九年級中考數(shù)學(xué)-平面展開-最短路徑問題

中考數(shù)學(xué)專題——平面展開-最短路徑問題

一、單選題

1.如圖，圓柱的底面直徑為AB,高為AC.一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B

處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是

()

A.

C.

2.如圖所示，一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬

行的最短路程（冗取3）是()

B食物

B.10cmC.14cmD.無法確

定

3.如圖，棱柱的底面是邊長為8的正方形，側(cè)面都是長為16的長方形，點(diǎn)D是BC

的中點(diǎn)，在棱柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面點(diǎn)D處的食物，需要爬

行的最短路程是s,則s2的值為（）

A.784B.464C.400D.336

二、填空題

4.如圖所示，圓柱的高AB=3,底面圓的周長是8,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓

柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是.

5.如圖，圓柱的高為8cm,底面半徑為2cm,在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它

想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直

徑，問：螞蟻吃到食物爬行的最短距離是cm.（兀取3）

6.如圖，圓柱形容器外壁距離下底面3cm的A處有一只螞蟻，它想吃到正對面外壁

距離上底面3cm的B處的米粒，若圓柱的高為12cm,底面周長為24cm.則螞蟻爬行

的最短距離為.

三、解答題

7.如圖，正四棱柱的底面邊長為5cm,側(cè)棱長為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱底面上

的頂點(diǎn)A沿棱柱的表面到頂點(diǎn)C，處吃食物.那么它需要爬行的最短路程的長是多少？

8.如圖，臺階階梯每一層高20cm,寬40cm，長50cm,一只螞蟻從A點(diǎn)

爬到B點(diǎn)，最短路程是多少？

9.如圖所示，有一個(gè)圓柱體，高為12cm,底面半徑為3cm,在圓柱下底面A處有一

只蜘蛛.它想到上底面B處捉住一只蒼蠅，則蜘蛛所走的最短路線長應(yīng)為多少cm（n

10.如圖，有一只螞蟻從一個(gè)圓柱體的下面A點(diǎn)爬到對應(yīng)上面B點(diǎn)，已知圓柱的底面

試討論螞蟻所走過的最短路徑.

11.如圖，一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm,高是9cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬

到B點(diǎn)，那么它所走的最短路線的長是多少？

B

12.如圖所示，圓柱形容器，高為1.2m,底面周長為1m,在容器內(nèi)壁離容器底部

0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相

對的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為多少米？（容器厚度忽略不計(jì)）

13.如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高18cm,底面周長為60cm,在外側(cè)距下底1cm的

點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅,

試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度.

14.如圖，圓柱形玻璃容器，高8cm,底面周長為30cm,在外側(cè)下底的點(diǎn)S處有一只

螞蟻，與螞蟻相對的圓柱形容器的上口外側(cè)的點(diǎn)F處有食物，求螞蟻要吃到食物所走

的最短路線長度.（畫出側(cè)面展開圖并計(jì)算）

口

15.有一圓柱形油罐，如圖所示，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子到B點(diǎn)，正好B點(diǎn)在A點(diǎn)

的正上方，已知油罐的周長為12m,高AB為5m,問：所建梯子最短需多少米？

16.如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高AAi的端點(diǎn)A到達(dá)Ai,若圓柱底面半徑

為9,高為5,螞蟻爬行的最短距離為多少？

71

17.如圖所示，圓柱形玻璃容器高19cm,底面周長為60cm,在外側(cè)距下底1.5cm的

點(diǎn)A處有一只蜘蛛，距蜘蛛正對面的圓柱形容器的上底1.5cm處的點(diǎn)B處有一只蒼

蠅，蜘蛛急于捕捉蒼蠅充饑，請你幫蜘蛛計(jì)算它沿容器側(cè)面爬行的最短長度.

18.如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長為

10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外

壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是多少？

19.如果螞蟻處于的位置是一個(gè)長、寬、高分別為15、5、3的長方體的左下端A,它

到右上端G的最短路線該怎樣選擇呢.請計(jì)算最短路線.

20.如圖所示，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm,如果用一根細(xì)線從

點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要多少厘米？

21.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=B?=2,AD=3,一只螞蟻從

A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面爬到C'點(diǎn)，求螞蟻怎樣走路程最短，最短路程是多少？

22.如圖，圓柱的高為10cm，底面半徑為4cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一

只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰

好是上、下底面的直徑.為：螞蟻至少要爬行多少路程才能食到食物？

D

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】5

5.【答案】10

6.【答案】6y[5cm

7.【答案】解：分兩種情況：①AC=7AB2+BC'2=V194(cm)；

②AC=7AC2+CC，2=2而(cm).

因?yàn)?"j<V194,所以最短路程為2741cm.

8.【答案】解：如圖所示，?.?它的每一級的長寬高為20cm，寬40cm,長

50cm,

,AB二,5()2+[2(20+40)丁=130cm

答：螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程是130cm.

9.【答案】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到如圖所示的圖形,

其中AC=6cm,BC=12cm,

在R2ABC中，AB=762+122=675cm.

故AB=J(]5乃p+122=4225萬2+144(cm),

11.【答案】解：由題意可得,

當(dāng)展開前面和右面時(shí)，最短路線長是：J(7+5)2+92=V225=15(cm)；

當(dāng)展開前面和上面時(shí)，最短路線長是:772+(9+5)2=V245=775(cm)；

當(dāng)展開左面和上面時(shí)，最短路線長是:行+(9+7)2=后[(cm)；

*/15<775<7281.

...一只螞蟻從長為7cm、寬為5cm,高是9cm的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn),

那么它所走的最短路線的長是15cm.

12.【答案】解：如圖所示,

D

m,BD=1.2m,所以將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱

點(diǎn)A',連接A'B,則A'B即為最短距離，所以A,B2=A'D2+BD2=O.52+1.22=1.32,

所以A'B=1.3m.

13.【答案】解：將曲面沿AB展開，如圖所示，過C作CELAB于E,

在RtACEF中，ZCEF=90°,EF=18-1-1=16(cm),CE=-x60=30(cm),

2

由勾股定理，得CF=7CE2+EF2=7302+162=34(cm).

答：蜘蛛所走的最短路線是34cm.

14.【答案】解：如圖所示,

?圓柱形玻璃容器，高8cm,底面周長為30cm,

?*.SD=15cm,

，SF=^DF2+SD2=Vfi2+152=17(cm).

答：螞蟻要吃到食物所走的最短路線長度是17cm.

-------777T

I--，:1

VAC=12m,BC=5m,

1?AB=JAC2+BC2=V122+52

=13m,

答：梯子最短需要13m.

16.【答案】解：圓柱展開如圖所示，則螞蟻爬行最短距離為AA：

Ac

?.?圓柱底面半徑為-,

71

6

，AC=2兀R=2TC?—=12.

71

在RSACA'中，A'C=5,AC=12..

由勾股定理得：AA'=JAC'+AC?=752+122=13.

.??螞蟻?zhàn)疃搪烦虨?3cm.

17.【答案】解：如圖所示，將圓柱側(cè)面展開成長方形MNQP,過點(diǎn)B作BC_LMN于

點(diǎn)C,連接AB,

A/,---------------------1P

二_

NQ

則線段AB的長度即為最短距離.

在RtAACB中，AC=MN-AN-CM=16cm,

BC是上底面的半圓周的長，即BC=30cm.

由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=162+302=1156=342,

所以AB=34cm.

所以蜘蛛所走的最短路線的長度為34cm.

18.【答案】解:如圖：

?.?高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒,

此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點(diǎn)A處，

A,D=5cm,BD=12-3+AE=12cm,

.?.將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，，

連接AB,則AB即為最短距離，

AB=y]A'D2+BD2=A/52+122=13（皿）.

19.【答案】解：分三種情況:

如圖①，AB=15,BB、=3,4c?=5

BC]=BB[+Be=8

在RtaABC1中，

AC,=河。+BC；=7152+82=17

如圖②，AB=15,BC=5,CG=3

AC=AB+3C=20

在ACC）中,

AC]=y/AC-CC；=,2()2+32=7409

如圖③，A4,=3,AB,=15,B￡=5

:.AB}=/LA,+4耳=18

AC,=JW+gCj=V182+52=V349

V17<V349<V409

...沿第①種方式爬行路線最短.

20.【答案】解：將長方體展開，連接AB',

???A4'=l+3+l+3=8(cm),AB'=6(cm),

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB'=y/s2+62=1()(cm).

所用細(xì)線最短需要10cm.

21.【答案】解：螞蟻沿如圖(1)所示的路線爬行時(shí)，長方形ACCA長為

AD+DC^5，寬為A4，=2,連接AC',則構(gòu)成直角三角形.

由勾股定理，得AC'2=AC2+CC'2=52+22=29.

螞蟻沿如圖(2)所示的路線爬行時(shí)，長方形ADCD'長為