空間幾何體的表面積與體積8大題型

空間幾何體的表面積與體積8大題型

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與斜二測畫法是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和

體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。幾何體的表面積與體積與多個(gè)結(jié)合體結(jié)合是主要的命

題形式，有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時(shí)結(jié)合

面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想?？忌趶?fù)習(xí)時(shí)，不僅要對空間幾何

體的基本結(jié)構(gòu)了如指掌，還應(yīng)加強(qiáng)幾何體表面積和體積的多種方法訓(xùn)練。

j---------------------------------—

滿分技巧

一、立體圖形的直觀圖的畫法

斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.

(1)"斜"：在已知圖形的%0y平面內(nèi)與x軸垂直的線段,在直觀圖中均與%'軸承

45°或135°

(2)"二測"：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于，軸或/軸的線段長度不變；

平行于y'軸的長度變成原來的一半.

二,常見幾何體的外接球

1、長方體的外接球：長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a.h,c,外接球的

半徑為R,

貝?。?y/a2+b2+c2

2、正方體的外接球：正方體的棱長為a,外接球半徑為R,則2R=V3a

長方體的外接球正方體的外接球

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)

4、正棱錐的外接球：正棱推頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的外心，球心在高

線上。

V-6a

（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長a,外接球的半徑R=4

V-2

2a

（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長為a,外接球半徑R=

三、能補(bǔ)形為長方體的類型

1、墻角模型：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2尺）2=/+〃+/,即

2R=yla2+b2+c2,求出R

【補(bǔ)充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉月需

2、對棱相等：對棱相等指四面體的三組對棱分別對應(yīng)相等，且這三組對棱構(gòu)成

長方體的三組對面的對角線。

推導(dǎo)過程:三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等（AB=CD,AD=BC,

AC=BD)

第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；

第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為仇。，

AD=BC=xfAB=CD=y,AC=BD=z,

列方程組,

2222

/+,2=y2n（2R）=a+b+c=」士，士三

補(bǔ)充：VA_BCD=abc——abcx4=-abc

第三步：根據(jù)墻角模型，2R-^a2+b2+c2=+Z

四、最短路徑問題解題思路

1、解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開成平面

2、方法總結(jié)：解決空間幾何體表面最短路徑問題關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即

把立體圖形沿著某一條直線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題之后，借助"兩點(diǎn)之間，線段

最短"，構(gòu)造三角形，借助解三角形的方法求解。

熱點(diǎn)題型解讀

題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型5空間幾何體中的最短路徑

題型2空間幾何體的表面積題型6空間幾何體的外接球

空間幾何體的

表面積與體積

題型3空間幾何體的體積題型7空間幾何體的內(nèi)切球

題型4斜二測畫法及應(yīng)用題型8空間幾何體的截面問題

【題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】

【例11（2022.全國.高三專題練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題為（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐

B.底面是矩形的平行六面體是長方體

C.直四棱柱是直平行六面體

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

【變式2]（2023.重慶沙坪壩.重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知〃：“四棱柱

A8C0-A8CQ是正棱柱”，q-“四棱柱鉆8-ABQQ的底面和側(cè)面都是矩形”,

則〃是夕的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充

分也不必要

【變式1-2]（2023秋?浙江杭州?高三浙江省桐廬中學(xué)期末）（多選）下列命題正

確的是（）

A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

B.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形

C.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

D.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

【變式1-3]（2023安徽淮北統(tǒng)考一模）如圖所示,在三棱臺(tái)ARC-ABC中，沿

平面KBC截去三棱錐ABC,則剩余的部分是（）

A.三棱錐B.四棱錐C.三棱柱D.組合體

【變式1-4]（2022?全國.高三專題練習(xí)）正方體ABCD-AECQ中，用平行于A4

的截面將正方體截成兩部分，則所截得的兩個(gè)幾何體不可能是（）

A.兩個(gè)三棱柱B.兩個(gè)四棱臺(tái)C.兩個(gè)四棱柱D.一個(gè)三棱柱

和一個(gè)五棱柱

【題型2空間幾何體的表面積】

［例2］（2023?云南曲靖?統(tǒng)考一模）如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外

形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m,底面直徑和球的直

徑都是0.6m,現(xiàn)對這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂

膠（）克（精確到個(gè)位數(shù)）

A.176B.207C.239D.270

【變式2-1］（2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模）河南博物院主展館的主體建筑以元代登

封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成'戴冠的金字塔'造型，冠部為“方斗”形，

上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意.冠部以及冠部下方均可視為正四棱

臺(tái).已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為1：4，高為2,體積為三，

則該“方斗”的側(cè)面積為（）

A.24B.12C.24x/5D.12所

【變式2-2］（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看

作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABbE和四邊形DCFE

是兩個(gè)全等的等腰梯形，AB//CD//EF，一和陽C是兩個(gè)全等的正三角形.已

知該多面體的棱與平面A3CO所成的角為45。，A8=20,BC=10，則該屋頂

圖2

A.100B.10()73C.200D.200^

【變式2-3】（2023?湖北武漢統(tǒng)考模擬預(yù)測）某車間需要對一個(gè)圓柱形工件進(jìn)行

加工，該工件底面半徑15cm,高10cm,加工方法為在底面中心處打一個(gè)半徑為

rem且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則一

的值應(yīng)設(shè)計(jì)為（）

A.VlOB.V15C.4D.5

【變式2-4］（2023春?江蘇常州?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正三棱柱ABC-

與以A8C的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側(cè)面積的比

值為（）

A.1B,-C.1D.2

2兀2

【題型3空間幾何體的體積】

［例3］（2023春?天津?yàn)I海新?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知A,8,C是半徑為近

的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=G,BC=1,則三棱錐O-A8C的體積

為（）

A.正B.1C.漁D.巫

6262

【變式3-1】（2023.全國.模擬預(yù)測）如圖1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國

現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一

個(gè)正四棱錐，如圖2,已知正四棱錐P-回。的高為4.87m,其側(cè)棱與高的夾角

為45°,則該正四棱推的體積約為（）（4.87、115.5）

A.231m3B.179m3C.154m3D.77m3

【變式3-2］（2023.全國.模擬預(yù)測）如圖，已知四棱柱ABCD-AMCQ的體積為V,

四邊形ABC。為平行四邊形，點(diǎn)E在CG上且CE=3四，則三棱錐?！窤DC與三

棱錐的公共部分的體積為（）

c4D-7

【變式3-3】（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）盲盒是一種深受大眾喜爰的玩具，某盲

盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本,

使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）

C*cm；512&

A.B.D.cm3

3333

【變式3-4]（2023?云南紅河?統(tǒng)考一模）如圖所示是一塊邊長為10cm的正方形

鋁片，其中陰影部分由四個(gè)全等的等腰梯形和一個(gè)正方形組成，將陰影部分裁剪

下來，并將其拼接成一個(gè)無上蓋的容器（鋁片厚度不計(jì)），則該容器的容積為（）

C.80gom3D.104石cm?

3

【題型4斜二測畫法及應(yīng)用】

【例4】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，RCOW*是一個(gè)平面圖形的直觀圖,

若=0,則這個(gè)平面圖形的面積是（)

C.2A/2D.4及

【變式4-1】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，AEC，是水平放置的△ABC的斜

二測畫法的直觀圖，其中O'C'==2O7T,J1IJAABC是（）

A.鈍角三角形B.等腰三角形，但不是直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【變式4-2】（2022.全國?高三專題練習(xí)）如圖，平行四邊形O'AB'C是水平放置的

一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中。'4=5,09=2,/AOC=30,則原圖形的面積是

)

D.572

【變式4-3】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，△0/5是水平放置的OA8的直

觀圖，A'。=6,BO=2,則線段A8的長度為（）

D.4713

【變式4-4】（2022.全國?高三專題練習(xí)）如圖，AEC表示水平放置的"C根

據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖在V軸上，8'C與V軸垂直，且8'C'=2JOABC

的邊43上的高為（）

A.yj2B.2應(yīng)C.4D.4x/2

【題型5空間幾何體中的最短路徑】

【例5】（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的高為2，底面周長為16，四邊形ACDE

為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A至!JB

的路徑中，最短路徑的長度為（）.

A.2V17B.2石C.3D.2

【變式5-1]（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖是一塊長、寬、高分別為6cm、4cm、

3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長方體的表

面到長方體上和A相對的頂點(diǎn)8處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是

C.9cmD.(3+2VF3)cm

【變式5-2]（2022.全國.高三專題練習(xí)）一豎立在水平地面上的圓錐形物體，一

只螞蟻從圓錐底面圓周上一點(diǎn)2出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到2點(diǎn)，已知圓

錐底面半徑為1,母線長為3,則螞蟻爬行的最短路徑長為（）

A.3B.3gC.兀D.2兀

【變式5-3]（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，某圓錐的高為G,底面半徑

為1,。為底面圓心,OA,0B為底面半徑，且NA08=7,M是母線PA的中點(diǎn),

則在此圓錐側(cè)面上，從M到8的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.6B.V2-1c.75D.V2+1

【變式5-4］（2022.全國.高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC-中,

M=2,AB=AC=1,/8AC=12（），點(diǎn)反尸分別是棱世困的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)E

出發(fā)，繞過三棱柱ABC-A?G的一條棱爬到點(diǎn)尸處，則這只螞蟻爬行的最短路程

【題型6空間幾何體的外接球】

［例6］（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）在三棱錐A-5co,平面AC。，平面SCO,

ACQ是以CD為斜邊的等腰直角三角形，△88為等邊三角形，AC=4,則該三

棱錐的外接球的表面積為（）

【變式6-1］（2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末）正四棱臺(tái)高為2,上下底邊長分別

為2和4,所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積為（）

A.32KB.33兀C.34兀D.35兀

【變式6-2】（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖，在四棱推S-AB8中，AD//BC,

AB=BC=CD=2,SA=4）=DS=4,P為側(cè)棱SA的中點(diǎn)，貝?。菟睦忮FP—ABC。外

接球的表面積為（）

A.12萬B.164C.20兀D.24乃

【變式6-3］（2023?廣東梅州統(tǒng)考一模K九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，

書中記載有幾何體"芻管’.現(xiàn)有一個(gè)芻普如圖所示，底面AB8為正方形，EF平

面ABC。，四邊形AW石，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，EF=；A8=2,且AE=指，

則此芻魯?shù)耐饨忧虻谋砻娣e為（)

C.68不D.727r

【變式6-4】（2023.山西臨汾.統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)?商功》提及一種稱之為“羨除”

的幾何體，劉徽對此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉月需

夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面

是平行四邊形）,其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除ABCDEF如圖所示,

底面ABC。為正方形，防=4,其余棱長為2,則羨除外接球體積與羨除體積之

A.2&兀B.gC.乎7tD.2兀

【題型7空間幾何體的內(nèi)切球】

【例7】（2023秋貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末）已知正四棱推的體積為日，則該正

四棱錐內(nèi)切球表面積的最大值為（）

【變式7-1】（2022秋.山東.高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知三棱柱

ABC-4MG中，C,C±AC,\AYBC,平面RBC,平面44出，AC=5,若該三棱

4

柱存在體積為3%的內(nèi)切球，則三棱推A-A8C體積為（）

A.12B.-4C.2D.4

【變式7-2]（2022.全國.模擬預(yù)測）已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓

錐內(nèi)切球的表面積為12萬，則該圓錐的體積為（）

A.4萬B.4c兀C.9島D.12岳

【變式7-3]（2022秋?北京昌平?高三昌平一中?？茧A段練習(xí)）古希臘阿基米德被

稱為“數(shù)學(xué)之神”.在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球，這個(gè)球的

直徑恰好等于圓柱的高，則球的表面積與圓柱的表面積的比值為（）

Bc

A.?-t-iD-i

【變式7-4]（2023.全國.校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在

半徑為2的球的。球面上，底面他C是邊長為3的等邊三角形.若三棱錐P-

ABC的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為「，則『=（）

A.lB.回C-Dg）

4214

【變式7-5]（2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓

臺(tái)的內(nèi)切球。與圓臺(tái)側(cè)面相切的切點(diǎn)位于圓臺(tái)高的I處，若圓臺(tái)的上底面半徑為

出，則球的體積為.

【變式7-6】（2023?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）古希臘偉大的數(shù)學(xué)家

阿基米德（公元前287~公元前212）出生于敘拉古城，在其輝煌的職業(yè)生涯中，

最令他引以為傲的是記錄在《論球和圓柱》中提到的：假設(shè)一個(gè)圓柱外切于一個(gè)

3

球，則圓柱的體積和表面積都等于球的一倍半（即5）.現(xiàn)有球。與圓柱的

側(cè)面與上下底面均相切（如圖），若圓柱又是球的內(nèi)接圓柱，設(shè)球，圓

柱。?的表面積分別為5，邑，體積分別為匕M,則與：邑=；V,：v2=

【題型8空間幾何體的截面問題】

［例8］（2023?江西上饒?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）用一平面去截一長方體,則截面

的形狀不可能是（）

A,四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

【變式8-1】（2023湖南?模擬預(yù)測）已知三棱錐P-,。為BC中點(diǎn)，

PB=PC=AB=BC=AC=2，側(cè)面P8C1底面ABC,貝I」過點(diǎn)。的平面截該三棱錐夕卜

接球所得截面面積的取值范圍為（）

A.兀B,C,?,2兀D.［兀,2兀］

3233L1

【變式8-212023?全國?模擬預(yù)測）已知球。中有兩個(gè)半徑為2的截面圓。一Q,

_..27r

圓。與圓。2的相交弦4?=2,AB的中點(diǎn)為P,若卬股=可，則球。的表面

積為（）

A.26兀B.3071C.40兀D.52兀

【變式8-3］（2023春?浙江紹興?高三統(tǒng)考開學(xué)考試底正棱臺(tái)A8CO-AACQ中,

4?=2A4，M=百,知為棱的中點(diǎn).當(dāng)四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該四棱

臺(tái)的截面面積是（）

A.述B.3亞C.孚D.6人

42

【變式8-4］（2022秋?安徽合肥?高三統(tǒng)考期末）已知正方體ABC。-A4GA的棱

長為2,M、N分別為44、的中點(diǎn)，過M、N的平面所得截面為四邊形，

則該截面最大面積為（）

A.20B.26c.通D.I

22

【變式8-5】（2023秋?貴州銅仁高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐A-88中,平

面A3￡）_L平面CBO,AB=3C=C￡）=AD=3￡>=6,點(diǎn)M在AC上，AM=2MC,

點(diǎn)M作三棱錐A-B8外接球的截面，則截面圓周長的最小值為（）

A.127tB.10nC.87rD.4小

限時(shí)檢測

（建議用時(shí)：60分鐘）

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面

B.在圓臺(tái)的上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則兩點(diǎn)的連線就是圓臺(tái)的母線

C.圓臺(tái)的任意兩條母線延長后相交于同一點(diǎn)

D.圓錐的母線可能平行

2.（2022.全國?高三專題練習(xí)）如圖,水平放置的4?C的斜二測直觀圖是圖中的

ABV,若AC=2,A^=2,貝!]的面積為（）

A.2^2B.472C.8D.8&

3.（2023秋?廣東清遠(yuǎn)?高三統(tǒng)考期末）在三棱錐A-灰刀中，“三棱錐A-3。為

正三棱錐”是“鉆，CO且AC18D”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022秋?安徽六安?高三六安一中?？茧A段練習(xí)）一個(gè)水平放置的平面圖形,

用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正

方形，則原平面圖形的面積為（）

A.41B.4夜C.8D.8>/2

5.（2023春?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡

之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃

金比例，即比值約為與1,則它的側(cè)棱與底面所成角的正切直約為（）

A屈-五B--1C―+1D回+6

'2'2'2'

6.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考一模）已知菱形ABC。的各邊長為2,48=60。.將一ABC沿

AC折起，折起后記點(diǎn)8為P,連接PD,得到三棱錐P-A8,如圖所示，當(dāng)三

棱錐P-ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P-A8的外接球體積為（）

A.—nB,—nC.2&D.逑兀

333

7.（2023秋?浙江紹興?高三統(tǒng)考期末）在四棱錐E-A88中，正方形ABC。所在

平面與皿所在平面相互垂直，AEJ.BE,F為EC上一點(diǎn)，且出FEC,。為正方形

4

ABCD的中心，四棱錐E-MCZ）體積的最大值為］,貝U三棱錐。一成戶的夕卜接球

的表面積為（）

E

A.3兀B.4兀C.5TID.6兀

8.（2023?福建漳州?統(tǒng)考二模）已知某圓錐的底面半徑為1,高為百，則它的側(cè)

面積與底面積之比為（）

A.yB.1C.2D.4

9.（2022秋?天津南開?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）用底面半徑為3cm的圓柱形木料車出

7個(gè)球形木珠，木珠的直徑與圓柱形木料的高相同.下料方法:相鄰的木珠相切，

與圓柱側(cè)面接觸的6個(gè)木珠與側(cè)面相切，如圖所示是平行于底面且過圓柱母線中

點(diǎn)的截面.則7個(gè)木珠的體積之和與圓柱形木料體積之比為（）.

10.（2023秋?天津南開?高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)正四棱柱所有棱

長均為3,若該正四棱柱內(nèi)接于半球體，即正四棱柱的上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球面

上，下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在半球體的底面圓內(nèi)，則半球體的體積為（）.

A.生色兀B.54拒KC.27娓KD.276兀

2

11.（2023秋?江蘇南通高三統(tǒng)考期末）在《九章算術(shù)?商功》中將正四面形棱臺(tái)

體（棱臺(tái)的上、下底面均為正方形）稱為方亭在方亭ABCD-AAGR中，

A8=2Ag=4,方亭的體積為『,則側(cè)面的面積為（）

A.3亞B.V7C.2x/2D.3而

12.（2023春湖北襄陽?高三襄陽市襄州區(qū)第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，已

知四面體ABCDdp,AB=AC=BD=CD=2y/2,AD=BC=2,E,F分另（J是AD,BC的中

點(diǎn).若用一個(gè)與直線EE垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面a去截該四面

體,由此得到一個(gè)多邊形截面很1］該多邊形截面面積的最大值為（)

13.（2023春?河南濮陽?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓柱的下底面圓。2的內(nèi)接

正三角形ABC的邊長為6,P為圓柱上底面圓。上任意一點(diǎn)，若三棱錐他。

的體積為126,則圓柱0a的外接球的表面積為（）

A.367rB.647rC.1447tD.252兀

14.（2023秋?山東泰安?高三統(tǒng)考期末）在軸截面頂角為直角的圓錐內(nèi)，作一內(nèi)

接圓柱，若圓柱的表面積等于圓錐的側(cè)面積，則圓柱的底面半徑與圓錐的底面半

徑的比值為（）

A/B.日C.1D.孝

15.（2023秋?河北保定?高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐ABC的所有棱長均為2,

以BD為直徑的球面與ABC的交線為L,則交線L的長度為（）

A2y/3itB4也怎c2"?？?后兀

'9'9'9'9

16（2023春?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)應(yīng)四面體PA3C中，必，至，

PAA.AC,N84C=120。，AB=AC=AP=2，則該四面體的夕卜接球的表面積為（）

A.12KB.16KC.187：D,207r

17.（2023?貴州畢節(jié)統(tǒng)考一模）正方體ABCO-ABCa的棱長為夜，點(diǎn)加為A田

的中點(diǎn)，一只螞蟻從〃點(diǎn)出發(fā)，沿著正方體表面爬行，每個(gè)面只經(jīng)過一次，最

后回到M點(diǎn).若在爬行過程中任意時(shí)刻停下來的點(diǎn)與M點(diǎn)的連線都與AG垂直,

則爬行的總路程為（）

D.3

18.（2023.廣東深圳.統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)棱長1分米的正方體形封閉容器中盛

有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍

19.（2023.湖南?模擬預(yù)測）在三棱錐A-中，A3」平面BC。，

BCLCD,CD=2AB=2BC=4,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積與三棱推

A-B8的體積之比為（）

A.B.乎C.2兀D.9兀

42

20.（2023安徽合肥統(tǒng)考一模）已知正方體ABCO-ABCP的棱長為4,M,N

分別是側(cè)面3和側(cè)面8G的中心，過點(diǎn)M的平面”與直線N。垂直，平面a截

正方體AC所得的截面記為S,則S的面積為（）

A.B.46C.7瓜D.9"

熱點(diǎn)7-1空間幾何體的表面積與體積8大題型

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與斜二測畫法是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和

體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。幾何體的表面積與體積與多個(gè)結(jié)合體結(jié)合是主要的命

題形式，有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時(shí)結(jié)合

面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想?？忌趶?fù)習(xí)時(shí)，不僅要對空間幾何

體的基本結(jié)構(gòu)了如指掌，還應(yīng)加強(qiáng)幾何體表面積和體積的多種方法訓(xùn)練。

j---------------------------------—

滿分技巧

一、立體圖形的直觀圖的畫法

斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖.

(1)"斜"：在已知圖形的%0y平面內(nèi)與x軸垂直的線段,在直觀圖中均與%'軸承

45°或135°

(2)"二測"：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于，軸或/軸的線段長度不變；

平行于y'軸的長度變成原來的一半.

二,常見幾何體的外接球

1、長方體的外接球：長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a.h,c,外接球的

半徑為R,

貝?。?y/a2+b2+c2

2、正方體的外接球：正方體的棱長為a,外接球半徑為R,則2R=V3a

長方體的外接球正方體的外接球

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)

4、正棱錐的外接球：正棱推頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的外心，球心在高

線上。

V-6a

（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長a,外接球的半徑R=4

V-2

2a

（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長為a,外接球半徑R=

三、能補(bǔ)形為長方體的類型

1、墻角模型：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2尺）2=/+〃+/,即

2R=yla2+b2+c2,求出R

【補(bǔ)充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉月需

2、對棱相等：對棱相等指四面體的三組對棱分別對應(yīng)相等，且這三組對棱構(gòu)成

長方體的三組對面的對角線。

推導(dǎo)過程:三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等（AB=CD,AD=BC,

AC=BD)

第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；

第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為仇。，

AD=BC=xfAB=CD=y,AC=BD=z,

列方程組,

2222

/+,2=y2n（2R）=a+b+c=」士，士三

補(bǔ)充：VA_BCD=abc——abcx4=-abc

第三步：根據(jù)墻角模型，2R-^a2+b2+c2=+Z

四、最短路徑問題解題思路

1、解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開成平面

2、方法總結(jié)：解決空間幾何體表面最短路徑問題關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即

把立體圖形沿著某一條直線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題之后，借助"兩點(diǎn)之間，線段

最短"，構(gòu)造三角形，借助解三角形的方法求解。

熱點(diǎn)題型解讀

題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型5空間幾何體中的最短路徑

題型2空間幾何體的表面積題型6空間幾何體的外接球

空間幾何體的

表面積與體積

題型3空間幾何體的體積題型7空間幾何體的內(nèi)切球

題型4斜二測畫法及應(yīng)用題型8空間幾何體的截面問題

【題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】

【例11（2022.全國.高三專題練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題為（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐

B.底面是矩形的平行六面體是長方體

C.直四棱柱是直平行六面體

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)

【答案】D

【解析】A中，如圖，若AD=BD=AC=BC,且AOwDC,

則該三棱錐不是正三棱錐，A是假命題；

B中，平行六面體中側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，B是假命題；

C中，直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，

故直四棱柱不一定是直平行六面體，C是假命題；

D中，根據(jù)棱臺(tái)的定義，D是真命題.故選：D

【變式1-1】（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知"："四棱柱

ABCO-AMCQ是正棱柱”，q:“四棱柱鉆。-AACQ的底面和側(cè)面都是矩形”,

則〃是4的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充

分也不必要

【答案】A

【解析】當(dāng)四棱柱AB。-ABCQ是正棱柱時(shí)，其底面為正方形，側(cè)面為矩形，

即2是4的充分條件；

當(dāng)四棱柱ABCD-4禺CQ的底面和側(cè)面都是矩形時(shí)，底面不一定是正方

形，

故四棱柱ABCD-AfCQ不一定是正棱柱，

故?不是夕的必要條件，則?是夕的充分不必要條件，故選：A

【變式1-2］（2023秋?浙江杭州?高三浙江省桐廬中學(xué)期末）（多選）下列命題正

確的是（）

A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

B.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形

C.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

D.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

【答案】BD

【解析】對A,棱臺(tái)指f棱錐被平行于它的底面的一個(gè)平面所截后，

截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)棱延長線需要交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對B,棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；

對C,用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯(cuò)誤；

對D,棱柱的面中，至少上下兩個(gè)面互相平行，故D正確；故選：BD

【變式1-3]（2023.安徽淮北.統(tǒng)考一模）如圖所示，在三棱臺(tái)Od-ABC中,沿

平面A'BC截去三棱錐ABC,則剩余的部分是（）

A.三棱錐B.四棱錐C.三棱柱D.組合體

【答案】B

【解析】三棱臺(tái)A'8'C'-A8C中，沿平面48c截去三棱推,

剩余的部分是以4為頂點(diǎn)，四邊形BCC'B'為底面的四棱錐A-3CC?教

選：B.

【變式1-4]（2022.全國?高三專題練習(xí)）正方體"CO-A4CQ中,用平行于4瓦

的截面將正方體截成兩部分，則所截得的兩個(gè)幾何體不可能是（）

A.兩個(gè)三棱柱B.兩個(gè)四棱臺(tái)C.兩個(gè)四棱柱D.一個(gè)三棱柱

和一個(gè)五棱柱

【答案】B

【解析】在正方體AB。-ABCQ中，連接觸,明，

因?yàn)锳BJ/CQ,4由a平面4。。田，GRu平面ARGB,

所以44〃平面ADC/,則截面ADC/把正方體截成兩個(gè)三棱柱；

分別取AA，4G，陰，小的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G,",連接EF,FG,GH,HE,

則可得EF//A圈//G",又￡Fu平面EFG”,人田仁平面EFG”,

AA耳〃平面EFG”,則截面EFG”把正方體截成一個(gè)三棱柱和一個(gè)五棱

柱；

分別在BC,AD上取點(diǎn)M,N使MB=；BC，NA=：AD,

同理可得平面EFMN,則截面EFMN把正方體截成兩個(gè)四棱柱；

不存在平行于A聲的截面將正方體截成兩個(gè)四棱臺(tái).故選：B.

【題型2空間幾何體的表面積】

［例2］（2023.云南曲靖.統(tǒng)考一模）如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外

形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m,底面直徑和球的直

徑都是0.6m,現(xiàn)對這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂

膠（）克（精確到個(gè)位數(shù)）

C.239D.270

【答案】B

【解析】由已知得圓錐的母線長1=由已+0.4?=0.5,

所以臺(tái)燈表面積為S=nrl+2nr2=7tx0.3x0.5+27tx0.32=0.33兀,

需要涂膠的重量為033兀x200=66兀a66x3.14=207.247207（克），故選：

B.

【變式2-1】（2023河南鄭州統(tǒng)考一模）河南博物院主展館的主體建筑以元代登

封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，

上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意.冠部以及冠部下方均可視為正四棱

臺(tái).已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為1：4，高為2,體積為三，

則該“方斗”的側(cè)面積為（）

A.24B.12C.24不D.12小

【答案】D

【解析】由題意可知，記正四棱臺(tái)為,其底面為正方形,

側(cè)面為四個(gè)等腰梯形，把該四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐如圖，

p

設(shè)M是底面ABCD±AC與8D的交點(diǎn)，N是底面AgCQ上AG與BR的

交點(diǎn)

則PM是正四棱推P-ABCC的高，MN為正四棱臺(tái)ABCD-A耳CQ的高,

設(shè)A4="，AB=b,則上、下底面的面積分別為a?、從，

由題意/：〃=1:4,所以b=2a,

在，9中，會(huì)=嚕="所以A為相的中點(diǎn)，

1A/\DZ

在"中，魯=鑒=；，所以MN=1M=2，所以必/=4,

PAPM22

又％c/fB1c附=gx（/+ax6+/）x2=*=m,解得a=2,匕=4,

所以E4=JP“+AM2=也2+（2揚(yáng)2=2",

所以側(cè)棱長4A是后,由勾股定理可得側(cè)面的高為〃=J（病2-F=6,

所以側(cè)面積為S=4xgx（2+4）*石=12后故選：D

【變式2-2】（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看

作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形A3正和四邊形DCFE

是兩個(gè)全等的等腰梯形，AB//CD//EF,￡AD和陽C是兩個(gè)全等的正三角形.已

知該多面體的棱引7與平面A8CD所成的角為45。，A8=20,BC=10，則該屋頂

A.100B.IOOGC.200D.200^3

【答案】D

【解析】如圖，過點(diǎn)F作平面A8CO,0為垂足，

作小，他于點(diǎn)N,連接OB,ON,則“30=45°,

因?yàn)镕。，平面ABCD,。8,ONu平面ABCD,

所以尸O_L08,F0JLON,

易知3尸=10,：.OF=OB=5y/2.

在直角三角形"W中，易知0N=/C=5，:.FN=5上,

二在直角三角形F8/V中,BN=5,

，￡^=20—2x5=10,二S梯彩枷￡=gx(10+20)x5G=75G,

S?BC=￥x1O。=256,

,該屋頂?shù)谋砻娣e為2x(756+25@=200打，故選：D.

【變式2-3】（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某車間需要對一個(gè)圓柱形工件進(jìn)行

加工，該工件底面半徑15cm,高10cm,加工方法為在底面中心處打一個(gè)半徑為

rem且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r

的值應(yīng)設(shè)計(jì)為（）

A.MB.V15C.4D.5

【答案】D

【解析】大圓柱表面積為2x15?7r+10x2xl57r=750n

小圓柱側(cè)面積為10x2口，上下底面積為2兀戶

所以加工后物件的表面積為750兀+20兀-2兀/，當(dāng)r=5時(shí)表面積最大.故

選：D

【變式2-4]（2023春?江蘇常州?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正三棱柱ABC-ASG

與以的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側(cè)面積的比

值為（）

A.JB.-C.1D.2

2兀2

【答案】D

【解析】設(shè)一的邊長為J外接圓半徑為『，例=〃，

由正弦定理得近，則「=冬，九Cie,,爭=￥"%,

2

1a4兀

設(shè)圓柱的高為〃，丫酶=5/?！?父4",:,b=-^-j=h,

4兀

正三棱柱的側(cè)面積5雌=3他=3〃1萬/2,圓柱的側(cè)面積S髀

=2Ttrh=2n--ah,

3

3a.與h

正三棱柱與圓柱的側(cè)面積的比值為一差一=2,故選：D.

In-^a-h

3

【題型3空間幾何體的體積】

[例3]（2023春?天津?yàn)I海新?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知A,8,。是半徑為右

的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC_LBC,AC=BC=1,則三棱錐。-ABC的體積

為（）

A.正B.顯C."D.也

6262

【答案】A

【解析】由題意，BA=2,設(shè)AB中點(diǎn)為。，

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得4）=BD=CD=1,

則。。，他（三線合一），根據(jù)勾股定理，OD=而二而=1,

連接8,^OC2=2=CD2+OD2,

則。DLCQ,^AB^\CD=D,A8,CDu平面ABC,（

故8,平面ABC,

即。。為三棱錐。一A8C的高,

故%-A3C=；xOOxSABc=；xlx￥=f.故選：A

【變式3-1］（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國

現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一

個(gè)正四棱錐，如圖2,已知正四棱錐P-A88的高為4.87m,其側(cè)棱與高的夾角

為45。，則該正四棱錐的體積約為（）（4.87,。115.5）

圖1圖2

A.231m3B.179m3C.154m3D.77m3

【答案】D

【解析】如圖所示：

B

設(shè)正四棱錐P-鉆8的底面邊長為am,連接AC,BD交于點(diǎn)。，連接

PO,

則P。/平面A8CD,由題可得NCPO=45。，

故PO=CO=*,所以.4=4.87,解得a=4.87x⑦,

所以該正四棱推的體積丫=%（4.87、&）14.87=m4.873=776）.故選：

D.

【變式3-2]（2023?全國.模擬預(yù)測）如圖，已知四棱柱ABCD-AMCQ的體積為V,

四邊形ABC。為平行四邊形，點(diǎn)E在CC,上且CE=3EG,則三棱推。「A。。與三

棱錐的公共部分的體積為（）

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)DE,DC交于點(diǎn)F,AC,BD交于點(diǎn)G,連接FG,

則三棱錐F-CDG就是三棱推ADC與三棱錐E-BCD的公共部

分.

因?yàn)?3明，所以篝=*4,