數(shù)字濾波器第一講

主講人：李旭濤《數(shù)字信號(hào)處理》課程2010-2011學(xué)年度秋季學(xué)期主要內(nèi)容線性移不變系統(tǒng)（LSI）；數(shù)字濾波器的基本概念；FIR數(shù)字濾波器；FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。數(shù)字濾波器實(shí)際上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器也就是實(shí)現(xiàn)對(duì)于輸入的離散時(shí)間信號(hào)的處理，濾波器的輸出滿足特定的目的。1.線性移不變系統(tǒng)（LSI）

相對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，系統(tǒng)的分析對(duì)象是連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，即線性時(shí)不變系統(tǒng)。在數(shù)字信號(hào)處理中，討論的是離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)，對(duì)于系統(tǒng)分析的對(duì)象是離散時(shí)間LSI系統(tǒng)，即線性移不變系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)和LSI系統(tǒng)是等價(jià)的。LSI系統(tǒng)在時(shí)域同樣也是由其沖激響應(yīng)決定的LSI系統(tǒng)的輸入，沖激響應(yīng)和輸出之間的關(guān)系

討論離散時(shí)間系統(tǒng)，手段主要有兩個(gè)：序列的卷積——時(shí)域方法；Z變換分析法——頻域方法。二種方法統(tǒng)一于時(shí)頻對(duì)應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)與傳輸函數(shù)

一般借助于差分方程來描述一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)：對(duì)該方程的時(shí)域解導(dǎo)致了系統(tǒng)分析的時(shí)域方法。相應(yīng)的對(duì)差分方程進(jìn)行雙邊Z變換（或單邊Z變換，不考慮初始條件），其系統(tǒng)函數(shù)為：

進(jìn)一步單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)函數(shù)的反Z變換：這就是分析LSI系統(tǒng)的頻域方法。注：（1）由差分方程求，已假定系統(tǒng)為L(zhǎng)SI；

（2）因果性和穩(wěn)定性由的收斂域決定（即，差分方程不能唯一確定）

離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

對(duì)于數(shù)字濾波器（等效為L(zhǎng)SI系統(tǒng)）而言，必須考慮其因果性和穩(wěn)定性。LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)意味著系統(tǒng)時(shí)刻的輸出，只取決于的輸入，LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件為：頻域：的收斂域一定包含∞點(diǎn)。

穩(wěn)定系統(tǒng)意味著系統(tǒng)對(duì)每個(gè)有界輸入，產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為：

系統(tǒng)穩(wěn)定要求的收斂域包含單位圓

對(duì)于線性時(shí)不變、因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，收斂域?yàn)?/p>

離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）最為重要的一個(gè)考察指標(biāo)就是其頻率響應(yīng)。濾波器的頻率響應(yīng)包括幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)兩部分，幅頻響應(yīng)反映信號(hào)通過系統(tǒng)后各頻率成分衰減的情況，而相頻響應(yīng)反映的是信號(hào)中各頻率成分通過系統(tǒng)后在時(shí)間上發(fā)生的位移情況。相應(yīng)的信號(hào)失真分別有幅度失真和相位失真。一個(gè)理想的離散時(shí)間系統(tǒng)，除了具有所希望的幅頻特性外，還希望具有線性相位的特性，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)無失真的傳輸具有非常重要的意義。純粹的線性相位往往難以實(shí)現(xiàn)，對(duì)于窄帶信號(hào)，往往采用群遲延來衡量信號(hào)的相位失真。對(duì)于濾波器的設(shè)計(jì)，往往從幅頻特性和相頻特性兩個(gè)方面綜合考慮。2.數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器可以分為兩種：有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)FIR濾波器和無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)IIR濾波器。FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI和LSI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。濾波器有模擬濾波器和數(shù)字濾波器之分，經(jīng)典的濾波器在功能上分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。其中低通濾波器是最基本的濾波器，其他的濾波器都可以由低通濾波器通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換得出。我們知道一個(gè)濾波器在頻域有幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)之分，對(duì)于幅頻響應(yīng)關(guān)注其通帶、阻帶以及過渡帶特性，對(duì)應(yīng)著濾波器主要的技術(shù)指標(biāo)。濾波器的設(shè)計(jì)就是依據(jù)這些指標(biāo)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，然后實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)。

數(shù)字濾波器的特點(diǎn)

實(shí)現(xiàn)的方式靈活：硬件實(shí)現(xiàn)（專用的數(shù)字硬件）、軟件實(shí)現(xiàn)（編程）及軟件、硬件結(jié)合的實(shí)現(xiàn)方式；精度高、穩(wěn)定性好（受環(huán)境條件，如溫度、干擾等的影響?。混`活性好（改變系統(tǒng)參數(shù)非常容易）易于實(shí)現(xiàn)各種功能的綜合。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)形式

數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)的具體形式有：直接型，并聯(lián)型，級(jí)聯(lián)型和格型（Lattice）；包含著三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。直接型：直接I型和直接II型

直接I型直接II型從系統(tǒng)函數(shù)的觀點(diǎn)，將系統(tǒng)函數(shù)分解為兩個(gè)部分（）：

級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型的基本思想是對(duì)系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行因式分解（有理分解），分解為若干個(gè)子系統(tǒng)的并聯(lián)和級(jí)聯(lián)。級(jí)聯(lián)型：并聯(lián)型：值得注意的問題：有限字長(zhǎng)效應(yīng)的存在；級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)具有累積誤差大的缺點(diǎn)，但是便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)濾波器的極零點(diǎn)，便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)的性能，所需要的存儲(chǔ)器少；并聯(lián)結(jié)構(gòu)的每一個(gè)子系統(tǒng)都是獨(dú)立的，不受其他子系統(tǒng)的量化誤差和舍入誤差的影響，因此對(duì)于誤差最不敏感，但是對(duì)于極零點(diǎn)的調(diào)整不易。濾波器的Z域極零點(diǎn)分析

將系統(tǒng)函數(shù)因式分解設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將代入，得傳輸函數(shù)在Z平面上向量：分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，用極坐標(biāo)表示為

對(duì)應(yīng)的幅度譜：相位譜為：

當(dāng)頻率從0變化到時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周。

如果濾波器的N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如下圖。當(dāng)從0變化到時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零。具有如下圖所示幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。

梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅度特性3.FIR數(shù)字濾波器

FIR濾波器是全零點(diǎn)濾波器，即其沖激響應(yīng)：FIR數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)有：1、易于實(shí)現(xiàn)線性相位；2、由于不存在極點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。FIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)：

需要較長(zhǎng)的濾波器長(zhǎng)度以滿足短過渡帶的要求，造成所需的計(jì)算量較大。線性相位FIR濾波器由于是全零點(diǎn)濾波器，其沖激響應(yīng)為有限長(zhǎng)度，容易滿足形如的對(duì)稱的形式，因此容易獲得線性相位的特性FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

令，則因此，的零點(diǎn)也是的零點(diǎn)，反之也然。這說明線性相位的FIR濾波器其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓對(duì)稱分布，如圖為線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)分布4.FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思想主要是建立在近似理想濾波器頻率特性基礎(chǔ)上，近似的方法有：窗函數(shù)法；頻率采樣法；最佳一致逼近法等。我們主要介紹窗函數(shù)法，窗函數(shù)法的主要思想是對(duì)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)序列采用截?cái)嗖⒁莆坏姆椒?，使之稱為一個(gè)因果的有限長(zhǎng)的序列，將對(duì)應(yīng)的理想系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為物理可實(shí)現(xiàn)的。采用不同的窗函數(shù)導(dǎo)致了不同的設(shè)計(jì)方法，所設(shè)計(jì)的濾波器也具有不同的特性。

理想濾波器理想的低通濾波器低通濾波器是構(gòu)建其它濾波器的基礎(chǔ)。然而理想的低通濾波器物理上卻不可實(shí)現(xiàn)?。看昂瘮?shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器1.由理想的頻率響應(yīng)得到理想的；2.由得到因果、有限長(zhǎng)的單位抽樣響應(yīng);3.對(duì)加窗得到較好的頻率響應(yīng)。理想頻率響應(yīng)思路與方法：設(shè)理想低通濾波器的幅頻為1，相頻為零：則：特點(diǎn)：無限長(zhǎng)非因果偶對(duì)稱解決方法：截短，移位保留即：隱含著使用了窗函數(shù)時(shí)域的乘積－>頻域的卷積于是：注意：是因果的，且是線性相位的，即即事先給一線性相位為了省去每次的移位，可以令：

在通帶內(nèi)這樣：于是：使用了矩形窗上式的的表達(dá)式及設(shè)計(jì)的思路可推廣到高通、帶阻及帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類型的濾波器。實(shí)際上，給定一個(gè) ，只要能積分得到，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾波器。如何設(shè)計(jì)FIR濾波器？上述分析表明，關(guān)鍵在于窗函數(shù)的設(shè)計(jì)如何由技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為窗函數(shù)的設(shè)計(jì)參數(shù)呢？頻帶指標(biāo)依采樣頻率的歸一化頻帶起伏指標(biāo)簡(jiǎn)化為對(duì)于較小的指標(biāo)轉(zhuǎn)化為窗函數(shù)和這些技術(shù)指標(biāo)之間的關(guān)系如何呢？也就是說具體的窗函數(shù)如何同這些指標(biāo)相對(duì)應(yīng)。進(jìn)一步的工程簡(jiǎn)化窗函數(shù)

窗函數(shù)的使用在數(shù)字信號(hào)處理中是不可避免的。數(shù)據(jù)、頻譜、自相關(guān)函數(shù)等都需要截短。對(duì)窗函數(shù)提出那幾方面的要求？3dB帶寬（主瓣寬度）越小越好旁瓣起伏越小越好旁瓣衰減速度越快越好（過渡帶寬度越小越好）Kaiser窗Kaiser窗的設(shè)計(jì)參數(shù)為同指標(biāo)參數(shù)如何對(duì)應(yīng)呢？↓常見的幾種窗函數(shù)及其對(duì)應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)步驟不同的窗函數(shù)的設(shè)計(jì)在于其參數(shù)同指標(biāo)要求之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；無外乎窗口的長(zhǎng)度如何確定，窗口的形狀參數(shù)如何同指標(biāo)相對(duì)應(yīng)；工程設(shè)計(jì)中通常采用簡(jiǎn)化的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)公式，具體的內(nèi)容可以查工程手冊(cè)得到頻率采樣法（時(shí)域的設(shè)計(jì)方法）對(duì)于所要求的一個(gè)任意的頻率響應(yīng)可以采用頻域采樣求和的方式來近似然后對(duì)于所得到的應(yīng)用前面介紹的窗函數(shù)得到最后的沖激響應(yīng)clearallclffc=15;%kHz%fs=40;%kHz%f=[-fs/2,-fc,-fc,0,fc,fc,fs/2];Df=[0,0,1,0.5,1,0,0];axis([-fs/2,fs/2,-0.2,1.2])holdonplot(f,Df)xlabel('analogfrequencyfinkHz')title('desiredAFfrequencyresponseD(f)')gridholdoffpauseclfw=2*pi*f/fs;Dw=Df;axis([-pi,pi,-0.2,1.2])holdonplot(w,Dw)xlabel('digitalfrequencywinrad')title('desiredDFfrequencyresponseD(w)')gridholdoffpauseclfN=21;M=(N-1)/2;delta_f=fs/N;fk=-fs/2*(1-1/N):delta_f:fs/2*(1-1/N);Dfk=((1+abs(fk)/fc)/2).*(sign(fk+fc)-sign(fk-fc))/2;axis([-fs/2,fs/2,-0.2,1.2])holdonplot(fk,Dfk,'*')xlabel('analogfrequencyfinkHz')title('samplesofD(f)')gridf=[-fs/2,-fc,-fc,0,fc,fc,fs/2];plot(f,Df,'r')holdoffpauseclfk=-M:M;Dk=Dfk;axis([-M,M,-0.2,1.2])holdonbar(k,Dk,0)plot(k,Dk,'*')plot([-M,M],[0,0])xlabel('k')title('D(k)')gridholdoffpauseclfj=sqrt(-1);wi=2*pi*(-M:M)/N;fork=-M:Md(k+M+1)=Dk*exp(-j*wi*k)'/N;enddk=real(d);k=-M:M;axis([-M,M,-0.3,0.8])holdonbar(k,dk,0)plot(k,dk,'*')plot([-M,M],[0,0])xlabel('k')title('d(k)')gridholdoffpauseclfk=0:N-1;hn=dk;axis([0,N-1,-0.3,0.8])holdonbar(k,hn,0)plot(k,hn,'*')plot([0,N-1],[0,0])xlabel('n')title('rectangularwindowedh(n)')gridholdoffpauseclfi=1;Hf=0;forf=-fs/2:(fs/200):fs/2Hf(i)=hn*exp(-j*2*pi*f/fs*(0:N-1)');i=i+1;endHf_abs=abs(Hf);f=-fs/2:(fs/200):fs/2;axis([-fs/2,fs/2,-0.3,1.2])holdonplot(f,Hf_abs)plot([-fs/2,fs/2],[0,0],'k')xlabel('finkHz')title('H(f),rectangularwindowed')f=[-fs/2,-fc,-fc,0,fc,fc,fs/2];Df=[0,0,1,0.5,1,0,0];plot(f,Df,'k--')plot(fk,Dfk,'k*')gridholdoffpauseclfwhm=0.54-0.46*cos(2*pi*(0:N-1)/(N-1));axis([0,N-1,-0.3,1.2])holdonbar(0:N-1,whm,0)plot(0:N-1,whm,'*')plot([0,N-1],[0,0])xlabel('n')title('Hammingwindow')gridholdoffpauseclfhn_hm=hn.*whm;axis([0,N-1,-0.3,1.2])holdonbar(0:N-1,hn_hm,0)plot(0:N-1,hn_hm,'*')plot([0,N-1],[0,0])xlabel('n')title('HammingwindowedH(n)')gridholdoffpauseclfi=1;Hf=0;forf=-fs/2:(fs/200):fs/2Hf(i)=hn_hm*exp(-j*2*pi*f/fs*(0:N-1)');i=i+1;endHf_abs=abs(Hf);f=-fs/2:(fs/200):fs/2;axis([-fs/2,fs/2,-0.3,1.2])holdonplot(f,Hf_abs)plot([-fs/2,fs/2],[0,0],'k')xlabel('finkHz')title('H(f),Hammingwindowed')f=[-fs/2,-fc,-fc,0,fc,fc,fs/2];Df=[0,0,1,0.5,1,0,0];plot(f,Df,'k--')plot(fk,Dfk,'k*')gridholdoffpauseclfL=201;P=(L-1)/2;delta_f=fs/L;fk=-fs/2*(1-1/L):delta_f:fs/2*(1-1/L);Dfk=((1+abs(fk)/fc)/2).*(sign(fk+fc)-sign(fk-fc))/2;wi=2*pi*(-P:P)/L;fork=-P:Pd(k+P+1)=Dfk*exp(-j*wi*k)'/