九年級(jí)二模數(shù)學(xué)匯編：尺規(guī)作圖

初三二模數(shù)學(xué)匯編：尺規(guī)作圖

一.填空題（共1小題）

1.（2021?東城區(qū)二模）數(shù)學(xué)課上，李老師提出如下問(wèn)題:

己知：如圖，AB是。。的直徑，射線4c交。。于C.

求作：弧BC的中點(diǎn)O.

同學(xué)們分享了四種方案：

①如圖1,連接BC,作BC的垂直平分線，交。。于點(diǎn)。.

②如圖2,過(guò)點(diǎn)。作AC的平行線，交。。于點(diǎn)D.

③如圖3,作/BAC的平分線，交。。于點(diǎn)。.

④如圖4,在射線AC上截取AE,使AE=AB,連接BE,交。。于點(diǎn)D

二.解答題（共8小題）

2.（2021?朝陽(yáng)區(qū)二模）己知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB>AC.

求作：BC邊上的高AD

作法：①以點(diǎn)4為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交8C的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)Ei

②分別以點(diǎn)B,E為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交

于點(diǎn)尸（不與點(diǎn)A重合）；

③連接A尸交BC于點(diǎn)D.

線段就是所求作的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AE,EF,BF.

'：AB=AE=EF=BF,

...四邊形ABFE是（）（填推理依據(jù)）.

：.AFLBE.

即AO是△ABC中3c邊上的高.

3.（2021?海淀區(qū)二模）已知：/MAN,B為射線AN上一點(diǎn).

求作：△ABC,使得點(diǎn)C在射線4歷上，且NA8C=L/CA8.

2

作法：①以點(diǎn)A為圓心，A8長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AM于點(diǎn)。，交射線AN的反向延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E；

②以點(diǎn)E為圓心，8。長(zhǎng)為半徑畫弧，交箍于點(diǎn)尸；

③連接FB,交射線AM于點(diǎn)C.

△ABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接BQ,EF,AF,

1?點(diǎn)B,E,尸在。A上，

:.NEBF=LNEAF（）（填寫推理的依據(jù)）.

2

,在（DA中，BD=EF,

：.ZDAB^.

ZABC=—ZCAB.

2

4.（2021?房山區(qū)二模）己知：射線AB.

求作：△ACD,使得點(diǎn)C在射線AB上，/。=90。，ZA=30°.

作法：如圖，

①在射線4B上取一點(diǎn)O,以。為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線A8相交于點(diǎn)C；②

以C為圓心，OC為半徑作弧，在射線AB上方交。。于點(diǎn)O；

③連接AO,CD.

則△ACQ即為所求的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接

為0。的直徑，

，ZADC=

"：OD=OC=CD,

...△08等邊三角形.

...N￡）OC=60。.

?.?點(diǎn)A,￡）都在。。上，

.?.ND4c=1?/DOC-（填推理的依據(jù)）

.../D4C=30°.

△48即為所求的三角形.

5.（2021?西城區(qū)二模）下面是小華設(shè)計(jì)的“作/AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過(guò)程，請(qǐng)幫

助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）.

步驟作法推斷

第一步在OB上任取一點(diǎn)C,以點(diǎn)C為圓心，OC為半ZOPQ=

徑作半圓，分別交射線04,08于點(diǎn)P,點(diǎn)

Q，連接PQ

°,理由是

第二步過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交PQ于點(diǎn)￡>,交PQ于PD=DQ,PE=

點(diǎn)、E

第三步作射線0E射線0E平分NA0B

射線0E為所求作

6.（2021?順義區(qū)二模）已知：直線/和/外一點(diǎn)P.求作：直線/的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P.

作法：①在直線/上任取兩點(diǎn)4、B；

②分別以點(diǎn)A、B為圓心，AP,BP長(zhǎng)為半徑作弧，在直線/下方兩弧交于點(diǎn)C;③作直

線尸C所以直線PC為所求作的垂線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連結(jié)AP、AC、BP、BC.

"：AP=AC,BP=BC,AB=AB,

：.^APB^/XACB（填推理依據(jù)）.

：.ZPAB=ZCAB,

：.PC±AB（填推理依據(jù)）.

P.

7.（2021?東城區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)C在/MON的邊OM上.

求作：射線8,使CD〃ON,且點(diǎn)。在/MON的角平分線上.

作法：①以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線OM,ON于點(diǎn)A,B；②分別

以點(diǎn)A,8為圓心，大于/皿的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)Q③畫射線OQ；④以點(diǎn)C為

圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線0。于點(diǎn)D；⑤畫射線CD射線CZ）就是所求作的射

線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

平分NM0N,

，ZM0D=.

OC=CD,

ZM0D=.

"NOD=/CDO.

8.（2021?石景山區(qū)二模）如圖，在△A8C中，點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn).

求作：線段。E,使得點(diǎn)E在線段AC上，且。E=」BC.

2

作法：①分別以點(diǎn)4,C為圓心，大于14c長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn);

2

②作直線MN,交AC于點(diǎn)E；

③連接DE.

所以線段OE即為所求的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：：AM=CM,AN=CN,

...MN是AC的垂直平分線（）.（填推理的依據(jù)）

...點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

:點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

C.DE^^BC（）.（填推理的依據(jù)）

2

9.（2021?昌平區(qū)二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖

過(guò)程.

已知：NAOB.

求作：ZADC,使/AOC=2NAOB.

作法：如圖，

①在射線OB上任取一點(diǎn)C；

②作線段OC的垂直平分線，交OA于點(diǎn)交OB于點(diǎn)E,連接。C.

所以NADC即為所求的角.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面證明（說(shuō)明：括號(hào)里填寫作圖依據(jù)）.

證明：〈DE是線段。。的垂直平分線,

：.0D=(),

AZAOB=(),

ZADC=ZAOB+ZDCO,

：.ZADC=2ZA0B.

2021北京八區(qū)初三二模數(shù)學(xué)匯編：尺規(guī)作圖

參考答案

填空題（共1小題）

i.【分析】①利用垂徑定理可以證明俞=商.

②證明2CLOD,可得結(jié)論.

③利用圓周角定理可得結(jié)論.

④利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明即可.

【解答】解：①由,.?OOLBC,

.,.BD=DC.

②如圖2中，連接8C,

圖2

是直徑，

.,.ZACB=90°,

C.ACVBC,

,JOD//AC,

：.OD±BC,

.*.BD=DC.

③：A￡＞平分/BAC,

：.ZBAD^ZDAC,

???BD=DC.

④如圖4中，連接AD.

B

笛'-----飛E

圖4

是直徑，

ZADB=90°.

：.AD1.BE,

"：AB=AE,

平分NBAC,

?,?BD=DC.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，圓周角定理解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

二.解答題（共8小題）

2.【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）證明四邊形ABFE是菱形，可得結(jié)論.

【解答】解：（1）依作法補(bǔ)全圖形，如圖所示：

（2）連接AE,EF,BF.

"：AB=AE=EF=BF,

...四邊形ABFE是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形），

J.AFVBE.

即AQ是△ABC中8C邊上的高.

故答案為：菱形，四條邊相等的四邊形是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

3.【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）連接￡尸，AF,利用圓周角定理證明可得結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖即為所求.

（2）連接EF,AF,

:點(diǎn)B,E,尸在。A上，

；.NEBF=L/EAF（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）（填寫推理的

2

依據(jù)）.

:在OA中，BD=EF,

：.ZDAB^ZEAF,

：.ZABC=—ZCAB.

2

故答案為：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，ZEAF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

4.【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）連接。證明△ODC是等邊三角形可得結(jié)論.

【解答】解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示:

D

\OCB

（2）連接OD.

TAB為。。的直徑，

ZADC=90°.

,：OD=OC=CD,

...△OC。等邊三角形.

ZDOC=6Q°.

?.,點(diǎn)A,。都在。。上，

：.ZDAC=^ZDOC（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半），

2

AZDAC=30°.

△AC。即為所求的三角形.

故答案為：90,（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓

周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

5.【分析】根據(jù)要求作出圖形，再利用圓周角定理可證/OPQ=90,利用垂徑定理可證

PE=EC.

【解答】解：如圖，射線OE即為所求作.

理由：：OQ是直徑，

.../OP2=90。（直徑所對(duì)的圓周角是直角），

'：OEA.PQ,

：.PD=DQ,PE-EQ,

平分/AOB.

故答案為：90,直徑所對(duì)的圓周角是直角，EQ.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

6.【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）根據(jù)SSS證明即可.

（2）連結(jié)AP、AC、BP、BC.

'：AP=AC,BP=BC,AB=AB,

：.（555）,

：.CAB,

：.PC±AB（等腰三角形三線合一）.

故答案為：（SSS）,（等腰三角形三線合一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正

確作出圖形，熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型.

7.【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義證明/CDO=NOON即可.

【解答】解：（1）如圖，射線C。即為所求作.

：.NMOD=ZNOD.

,:OC=CD,

:"MOD=ZCDO,

：.ZNOD^ZCDO.

.?.C￡>〃ON（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）.

故答案為：NNOD,ZCDO,內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形，屬于中考?？碱}型.

8.【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；

（2）先根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理判斷MN是AC的垂直平分線，則點(diǎn)

E是AC的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到DE=^BC.

【解答】（1）解：如圖,

（2）證明：；AM=CM,