廣東省肇慶市省部分重點(diǎn)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，函數(shù)的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．62．已知是不共線的非零向量，，，，則四邊形是（）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形3．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A． B． C． D．4．化簡(jiǎn)（）A． B． C． D．5．圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的一般方程是A． B．C． D．6．對(duì)于空間中的兩條直線，和一個(gè)平面，下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．已知向量，，如果向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．已知,當(dāng)取得最小值時(shí)（）A． B． C． D．9．若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列{an},若a2=10,a5=1,則{an}的前7項(xiàng)和為A．112 B．51 C．28 D．18二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．（如下圖）在正方形中，為邊中點(diǎn)，若，則__________．12．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________.13．已知，則__________.14．在△ABC中，，則________．15．當(dāng)時(shí)，的最大值為_(kāi)_________.16．英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓（Isaacnewton，1643-1727年）曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.現(xiàn)把一杯溫水放在空氣中冷卻，假設(shè)這杯水從開(kāi)始冷卻，x分鐘后物體的溫度滿(mǎn)足：（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.則從開(kāi)始冷卻，經(jīng)過(guò)5分鐘時(shí)間這杯水的溫度是________（單位：℃）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，，，，解三角形.18．已知直線截圓所得的弦長(zhǎng)為．直線的方程為．（1）求圓的方程；（2）若直線過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.19．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使不等式f(x)≥2x－3對(duì)任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知無(wú)窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，即.（1）直接寫(xiě)出數(shù)列，的前4項(xiàng)，使得數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.21．已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）令，判定函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）令，將函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，對(duì)任意，求在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：因?yàn)樵摵瘮?shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來(lái)求最小值，，因?yàn)?，由重要不等式可知，所以，本題正確選項(xiàng)為D.考點(diǎn)：重要不等式的運(yùn)用.2、A【解析】

本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算得出，然后根據(jù)以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出四邊形的形狀．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，是不共線的非零向量，所以且，所以四邊形是梯形，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)來(lái)判斷四邊形的形狀，考查向量的運(yùn)算以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)，如果一組對(duì)邊平行且不相等，那么四邊形是梯形；如果對(duì)邊平行且相等，那么四邊形是平行四邊形；相鄰兩邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形是菱形；相鄰兩邊垂直的平行四邊形是矩形，是簡(jiǎn)單題．3、A【解析】，，選A.4、A【解析】

減法先變?yōu)榧臃?，利用向量的三角形法則得到答案.【詳解】故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減法，屬于簡(jiǎn)單題.5、D【解析】

根據(jù)題意，求出圓的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，變形可得其一般方程?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，要求圓的圓心為，且過(guò)原點(diǎn)，且其半徑，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，變形可得其一般方程是，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程求法，以及標(biāo)準(zhǔn)方程化成一般方程。6、C【解析】

依次分析每個(gè)選項(xiàng)中兩條直線與平面的位置關(guān)系，確定兩條直線的位置關(guān)系即可.【詳解】平行于同一平面的兩條直線不一定相互平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，平行于平面的直線不一定與該平面內(nèi)的直線平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，垂直于平面的直線，垂直于與該平面平行的所有線，故選項(xiàng)C正確，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面位置關(guān)系的辨析，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出和，利用平行關(guān)系得到方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

可用導(dǎo)函數(shù)解決最小值問(wèn)題，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，令，則，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處取得極小值，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度中等.9、C【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式，根據(jù)一元二次不等式恒成立時(shí)，判別式和開(kāi)口方向的要求列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由得，即恒成立，由于時(shí)，在上不恒成立，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次不等式恒成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件列出關(guān)于數(shù)列的首項(xiàng)和公差的方程組，解出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得解.【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題意有:，解得：，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為:，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】∵，根據(jù)向量加法的三角形法則，得到∴λ=1，．則λ+μ=．故答案為．點(diǎn)睛：此題考查的是向量的基本定理及其分解，由條件知道，題目中要用和，來(lái)表示未知向量，故題目中要通過(guò)正方形的邊長(zhǎng)和它特殊的直角，來(lái)做基底，表示出要求的向量，根據(jù)平面向量基本定理，系數(shù)具有惟一性，得到結(jié)果．12、，【解析】

先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出?！驹斀狻恳?yàn)?，所以的單調(diào)增區(qū)間是，?！军c(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性的應(yīng)用。13、【解析】

對(duì)已知等式的左右兩邊同時(shí)平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14、【解析】

因?yàn)樗宰⒁獾剑汗剩蚀鸢笧椋?5、-3.【解析】

將函數(shù)的表達(dá)式改寫(xiě)為：利用均值不等式得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，故答案為-3【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，利用一正二定三相等將函數(shù)變形是解題的關(guān)鍵.16、45【解析】

直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可,【詳解】.故答案為：45.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，【解析】

利用已知條件通過(guò)正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化求解，即可求解．【詳解】在中，，由正弦定理可得：＝＝，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，從而，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，從而＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，利用直線截圓得到的弦長(zhǎng)公式可得半徑r，從而得到圓的方程；（2）由已知可得直線l1恒過(guò)定點(diǎn)P（1,1），設(shè)MN的中點(diǎn)Q（x，y），由已知可得，利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，圓的圓心為（0，0），半徑為r，則圓心到直線l的距離，若直線截圓所得的弦長(zhǎng)為，則有，解可得，則圓的方程為；（2）直線l1的方程為，即，則有，解得，即P的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)在圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q（x，y），則，即，化簡(jiǎn)可得：即為點(diǎn)Q的軌跡方程.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題和軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.19、（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）把代入函數(shù)解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段寫(xiě)出函數(shù)的解析式，由在上單調(diào)遞增，則需第一段二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸小于等于，第二段一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，且第二段函數(shù)的最大值小于等于第一段函數(shù)的最小值，聯(lián)立不等式組后求解的取值范圍；（3）把不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用函數(shù)單調(diào)性求得的范圍，取并集后得答案.試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，由，得，解得或；當(dāng)時(shí)，恒成立，∴方程的解集為或．(2)由題意知，若在R上單調(diào)遞增，則解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)設(shè)，則，不等式對(duì)任意恒成立，等價(jià)于不等式對(duì)任意恒成立．①若，則，即，取，此時(shí)，∴，即對(duì)任意的，總能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．②若，則，∴的值域?yàn)?，∴恒成立③若，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，由于，所以恒成立，?dāng)時(shí)，由，知，在處取得最小值，令，得，又，∴，綜上，．20、（1）的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項(xiàng)，盡量選用整數(shù)計(jì)算方便；（2）分別考慮，的前項(xiàng)的規(guī)律，然后根據(jù)計(jì)算的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【詳解】（1）由的前4項(xiàng)為：2，3，4，5，選、的前項(xiàng)為正整數(shù)：的前4項(xiàng)為1，2，3，4，的前4項(xiàng)為1，1，1，1；（2）將的前項(xiàng)列舉出：；將的前項(xiàng)列舉出：；則；（3）充分性：取，此時(shí)，將的前項(xiàng)列舉出：，將前項(xiàng)列出：，此時(shí)的前項(xiàng)為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿(mǎn)足；必要性：設(shè)，，當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以有：，且，所以；，，不妨令，則有如下不等式：；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；所以必有：，故：必要性滿(mǎn)足；綜上：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的定義以及證明，難度困難.對(duì)于充分必要條件的證明，需要對(duì)充分性和必要性同時(shí)分析，不能取其一分析；新定義的數(shù)列問(wèn)題，可通過(guò)定義先理解定義的含義，然后再分析問(wèn)題.21、（1）非奇非偶，理由見(jiàn)解析；（2）21或20個(gè).【解析】

（1）先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用和可判斷為非奇非偶函數(shù).（2）求出的解析式后結(jié)合函數(shù)的圖像、周期及給定區(qū)間的特點(diǎn)可判斷在給定的范圍上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1），則，故不是奇函數(shù)，又，，故不是偶函數(shù).綜上，為非奇非偶函數(shù).（2），的圖象如圖所示：令，則，則或，，也就是或