復(fù)雜,如果兩個異號數(shù)相加或兩個同號數(shù)相減就要做減法。 （2）反碼正數(shù)的反碼與原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼是符號位用1表示，數(shù)值位按位取反。原碼和真值的關(guān)系如下式所示：例如：X=-4,（X)原=10000100,（X)反=11111011,

（X)反=10010100，則其原碼為11101011，為－107

反碼的缺點與原碼類似，多用在求反邏輯運算中。（3）補碼正數(shù)的補碼與原碼相同；

負(fù)數(shù)補碼為其反碼加1；

0無正負(fù)之分；

n位二進(jìn)制數(shù)補碼的表示范圍為＋(2n-1－1)～－2n-1

補碼和真值的關(guān)系如下：例如：X=-4,（X)原=10000100,（X)補=11111100

補碼運算時可以將符號位參與運算，可以用加法代替減法運算，提高了運算速度。計算機中的有符號二進(jìn)制數(shù)據(jù)默認(rèn)為補碼表示。X為正數(shù)時有：（X)原＝（X)反＝（X)補X為負(fù)數(shù)時有：（X)補＝（X)反＋1，((X)補)補＝（X)原

((X)反)反＝（X)原

補碼的求法1）根據(jù)定義求：（X)補＝2n＋X如X＝－，n＝8，則（X)補＝28＋（－）＝100000000－＝，有減法運算不方便。2）利用原碼求：一個負(fù)數(shù)的補碼等于其原碼除符號位以外的各位按位取反，再在最低位加1。如X＝－，（X)原＝，則（X)補＝＋1＝3）簡便的求補：從原碼的最低位起，到出現(xiàn)第一個1以前（包括第一個1）的數(shù)字不變，以后逐位取反，但符號位不變。如X=－1010111,（X)原＝，則（X)補＝X＝－，則（X)原＝11110000，則（X)補＝3.機器數(shù)中小數(shù)點位置（1）定點數(shù):小數(shù)點位置固定不變。浮點數(shù):小數(shù)點位置可以浮動。定點數(shù)的表示方法純整數(shù)：小數(shù)點在數(shù)的最右方。純小數(shù)：小數(shù)點在數(shù)的符號位之后。純整數(shù)和純小數(shù)都可以用原碼、反碼、補碼來表示。如：87.37=0.8737×102同樣(110.11)2=(0.11011×23)2

這就是浮點數(shù)表示法一個二進(jìn)制數(shù)N

可表示為:N

=±2±P×S(N,P,S均為二進(jìn)制數(shù))S稱為尾數(shù)，即全部的有效數(shù)字（一般數(shù)值小于1），2前面的±號是尾數(shù)的符號，P稱為階碼（一般為整數(shù)）即指明小數(shù)點的實際位置，2右上方的±號是階碼的符號。浮點數(shù)在機器中的編碼分成兩部分,排列如下：階符階碼P尾符尾碼S（2）浮點數(shù)的表示方法Pentium將階碼以一種偏置形式存放于格式之中，即將真階碼加上一個常數(shù)偏置值才是格式階碼，以保證偏置后的格式階碼恒為正數(shù)。單精度的階碼偏置值為+127，雙精度的階碼偏置值為+1023，擴展精度的階碼偏置值為+16383。一個浮點數(shù)數(shù)的真階碼要通過它的格式階碼減去偏置值而得到。Pentium微處理器支持的浮點格式現(xiàn)在想知道，-5在計算機中如何表示？在計算機中，負(fù)數(shù)以其正值的補碼形式表達(dá)。原碼：一個整數(shù)，按照絕對值大小轉(zhuǎn)換成的二進(jìn)制數(shù)，稱為原碼。比如0000000000是5的原碼。反碼：將二進(jìn)制數(shù)按位取反，所得的新二進(jìn)制數(shù)稱為原二進(jìn)制數(shù)的反碼。取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0;0變1）比如：將0000000000每一位取反，得11111111111111111111111111111010。稱：11111111111111111111111111111010是0000000000的反碼。反碼是相互的，所以也可稱：11111111111111111111111111111010和0000000000互為反碼?，F(xiàn)在想知道，-5在計算機中如何表示？(續(xù)）補碼：反碼加1稱為補碼。也就是說，要得到一個數(shù)的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數(shù)稱為補碼。比如：0000000000的反碼是：11111111111111111111111111111010。那么，補碼為：11111111111111111111111111111010+1=11111111111111111111111111111011所以，-5在計算機中表達(dá)為：11111111111111111111111111111011。轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制：0xFFFFFFFB（在c中）或0FFFFFFFBH（在匯編中）。BCD（BinaryCodeDecimal）碼：把每1位十進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制編碼表示的數(shù)字編碼。它的全名為十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼（二-十進(jìn)制編碼）8421BCD碼：每個十進(jìn)制位用4位二進(jìn)制數(shù)表示，而4位二進(jìn)制數(shù)的位權(quán)分別為8、4、2、1，故命名之。十進(jìn)制數(shù)8421BCD碼十進(jìn)制數(shù)8421BCD碼000008100010001910012001010000100003001111000100014010012000100105010113000100116011014000101007011115000101014.數(shù)字編碼8421BCD編碼表例：(36.97)10=(00110110.10010111)BCD(100100110001.01000101)BCD=(931.45)10BCD碼壓縮型BCD碼用4位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù)非壓縮型BCD碼用8位二進(jìn)制數(shù)表示1位十進(jìn)制數(shù)1).ASCII編碼：是由美國國家標(biāo)準(zhǔn)委員會制定的一種包括數(shù)字、字母、通用符號在內(nèi)的字符編碼集。ASCII碼是一種7位二進(jìn)制編碼，能表示27＝128個國際上最通用的西文字符。5.字符型數(shù)據(jù)的表示ASCII編碼字符集包括4類常用的字符。（1）數(shù)字0～9對應(yīng)的ASCII碼值分別為0110001B~0111001B用十六進(jìn)制數(shù)表示為31H～39H（2）字母包括26個大寫英文字母和26個小寫英文字母。字母A～Z的ASCII碼值為41H～5AH，字母a~z的ASCII碼值為61H～7AH?？梢钥闯觯簩?yīng)的大、小寫字母的ASCII碼值相差20H。（3）通用符號如：＋、－、＝、*、／、，等共32個。（4）控制字符包括空格SP（20H）、回車CR（0DH）等共34個。注：ASCII碼是一種7位編碼，但它存放時必須占全一字字節(jié)，也即占用8位，一般最高位置0，其余7位是ASCII值。ASCII碼表規(guī)律：小寫字母大于大寫字母，字母大于數(shù)字，所有的字符都大于空格，空格大于所有的控制字符。2).漢字編碼漢字與英文差別很大：象形字、數(shù)目多、形和劃差異大計算機常用鍵盤以拼音文字為主解決錄入問題：與拼音鍵盤兼容－－外碼（音、形、劃）在計算機中表示漢字需安排一個確定的編碼且與ascii易于區(qū)分:GB2312-80,簡國標(biāo)碼，再到機內(nèi)碼。二進(jìn)制的運算和計算機中的四則運算1．算術(shù)運算 算術(shù)運算是指利用＋、－、×、÷、（）等符號連接二進(jìn)制數(shù)完成的運算。（自然運算規(guī)則與十進(jìn)制同）

計算機中完成二進(jìn)制的四則運算 完成二進(jìn)制的四則運算最終都是進(jìn)行加法運算。 加法：……；乘法：部分積右移加被乘數(shù)或0

減法：加補碼；除法：部分余數(shù)左移加除數(shù)補碼或01)二進(jìn)制的加減運算兩個1位二進(jìn)制數(shù)的加、減運算規(guī)則加法規(guī)則：減法規(guī)則：

0+0＝00–0＝00+1＝11–1＝1（借位1）

1+0＝11–0＝11+1＝0（進(jìn)位1）1–1＝0多位二進(jìn)制數(shù)加、減運算法則：逢二進(jìn)一、借一作二例：求11000011B＋100101B=？求11000011B－100101B=？

11000011B11000011B+100101B－100101B11101000B10011110B參見p.7二進(jìn)制的補碼運算規(guī)則：[X+Y]

補=[X]補+[Y]補

[X-Y]補=[X]補-[Y]補例:[32＋25]補

=[32]補＋[25]補=00100000＋00111001=[57]補

[32－25]補

=[32]補－[25]補=00100000－=00100000+11100111=(1)00000111=[7]補2）二進(jìn)制的補碼運算

分析：兩數(shù)相加時，只有當(dāng)