多元復(fù)合函數(shù)的全微分課件

推廣第七章一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分學(xué)1第一節(jié)7.1.1、二元函數(shù)的概念7.1.2、二元函數(shù)的極限和連續(xù)7.1.3、偏導(dǎo)數(shù)7.1.4、全微分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束多元函數(shù)7.1.5、復(fù)合函數(shù)的微分法7.1.6、隱函數(shù)的微分法21.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束7.1.1、二元函數(shù)的概念3在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束42.

區(qū)域(1)

內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn);則稱P為E

的邊界點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.5(2)

聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的

,點(diǎn)P

的去心機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))6D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開集；若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡(jiǎn)稱區(qū)域;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束。。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作E;7例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8

整個(gè)平面點(diǎn)集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無(wú)9定義1.

數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域;10二元函數(shù)在三維空間的幾何圖形三維空間的曲面11例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說(shuō)明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球127.1.2、二元函數(shù)的極限和連續(xù)定義2.

設(shè)二元函數(shù)點(diǎn),則稱A

為函數(shù)或P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切1、二元函數(shù)的極限13例1.

證明求證：證:故總有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束要證例2.

證明14若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束15定義：（二次極限）下面給出二次極限的概念16僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束17可以證明3182、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)二元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn)

.則稱n

元函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束連續(xù).連續(xù),19例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).2021定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)22內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.二元函數(shù)概念二元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束23有3.二元函數(shù)的極限4.二元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切二元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束247.1.3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1、偏導(dǎo)數(shù)的定義3、高階偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義25定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:26同樣可定義對(duì)y

的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,27偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例1.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束整體記號(hào),28例2.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束29二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x

軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)y軸的30函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!313、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù):32類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

的一階機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)為33例3.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的二階偏導(dǎo)數(shù)及34例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束35證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理.令36同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束37內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束382、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用7.1.4一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束本節(jié)內(nèi)容:1、全微分的定義全微分39一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.40(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微定理1：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即41定理2(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微

,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束42反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理2的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束43定理3(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束44所以函數(shù)在點(diǎn)可微.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意到,故有45例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束46可知當(dāng)二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(可用于近似計(jì)算;誤差分析)(可用于近似計(jì)算)（1）計(jì)算函數(shù)的近似值47例3.計(jì)算的近似值.

解:設(shè),則取則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束48半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例4.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求此圓柱體49分別表示x,y,z的絕對(duì)誤差界,（2）

誤差估計(jì)利用令z的絕對(duì)誤差界約為z的相對(duì)誤差界約為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則50特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果相對(duì)誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束51內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束523.微分應(yīng)用?近似計(jì)算?估計(jì)誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束53作業(yè)P110題15（2）,（4）,（6）題16（1）第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束547.1.5一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束復(fù)合函數(shù)的微分法55一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有增量△u,△v,56(全導(dǎo)數(shù)公式