經濟數學基礎-概率統(tǒng)計課后習題答案

習題L2]

i.寫出下列事宜的樣本空間：

（1）把一枚硬幣拋擲一次；

（2）把一枚硬幣持續(xù)拋擲兩次；

（3）擲一枚硬幣，直到初次消失正面為止；

（4）一個庫房在某一個時刻的庫存量（假定最大容量為M）.

解（1）0=｛正面,不和｝4=｛正,反｝

（2）0=｛（正.正），（正.反），（反.正），（反.反）｝

（3）Q=｛（正），（反,正），（反,反，正），…｝

（4）Q=｛x0^/7?）

2.擲一顆骰子的實驗,不雅察其消失的點數，事宜A="偶數點”,8=“奇數點，,C=”點數小于5”,。="小于5

的偶數點”，評論辯論上述各事宜間的關系.

解9=1,234,5,61A=HB=&3,5卜=42,3,41。=七4｝

4與B為對峙事宜，即8=4;8與?；ゲ幌嗳莨?。,（7刀力.

3.事宜凡表示某個臨盆單位第，車間完成臨盆義務/=1,2,3,8表示至少有兩個車間完成臨盆義務,C表示最

多只有兩個車間完成臨盆義務.解釋事宜5及8-C的寄義，并且用A#=1,2,3）表示出來.

解B表示最多有一個車間完成臨盆義務，即至少有兩個車間沒有完成臨盆義務.

萬=44+44+44

8-C表示三個車間都完成臨盆義務

B=AAA+A'AA+AAA+AAA

?2_3]o3_L23|>2__X.

C=AAA+AAA+AA\+AAA+AAA+AAA+AAAB-C=AAA

123123123123123123123I23

4.如圖1-1,事宜ABC都相容,即I.IABC#0,把事宜A+及4+8+CAC+8,C-AB

用一些互不相容事I//"：宜的和表示出來.

解A+B=A+AB圖1

A+B+C=A+AB+ABC]7

AC+B=B+ABC

C-AB=A~BC+ABC+ABC

5.兩個事宜互不相容與兩個事宜對峙的差別安在，舉例解釋.

解兩個對峙的事宜必定互不相容,它們不可能同時產生，也不可能同時不產生;兩個互不相容的事宜不必定

是對峙事宜，它們只是不可能同時產生，但不必定同時不產生.在本書第6頁例2中4與O是對峙事宜,C與

力是互不相容事宜.

6.三個事宜A.B.C的積是不可能事宜，即A8C=。，問這三個事宜是否必定互不相容?繪圖解釋.

解不必定.AB.C三個事宜互不相容是|/一、―指它們中任何兩個事宜均互不相容，即兩兩

互不相容.如圖1-2,事宜A8CT,但是Ac）與B相容.

7-事宜A與B相容，記C=AB,D=1圖1-2、A+B,尸=4一B.解釋事宜A.C.DF的關系.

第。頁，-共99頁

解因為ABu4u4+8,4-8u4u4+B,AB與A-8互不相容，且A=A8+(4一切.是以有

A=C+EC與尸互不相容,

￡>z)Az)FyAC.

8.袋內裝有5個白球,3個黑球，從中一次任取兩個，求取到的兩個球色彩不同的概率.

解記事宜A表示“取到的兩個球色彩不同”.則有利于事宜A的樣本點數量#4=。。.而構成實驗的樣本

53

點總數為#Q=C?，由古典概率公式有

5+3

n小#AClCl15

尸(A)=---=53=—

#QC228

8

(個中井A,#Q分離表示有利于A的樣本點數量與樣本空間的樣本點總數，余下同)

9.盤算上題中取到的兩個球中有黑球的概率.

解設事宜8表示“取到的兩個球中有黑球”則有利于事宜后的樣本點數為#豆=。2.

5

-。29

8

10.拋擲一枚硬幣,持續(xù)3次,求既有正面又有不和消失的概率.

解設事宜A表示“三次中既有正面又有不和消失”，則彳表示三次均為正面或三次均為不利消失.而拋擲

三次硬幣共有8種不同的等可能成果，即#2=8,是以

P(A)=1-P(I)=I--=1--=-

#Q84

11.10把鑰匙中有3把能打開一個門鎖,今任取兩把,求能打開門鎖的概率.

解設事宜A表示“門鎖能被打開”.則事宜彳產生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖.

PD(/A)=1-Pn(/AT)x=1-#A-=1-C^2=-8

10

從9題一11題解中可以看到，有些時刻盤算所求事宜的對峙事宜概率比較便利.

12.一副撲克牌有52張，不放回抽樣.每次一張，持續(xù)抽取4張，盤算下列事宜的概率：

(1)四張花色各別;

(2)四張中只有兩前花色.

解設事宜A表示“四張花色各別”；8表示“四張中只有兩前花色”.

#Q=C&,#A=C|ClClCl,

5213131313

#B=C2(CIC?CI+C2c2)

4213131313

p(A)=—=—=0A05

#OC4

52

片B6(7436+6048)

r(B)=----=0.300

#0C4

52

第1頁，一共99頁

13.口袋內裝有2個伍分.3個貳分,5個壹分的硬幣共10枚,從中任取5枚,求總值超過壹角的概率.

解設事宜4表示“掏出的5枚硬幣總值超過壹角”.

#O=C5,#A=C2c3+Ci(C3O+C2c2)

102823535

%=9=0.5

P(A)=

#Q252

14.袋中有紅.黃.黑色球各一個,每次任取一球,有放回地抽取三次,求下列事宜的概率:

A="三次都是紅球"3=“全紅”，B=“全白”，

C=“全黑”,D=“無紅"，E=“無白”，

F=“無黑"，G="三次色彩全雷同”,

H="色彩全不雷同"，/=”色彩不全雷同”.解#0=33=27,#A=#B=#C=1,

#￡)=#E=#F=23=8,

#G=#4+#8+#C=3,

#H=3!=6,#/=#Q—#G=24

P(A)=P(B)=P(C)=J

Q

P(D)=P(E)=P(土五

P(G)=A=1,P(//)=A=1,P(/)=|1=|

15.一間宿舍內住有6位同窗,求他們中有4小我的誕辰在統(tǒng)一個月份的概率.

解設事宜4表示“有4小我的誕辰在統(tǒng)一個月份”.

#0=126,#A=C4。112

12

#A_21780

P(A)=

初一⑵=0.0073

16.事宜4與B互不相容，盤算P(A+B)-

解因為人與B互不相容，有AB=Q,P(AB)=0

P(A+B)=P(AB)=1-P(Afi)=1.17.BoP(B)>P(A).

證-：B^A

：.P(B-A)=P(B)-P(A)

VP(B-A)^0

18.已知P(.A)=a,P(B)=b,ab^0(b>0.3a),

P(A-B)=0.74求P(B+A),P(B-A),P(B+A).

解因為A-B與AB互不相容，且A=(A-B)+A8,是以有

P(48)=P(A)-P(4-B)=0.3a

第2頁，-共99頁

P(A+8)=P(4)+P(8)一尸(A8)=0.7a+6

P(B-A)=P(B)-P(AB)=b-03a

P(B+A)=1-P(AB)=1-0.34

19.50個產品中有46個及格品與4個廢品，從中一次抽取三個，盤算取到廢品的概率.

解設事宜A表示“取到廢品”，則A表示沒有取到廢品，有利于事宜A的樣本點數量為#A=C3,是以

_46

_±tAC

P(A)=1-P(A)=1-S=1

Ci

50

=0.2255

20.已知事宜A,P(A)=lnO0O,P⑻=lna,求a的取值規(guī)模.

解因8nA,故尸⑻》尸⑷，即hwilnAnaN"又因尸⑷>0,尸⑻W1,可得6>l,“We,綜上剖析a的取值

規(guī)模是：

1<bWaWe

21.設事宜4與B的概率都大于0,比較概率尸04)/048),

P(A+8)/⑷+P⑻的大小(用不等號把它們銜接起來).

解因為對任何事宜A,民均有

ABu4uA+B

且PC4+8)=尸04)+P(B)-PC4B)FSB)》0,是以有

P(AB)WPC4)WPC4+8)WPC4)+P(B)

22.一個教室中有100邏輯學生,求個中至少有一人的誕辰是在元旦的概率(設一年以365天盤算).

解設事宜A表示11100邏輯學生的誕辰都不在元旦”，則有利于A的樣本點數量為#4=3643,而樣本空

間中樣本點總數為

#Q=365loo,所求概率為

—#A364100

pM)=1_p(A)=1__=1___

0.2399

23.從5副不同手套中任取4只手套，求個中至少有兩只手套配成一副的概率.

解設事宜A表示“掏出的四只手套至少有兩只配成一副“，則彳表示“四只手套中任何兩只均不能配成一

副”.

?二、#AC4C1C1C1C180

P(A)=-----=TT—2TT=-----

#0。210

10

P(A)=l-P(A)=0.62

24.某單位有92%的職工訂閱報紙,93%的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有85%的職工訂閱雜志，從單

位中任找一名職工求下列事宜的概率：

(1)該職工至少訂閱一種報紙或期刊；

第3頁，-共99頁

⑵該職工不訂閱雜志，但是訂閱報紙.

解設事宜月表示“任找的一名職工訂閱報紙”，8表示“訂閱雜志"，依題意尸€4)=0.92『但)=0.93,2但|

A)=0.85

P(A+B)=PC4)+P(NB)=PC4)+P(N)P(8|A)

=0.92+0.08x0.85=0.988

PUB)=PC4+fi)-P(B)=0.988-0.93=0.058

25.剖析學生們的數學與外語兩科測驗成績，抽查一邏輯學生,記事宜4表示數學成績優(yōu)良,8表示外語成績優(yōu)

良，若P(A)=P(B)=0.4,尸(AB)=0.28,求P(AIB),P(BIA),P(A+B).

解尸(A|==喳=0.7

P(B)0.4

P(BIA)=-^^2=0.7

P(A)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.52

26.設A.B是兩個隨機事宜.0<P(A)<l,0<P(Z?)<l,

P(AIB)+P(AI豆)=1.求證P(AB)=尸(A)P(B).

證：P(AIB)+P(AI豆)=1且尸(AIB)+P(AI豆)=1

：.P(AIB)=P(AIB)

P(AB)_P(AB)_P(A)-P(AB)

P(B)-P(萬)l-P(B)-

P(AB)[l-P(B)]=P(B)[尸(A)-?(A8)]

整頓可得

P(AB)=P(A)P(B)

27.設A與8自力,P(A)=0.4,P(A+B)=0.7,求概率尸(8).

解P(A+B)=P(A)+尸(X8)=尸(A)+P(X)P(B)

=>0.7=0.4+0.6尸⑻

nP⑻=0.5

28.設事宜A與B的概率都大于0,假如A與8自力,問它們是否互不相容，為什么？

解因P(A),P(8)均大于0,又因A與B自力，是以P(A8)=尸(A)P(8)>0,故A與B不可能互不相容.

29.某種電子元件的壽命在1000小時以上的概率為0.8,求3個這種元件運用1000小時后，最多只壞了一個

的概率.

解設事宜Aj表示“運用1000小時后第I個元件沒有壞”，

i=1,2,3,顯然為工243互相自力，事宜A表示“三個元件中最多只壞了一個“，則A=A1A/3+4A/3+

&AA3+AA2A，上面等式右邊是四個兩兩互不相容事宜的和，且P(4|)=P(A2)=尸(&)=。8

P(A)=[p(A)J+3[p(A)1P(A)

1I1

第4頁，-共99頁

=0&+3x0.82x0.2

=0.896

30.加工某種零件，需經由三道工序.假定第一.二.三道工序的廢品率分離為0.3,0.2,0.2,并且任何一道工序是

否消失廢品與其他各道工序無關.求零件的及格率.

解設事宜A表示“任取一個零件為及格品”，依題意A表示三道工序都及格.

P(A)=(1-03)(1-0.2)(!-0.2)=0.448

31.某單位德律風總機的占線率為0.4,個中某車間分機的占線率為0.3,假定二者自力，如今從外部打德律風

給該車間，求一次能打通的概率;第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(加為任何正整數).

解設事宜&表示“第i次能打.通”，=1,2,...,孫則

P(AJ=(l—0.4)(1—0.3)=0.42

P(A2)=0.58X0.42=0.2436

P(Am)=0.58?ixO.42

32.一間宿舍中有4位同窗的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每小我都沒有拿到本身眼

鏡的概率.

解設4表示“第i人拿到本身眼鏡”尸1,2,3,4尸(4)=1,設事宜8表示“每小我都沒有拿到本身的眼鏡”.

’14

顯然萬則表示“至少有一人拿到本身的眼鏡”.且后=4+A,+&+&.

P(B)=P(A]+A2+A3+A4)

=XP(A)-xP(AA)+ZP(AAA)-P(AAAA)

iiiijk1234

/=!l<i<j<k^4

P(AA.)=P(A.)P(A.|A)

=lxl=—(l<z</<4)

4312

P(AAA(l.)=P(A.)P(A.IA.)P(AkIAA)

111

-1z\-z\=—(lWi<JVk<4)

43224

/p=P(AJ)P(A2\AI)P(A3\AIA2)

XP(A4I4￡A)

11111

——x-x—x1——

43224

P(B)=4x---C2x--t-Ox-----=—

4412424248

-3

o

33.在1,2,…,3000這3000個數中任取一個數.設Am="該數可以被m整除',m=2,3,求概率P(A2AJ),P(A2+

第5頁，-共99頁

A3),P(A2—A3).

解依題意尸(4)=1，尸(4)=1

P(4￡3)=尸(46)=1

尸(&+Ap=尸(&)+P(&)—P(A/3)

1_1

P(A-A)=P(A)-P(AA)=

2322316-3

34.甲.乙.丙三人進行投籃演習，每人一次，假如他們的射中率分離為0.8,0.7,06盤算下列事宜的概率：

(1)只有一人投中；

(2)最多有一人投中；

(3)起碼有一人投中.

解設事宜A.BC分離表示“甲投中”.“乙投中”.“丙投中”，顯然A.8.C互相自力.設4表示“三人中有i

人投中”/=0,1,2,3,依題意,

P(A)=P(ABC)=尸(A)P(8)P(C)

o

=0.2X0.3X0.4X=0.024

P(4)=P(ABC)=P(A)P(B)尸(C)

=0.8x0.7x0.6=0.336

P(A2)^P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ

=0.8x0.7x0.4+0.8x0.3x0.6+0.2x0.7x0.6=0.452

(1)P(AJ=1-P(AO)-P(A2)-P(A3)

=1-0.024-0.452-0.336=0.188

(2)P(4o+A)=P(4)+P(A)=0.024+0.188=0.212

(3)P(4+B+C)=P(%)=1~P(A。)=0.976

35.甲.乙二人輪流投籃.甲先開端，假定他們的射中率分離為0.4及0.5,問誰先投中的概率較大，為什么？

解設事宜42.一/2,分離表示“甲在第2,一次投中”與“乙在第2〃次投中“，顯然…互相自力?設

事宜4表示“甲先投中”.

尸⑷=P(A)+P(A瓦—+尸(4瓦4瓦q)+…

=0.4+0.6xo.5x0.4+(0.6x0.5)2x0.4+...

0.4_4

-1-0.3萬

盤算得知?(A)>0.5,P(^)V0.5,是以甲先投中的概率較大.

36.某高校新生中，北京考生占30%,京外其他各地考生占70%,已知在北京學生中，以英語為第一外語的占80%,

而京外學生以英語為第一外語的占95%,今從全校新生中任選一邏輯學生,求該生以英語為第一外語的

第6頁，-共99頁

概率.

解設事宜4表示“任選一邏輯學生為北京考生”，8表示“任選一邏輯學生，以英語為第一外語”.依題意

F(A)=0.3,尸(Q=0.7,P(BIA)=0.8,P(BIA)=0.95.由全概率公式有

P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

=0.3x0.8+0.7x0.95=0.905

37.A地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南.北.中三個行政小區(qū)，其生齒比為9:7:4,據統(tǒng)計材料.甲種疾病在該

地三個小區(qū)內的發(fā)病率依次為4%。,2%,5%,求A地的甲種疾病的發(fā)病率.

解設事宜4八2人3分離表示從人地任選一名居平易近其為南?北.中行政小區(qū)，易見劣力2人3兩兩互不相容，其

和為Q設事宜8表示“任選一名居平易近其患有甲種疾病”，依題意：

P(A)=0.45,P(A,)=0.35,P(A3)=0.2,

P(BIA)=0.004,P(BIA2)=0.002,P(BI&)=0.005

=￡P(A)P(BIA)

f=l

=0.45x0.004+0.35x0.002+0.2x0.005

=0.0035

38.一個機床有三分之一的時光加工零件A,其余時光加工零件股加工零件A時,停機的概率為0.3,加工零件

B時停機的概率為0.4,求這個機床停機的概率.

解設事宜4表示“機床加工零件4”，則其表示“機床加工零件8”，設事宜8表示“機床停工”.

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

=0.3X，+0.4X2=0.37

33

39.有編號為I.【HI的3個口袋，個中I號袋內裝有兩個I號球,1個2號球與1個3號球,II號袋內裝有兩

個1號球和1個3號球,川號袋內裝有3個1號球與兩個2號球，如今先從1號袋內隨機地抽取一個球,

放入與球上號數雷同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球,盤算第二次取到幾號球的概率最大，為什

么？

解設事宜4表示“第一次取到，?號球”，耳表示第二次取到i號球,i=1,2,3.依題意4d2d3構成一個完整事宜

組.

P(A)=1P(A)=P(A)=,

I2234

P(B\A)=-,P(BIA)=P(BIA)=1

II22I314

IA)=1,P(B\A)=P(BIA)=!

12222324

P(BM)=1P(BIA)=1P(BIA)=1

132233336

運用全概率公式P(8)=XP(A)P(8IA)可以依次盤算出P(8)=LP(8)=U.p(8)=U.是以第二次

>>??2248348

第7頁，-共99頁

取到1號球的概率最大.

40.接37題，用一種磨練辦法，其后果是：對甲種疾病的漏查率為5%(即一個甲種疾病患者，經此磨練法未查

出的概率為5%);對無甲種疾病的人用此磨練法誤診為甲種疾病患者的概率為1%,在一次健康普查中，

或人經此磨練法查為患有甲種疾病，盤算該人確切患有此病的概率.

解設事宜A表示“受檢人患有甲種疾病”，8表示“受檢人被查有甲種疾病”，由37題盤算可知P(A)=O.OO35,

運用貝葉斯公式

P(A|B)=尸(4)尸(*，)

P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

0.0035x0.95

0.0035x0.95+0.9965x0.01

=0.25

41.甲.乙.丙三個機床加工一批統(tǒng)一種零件，其各機床加工的零件數量之比為5:3:2,各機床所加工的零件及

格率,依次為94%,90%,95%,如今從加工好的整批零件中檢討出一個廢品,斷定它不是甲機床加工的概

率.

解設事宜A2H3分離表示“受檢零件為甲機床加工”，“乙機床加工”，“丙機床加工”，8表示“廢品”，

運用貝葉斯公式有

一⑹=尸缶尸⑻j

1￡P(A)P(BIA)

10.5x0.06_3

-0.5x0.06+0.3x0.1+0.2x0.05~7

-4

P(AtIB)=l-P(AIB)=-

42.或人外出可以乘坐飛機.火車.汽船.汽車4種交通對象,其概率分離為5%」5%,30%,50%,乘坐這幾種交

通對象能如期到達的概率依次為100%,70%,60%與90%,已知該觀光者誤期到達，求他是乘坐火車的

概率.

解設事宜442鼻344分離表示外出人“乘坐飛機”，“乘坐火車”，“乘坐汽船”，“乘坐汽車”乃表示“外

出人如期到達”.

,(人葩)=必幽”

''0.15x0.3

-0.05x04-0.15x0.3+0.3x0.4+0.5x0.1

=0.209

43.接39題，若第二次取到的是1號球，盤算它正好取自I號袋的概率.

解39題盤算知P(B)=L運用貝葉斯公式

12

]_]_

…)=二率」

11P(B)12

12

第8頁，一共99頁

44.一箱產品100件,其次品個數從0到2是等可能的，開箱磨練時，從中隨機地抽取10件，假如發(fā)明有次品.

則以為該箱產品不合請求而拒收，若已知該箱產品已經由過程驗收，求個中確切沒有次品的概率.

解設事宜可表示一箱中有，件次品,i=0,1,2.B表示“抽取的10件中無次品”，先盤算尸(8)

P(B)=J尸(4)尸(BIA)=1x(l+>+盧)

1=0100100

P(A\B)=—?—=0.37

。3P(8)

45.設一條蟲笏臨盆n個卵的概率為

p=——e->-H=0,1,2,

nn!

個中>>0,又設一個蟲卵能孵化為蟲笏的概率等于M0Vp<l)?假如卵的孵化是互相自力的,問此蟲的

下一代有k條蟲的概率是若干？

解設事宜A="一個蟲產下幾個卵”，“=0,1,2….4="該蟲下一代有％條蟲”水=0,1,….依題意

nK

P(A)=p=—e-九

nnY\.!

0k>n

P(BIA)=《

k"pkqn-k0<k<n

個中q=I-p.運用基'概率公式有

P(B)=Z?(A)P(B\A)=ZP(A)P(BIA)

knknnkn

；i=0n=k

￥~n\

=乙」--e-%--------pkC/n-k

n\k\(n-kY

n=l

@p)k?X@q)n-k

k\(〃一)！

n=k

因為=Z(九4)=eM，所以有

(n-k)!

n=k，“(i”

尸巴)=用3一-率"，A=0,1.2,…

習題二

1.已知隨機變量X屈服0—1散布，并且P{XW0}=0.2,求X的概率散布.

解X只取0與1兩個值,P{X=O}=尸{XWO}—P{XVO}=0.2,P{X=1}=1-P{X=O}=0.8.

2.一箱產品20件,個中有5件優(yōu)質品,不放回地抽取，每次一件.共抽取兩次，求取到的優(yōu)質品件數X的概率散

布.

解X可以取0,1,2三個值.由古典概型公式可知

p{x=m=0,1,2)

C2

20

依次盤算得X的概率散布如下表所示：

第9頁，-共99頁

X012

21152

P

383838

3.上題中若采用反復抽取，其他前提不變.設抽取的兩件產品中.優(yōu)質品為X件，求隨機變量X的概率散布.

解X的取值仍是0,1,2.每次抽取一件取到優(yōu)質品的概率是1/4,取到非優(yōu)質品的概率是3/4,且各次抽取成果

互不影響，運用伯努利公式有

4.第2題中若改為反復抽取,每次一件,直到取得優(yōu)質品為止.求抽取次數X的概率散布.

解X可以取1,2,…可列個值.且事宜{X=〃}表示抽取"次，前〃一1次均未取到優(yōu)質品且第〃次取到優(yōu)質品,

其概率為是以X的概率散布為

尸{x=”}=；gjj%=1,2,…

5.盒內有12個乒乓球，個中9個是新球,3個為舊球，采取不放回抽取,每次一個直到取得新球為止，求下列隨

機變量的概率散布.

(1)抽取次數X;

(2)取到的舊球個數F.

解(1)X可以取1,2,3,4各值.

p{x=\}=-p{x=2}=2x2=2

4121144

ccy3299

PkX=3)=—x-x—=------

121110220

.132191

iLXv-4J-x1xx—

1211109220

(2)丫可以取0,1,2,3各值.

尸{y=()}=p{x=l}=-

4

p{y=l}=尸{x=2}=—

44

p{y=2}=尸{x=3}=--

220

p{y=3}=p{x=4}=—

220

6.上題盒中球的構成不變，若一次掏出3個，求取到的新球數量X的概率散布.

解X可以取0,1,2,3各值.

第10頁，-共99頁

p1%=0}=

C3220

12

PG=I}=C1C227

，93-

220

12

P{x=2}=C1C\108

八cJ84

rlA=3f=-9-=---

C3220

7.已知P{X=n}=pn,n=\y2,3,求p的值.

解依據zp{x=〃}=1,有

"=1

i=XP“=q

"=l1-p

解上面關于p的方程，得p=05

8.已知P{X=〃}=p%"=2,4,6,…，求p的值.

解02+04+06+…=-=1

1-p2

解方程，得p=土行/2

9.已知P{X=〃}=cn,〃=l,2,...,100,求c的值.

解l=Bc〃=c(1+2+...+100)=5050。

解得c=1/5050.

10.假如。“=5_2,〃=1,2”..,問它是否能成為一個離散型概率散布,為什么？

解￡p=cS—,因為級數苫，收斂，若記苫-!-=。,只要取c=L則有X。=1,且p>0.所以它可所以一

?=>",T〃2,=/2g〃2ag"

個離散型概率散布.

11.隨機變量X只取1,2,3共三個值,其取各個值的概率均大于零且不相等并又構成等差數列，求X的概率

散布.

解設P{X=2}=a,P{X=l}=a-d,P{X^3}^a+d.由概率函數的和為1,可知“=；,但是a~d與a+d均需大于

零，

是以111V1,X的概率散布為

3

X123

1L+d

P--d

333

個中d應知足前提：0VIdI<1

3

第11頁，-共99頁

12.已知p{x=/n}=旦底-入?tn=1,2,…,且A>0,求常數c.

m!

解i=￡〃{x=加}=￡史晨一人

tn!

m=lm=l

因為￡鼠=l+￡%"=e%,所以有

m!m!

〃】=0/n=l

Z-入=c(e入-l)e-1=c(l—e-入)=1

m!

m=l

解得c=_L

1—e-九

13.甲.乙二人輪流投籃,甲先開端.直到有一人投中為止.假定甲.乙二人投籃的射中率分離為0.4及05求：

(1)二人投籃總次數Z的概率散布；

(2)甲投籃次數X的概率散布；

(3)乙投籃次數丫的概率散布.

解設事宜兒表示在第i次投籃中甲投中,表示在第j次投籃中乙投中，=1,3,5,…產2,4,6,…，且與約.4.與…

互相自力.￡|

(l)pfe=2A:-l}=~B-I~BA

II24-32k-22*T

=(0.6義0.5)I?0.4

=0.4(03)<-ik=\,2,

P^Z=2k}=p(AB■-A,AB)

1v112*-32k-22k-\

=0.5X0.6X(0.6X0.5)A-I=0.3人

k=l,2,???

+p%紇…&—8j=(0.6x0.5)n-i(0.4+0.6x0.5)

=0.7x0.3?-i〃=1,2,…

(3)P{y乎}=P(A)=0.4

\p^AB...ABA}

p{y=n}=p\4B...AB

I12/i-i2n112n~l2"2n+l

=(0.6x0.5)?-ix0.6x(0.5+0.5x0.4)

=0.42x0.3n-i〃=1,2,…

14.一條公共汽車路線的兩個站之間.有四個路口處設有旌旗燈號燈.假定汽車經由每個路口時碰到綠燈可

順遂經由過程，其概率為06碰到紅燈或黃燈則停滯進步，其概率為0.4,求汽車開出站后,在第一次泊車

之前已經由過程的路口族旗燈號燈數量X的概率散布(不計其他身分泊車).

解X可以取0,1,2,3,4.

P{X=0]=0.4P{X=\}=0.6x0.4=0.24

P{X=2}=0.62x0.4=0.144

P{X=3}=0.63x0.4=0.0864

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P{X=4)=0.64=0.1296

15j、fsinx,xe［a,b］9

/(x)=lo,其他.

問人x)是否為一個概率密度函數,為什么?假如

7C3

(1)a=0,/?=—;(2)a=0,/?=7t;(3)。=冗，匕二二兀.

22

冗

解在［0,萬］與［0,兀］上,sinjCO,但是bsin尤dxw1,

注r3"

sinxdx=1,而在兀，2兀上,sinxW0.是以只有(1)中的〃，〃可以使/(x)是一個概率密度函數.

16./(x)=.fe-",40，

0,x<0.

個中c>0,問/)是否為密度函數，為什么？

解易見對任何XG(—8,+00),y(x),o,又

f+9-e_2c(lr=1

0c

/U)是一個密度函數.

2x,a<x<a+2.

17.，(x)=

0,其他.

問/(x)是否為密度函數，若是，肯定a的值;若不是，解釋來由.

解假如“X)是密度函數測/(x)》0,是以但是，當時，

f?+22xdx=X21?+2=4a+4>4

因為//(x)dx不是1,是以f(x)不是密度函數.

—00

國設隨機變量*?/。)

---1---.”X<+8,

/(X)=<7t(l+X2)

0,其他.

肯定常數a的值，假如P{a<x<h]=0.5,求h的值.

解p―Z—dA=-arctanxparctana)

?7C(1+X2)7C0712

解方程2arctan(7^=1

得a=0

第13頁，-共99頁

P{(Xx<b)=\bf(x)dr=-arctanxb=-arctanb

o兀071

解關于。的方程：

2

-arctan/?=0.5

Tt

得b=l.

19.某種電子元件的壽命X是隨機變量，概率密度為

/(X)=<X2

0,x<100.

3個這種元件串聯(lián)在一個線路中,盤算這3個元件運用了150小時后仍能使線路正常工作的概率.

解串聯(lián)線路正常工作的充分必要前提是3個元件都能正常工作.而三個元件的壽命是三個互相自力同散布

的隨機變量,是以若用事宜4表示“線路正常工作”，則

P(A)=[P(X>150)]3

p{x>15o}=J+/—dx=-

150X23

Q

P")==

27

20.設隨機變量X?/。)/(無)=4已叫肯定系數4;盤算夕{比1<1}.

解1=J+8Ae-iAidx=24J+ge-xdx=2A

—000

解得A=J

2

p{lXI<l}=f,-e-ixidr=f'e-Adx

-i2o

=1-e-i?0.632

21.設隨機變量y屈服[0,5]上的平均散布.求關于x的二次方程4m+4xy+y+2=0有實數根的概率.

解4X2+4XY+Y+2=0.有實根的充分必要前提是

△=te-4ac=16/2-16(X4-2)=16/2-16^-325:0

設事宜P(A)為0求概率.則

P(A)=PM6y2-16K-32>0>=P{y>21+P{/<-1}

=0.6

22.設隨機變量X?/(x),

/c,Ix1<1,

/W=W1-X2

.0,其他.

肯定常數c,盤算戶卜XIV；1.

解l=p,--dx=carcsinxb=CTI

-14172

第14頁，-共99頁

P\IXl<—>=J2-dx=—arcsinx2=—

I2J-；7T\'l-X2兀Q3

23.設隨機變量X的戢布函數F(x)為

0,x<0,

F(x)=<A^x,0<X<1,

1,x>1.

肯定系數A,盤算P{O<X<0.25}，求概率密度/(x).

解持續(xù)型隨機變量X的散布函數是持續(xù)函數，F(xiàn)(1)=

尸(1一0),有4=1.

1

0cxVI,

f(x)=-2、/7’

0,其他.

P{()4X40.25}=尸(0.25)-尸(0)=0.5

24.求第20題中X的散布函數/(x).

解F(x)=p{x}=k'"d當fWO時，

-002

尸(%)=卜—eidt=-ev

22

當>0時，

F(x)=JvL-i”d/=Jo—e-rdr+p-ie-rdr

-82-?202

11“X11

=一+—(1—e-v)=1——e-x

222

25.函數(1+X2)_可否為持續(xù)型隨機變量的散布函數，為什么？

解不能是散布函數，因F(-oo)=1*0.

26.隨機變量X?以x)，并且八x)=——-——，肯定a的值;求散布函數F(x):盤算P{lXIVI}.

(1+X2)

ft?1=f+”---adx=-arctan-a

-B(1+X2)

是以a=1

F(x)=f*----!----dr=—arctant\v

y(1+Z2)I”

11

=一+—arctanx

2

P{|XI<1}=(1——--dx=2fi.——1——dr

-1(1+X2)%(1+X2)

第15頁，-共99頁

2i1

=—arctan川i=—

7CI。2

27.隨機變量X的散布函數尸（無）為:

0,x<2.

肯定常數A的值.盤算尸{()4XW4}.

解由尸(2+0)=/(2),可得

A

1一一=0,A=4

4

p(o<X<4}=p{o<X<4}=F(4)-F(0)

=0.75

A

28.隨機變量X?以x)/(x)=--，肯定A的值;求散布函數F(x).

+e-x

解1=>——-——dx=———dx

-?e.r+e-x-a1+C2x

兀，

=Aarctane、卜——A

2

是以A=2,

兀

f22

F(x)=J'---------dr=-arctan

-x%(er+e-J)7T

2

=—arctane》

兀

29.隨機變量X-/(x),

f2x

/(4)={712'0<X<67

l。，

期她.

肯定。的值并求散布函數/（x）.

解1="泣=耳=竺

0712712Io兀2

是以=兀

當0VxV兀時，

2/X2

r(x)Jf—dr=—

0兀27T2

第16頁，-共99頁

0,x<0

「(%)=]=，0<x<

2

1,X>

30.隨機變量X的散布函數為

0,x<Q

尸(X)={a2X2+2ax+2