網(wǎng)絡(luò)的靈敏度分析

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)的靈敏度分析第1頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三概述在任何一個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，一個(gè)很重要的問題是了解由于系統(tǒng)中某一個(gè)或某些參數(shù)發(fā)生變化時(shí)對系統(tǒng)的影響。例如由于老化或制造工藝方面的原因，使系統(tǒng)元件的參數(shù)偏離標(biāo)稱值等，都是很正常的。定量描述系統(tǒng)元件參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化對系統(tǒng)性能的影響的工具之一，就是本章要講的“靈敏度分析”。第2頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三所謂系統(tǒng)的性能，就是系統(tǒng)的廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（任何一個(gè)關(guān)心的或感興趣的物理量均可稱為廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）；所謂系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)，也是廣義的，它可以是實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)，也可以是影響元件參數(shù)的某個(gè)物理量（如溫度、壓力等）；所謂“靈敏度”，就是廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)對網(wǎng)絡(luò)廣義參數(shù)變化的敏感程度。第3頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三在網(wǎng)絡(luò)的“靈敏度”分析中，自然要把廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)表為廣義網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的函數(shù)。第4頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三寫成向量形式就是我們熟悉的梯度。稱為一階微分靈敏度。第5頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三同理也由多元函數(shù)的Taylor（series）展開式得網(wǎng)絡(luò)靈敏度可分為時(shí)域靈敏度和頻域靈敏度，本章只講頻域靈敏度分析。其它靈敏度分析可以舉一反三，觸類旁通。下面介紹網(wǎng)絡(luò)靈敏度分析的具體內(nèi)容。其中H稱為Hessian矩陣，稱為二階微分靈敏度，依此類推。第6頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三§7-1靈敏度分析的意義～§7-2靈敏度分析的基本概念靈敏度的概念：任何一個(gè)系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)特性（廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)），對參數(shù)變化的敏感程度。是一個(gè)函數(shù)（全體參數(shù)的函數(shù)）。網(wǎng)絡(luò)特性（廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）：可以是任何一個(gè)感興趣的物理量。指系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)等。分析什么什么就是被賦予了特性。如u-i，ψ-i，q-u等等。第7頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（廣義）：網(wǎng)絡(luò)的元件參數(shù)：Z，Y，g，μ；物理參數(shù)：如溫度，頻率，壓力等標(biāo)稱值，實(shí)際值（老化）。例如：2002年11月驗(yàn)收的電科院高壓試實(shí)驗(yàn)室，加速老化試驗(yàn)裝置就是一個(gè)重要組成部分。（總投入資金1200萬）。若用表示任何一個(gè)系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)特性（廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)），則：代表表示系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)對任何一個(gè)參數(shù)的靈敏度。第8頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三靈敏度的定義網(wǎng)絡(luò)或系統(tǒng)的靈敏度可分為絕對靈敏度、相對靈敏度、微分靈敏度和增量靈敏度。下面給出相應(yīng)的定義。靈敏度是系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)（或設(shè)備）的個(gè)重要指標(biāo)，對網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)、分析都具有重要意義。（容差設(shè)計(jì)、調(diào)節(jié)、控制等）第9頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三(1)絕對靈敏度為比較分析不同參數(shù)的相對變化對網(wǎng)絡(luò)特性的影響，對絕對靈敏度做歸一化處理，引入相對靈敏度。(2)相對靈敏度顯然這是網(wǎng)絡(luò)特性的相對比變化量與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的相對變化量之比，是無量綱的純數(shù)?？梢杂幸韵聨追N定義方法。P281～P282(1)～(3)第10頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三上式稱為半歸一化靈敏度，例如寄生參數(shù)（特別是寄生電容和電感的高頻時(shí)的作用等）。第11頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三靈敏度的基本運(yùn)算：P283（1）～（7）第12頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三如果把廣義網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)推廣到一般意義下的變量（含狀態(tài)變量和控制變量），則可以進(jìn)行電力系統(tǒng)的靈敏度分析。在電力系統(tǒng)的規(guī)劃、設(shè)計(jì)和運(yùn)行中，有時(shí)潮流計(jì)算的結(jié)果不能滿足可靠性或經(jīng)濟(jì)性的要求，因而必須改變系統(tǒng)的某些變量以改善系統(tǒng)的潮流分布。即需要對系統(tǒng)的潮流進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和控制。4.靈敏度應(yīng)用的若干說明第13頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三在分析電力系統(tǒng)的調(diào)整問題時(shí)，總是希望知道對某些變量的調(diào)整能在多大程度上影響系統(tǒng)的運(yùn)行狀況。靈敏度分析是潮流問題的一個(gè)重要概念（華中理工大學(xué).電力系統(tǒng)分析（下）p56）。在系統(tǒng)的故障分析中也有重要應(yīng)用。詳見靈敏度分析與潮流計(jì)算(王爾智)的專著；在數(shù)學(xué)課程計(jì)算數(shù)學(xué)中的梯度和共軛梯度法是按函數(shù)最大變化率的方向搜索，實(shí)際就是按函數(shù)的最大靈敏度方向搜索。第14頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三計(jì)算靈敏度最直接的方法計(jì)算機(jī)求解很容易。如果求出T的解析表達(dá)式可以直接求導(dǎo)。第15頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+U0-R2IsR1R3解：可見靈敏度是網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的函數(shù)。對一個(gè)具體的電路網(wǎng)絡(luò)參數(shù)是給定的。例如：第16頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例7－1的計(jì)算方法太繁。下面介紹幾種工程實(shí)際中常用的靈敏度計(jì)算方法。信號流圖法（參數(shù)為網(wǎng)絡(luò)參數(shù)時(shí)，與導(dǎo)數(shù)（增量）網(wǎng)絡(luò)法相同但求解方法不同）與伴隨網(wǎng)絡(luò)法。5.信號流圖法（導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)法）的特點(diǎn)：求解一次導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)可求出一個(gè)參數(shù)變化時(shí)網(wǎng)絡(luò)中各處電壓、電流的改變量，也即各網(wǎng)絡(luò)特性的靈敏度。6.伴隨網(wǎng)絡(luò)法的特點(diǎn)：對原網(wǎng)絡(luò)只需求解一次，而每求解一次伴隨網(wǎng)絡(luò)可求出一個(gè)網(wǎng)絡(luò)特性對各個(gè)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的靈敏度。可見選哪種方法求網(wǎng)絡(luò)的靈敏度應(yīng)根據(jù)具體要求來確定。一位偉人說過：“馬克思主義的精髓和活的靈魂，就是對具體事務(wù)作具體分析。人們常說：通向羅馬的路不只一條。但有一條是捷徑。下面就一一介紹。第17頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三均為α的函數(shù)。7.用信號流圖SFG求靈敏度（如果不是關(guān)系式中出現(xiàn)x其它地方仍可用x表示參數(shù)。）第18頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三btbt所有輸入支路均按上式處理所有外施激勵(lì)輸入支路均按上式處理如圖所示（每個(gè)節(jié)點(diǎn)及其輸入均要處理）第19頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三ebfdac由對稱性得：（b）所有輸入支路分出相應(yīng)的新源點(diǎn)第20頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三ebfdacebfdac同理可得：第21頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三§7-3伴隨網(wǎng)絡(luò)法(P286)Uk+-N原Uk+-IkN原+-Uk+?UkIk+?IkUk+-+-該式我們曾在第一章給大家介紹過。由特勒根定理一些特殊的支路，以簡化靈敏度的計(jì)算。下面討論伴隨網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)。第22頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三2.線性網(wǎng)絡(luò)靈敏度的伴隨網(wǎng)絡(luò)法為分析方便，把網(wǎng)絡(luò)元件按獨(dú)立源（輸入支路）、輸出支路、R、G、L、C、CCCS、CCVS、VCVS、VCCS……把（2）式改寫成：P286(7-3-3)然后據(jù)此式構(gòu)造輸出量的全微分(增量形式)。（1）輸出支路輸出支路：規(guī)定輸出電壓以開路線取出N原?Uo+-+-1AUoN原+-第23頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三輸出支路規(guī)定：輸出電流以短路線取出N原?IoN原Io+--1V第24頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三＝0可見伴隨網(wǎng)絡(luò)中仍取R！第25頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三-+Ir1Ir2++Ur1Ur2rIr1把上述關(guān)系代入相應(yīng)的表達(dá)式，-+++令00有第26頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三可見原網(wǎng)絡(luò)中的CCVS，伴隨網(wǎng)絡(luò)中仍為的CCVS，只是受控源的位置和控制量的位置互易換位，稱為滿足相互互易性。-+++++把上述關(guān)系代入相應(yīng)的表達(dá)式，有令00第27頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三可見原網(wǎng)絡(luò)中的CCCS，伴隨網(wǎng)絡(luò)中變?yōu)榈腣CVS，滿足（受控源反號）相互互易性。同理可得原網(wǎng)絡(luò)中的VCVS，伴隨網(wǎng)絡(luò)中為的CCCS，滿足（受控源反號）相互互易性。++++++-+++可見原網(wǎng)絡(luò)中的VCCS，伴隨網(wǎng)絡(luò)中仍為的VCCS，只是受控源的位置和控制量的位置互易換位，稱為滿足相互互易性。第28頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三受控源對應(yīng)關(guān)系小結(jié)第29頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三各式中：凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電壓的為“＋”；凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電流的為“－”。（5）靈敏度計(jì)算公式第30頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三（6）理想變壓器的伴隨網(wǎng)絡(luò)仍可以用前邊講過的受控源處理，但較繁！+-+-n:1i1i2++u1u2n:1++對原網(wǎng)絡(luò)，有由（1）得化簡并略去二階偏差項(xiàng)由（2）得同理可得把（3）、（4）式代入上式化簡得令第31頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三則有（相應(yīng)的全增量表達(dá)式）（5）式就是理想變壓器變比n變化的微分靈敏度計(jì)算公式。n:1i1i2++u1u2n:1++第32頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三++-+-+MkjMkjIkIj++UkUj-+-+++Mkj++Mkj（7）互感元件伴隨網(wǎng)絡(luò)的說明第33頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三++Mkj++Mkj看成電流控制電壓源的控制系數(shù)。第34頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三例7－3求圖示電路的靈敏度解：分別求解原網(wǎng)絡(luò)和伴隨網(wǎng)絡(luò)+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo（1）確定網(wǎng)絡(luò)特性（廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）（2）構(gòu)造伴隨網(wǎng)絡(luò)Ip1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo1A+-Ub5第35頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo+-Ub5+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo伴隨網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造過程原網(wǎng)絡(luò)伴隨網(wǎng)絡(luò)1Agm

Ub51A第36頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+-USIp1G1G3+-Ub4gm

Ub4G2Ib5Ip2+-Uo（3）求解原網(wǎng)絡(luò)（4）求解伴隨網(wǎng)絡(luò)（5）按公式網(wǎng)絡(luò)待求靈敏度Ip1G1G3+-Ub4gm

Ub5G2Ib5Ip2+-Uo1A+-Ub5第37頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三R1-R1R3解：（1）用SFG法：其信號流圖如下I2R1+-U1R3Ip2+-UoISR2第38頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三R1-R1R3（2）用SFG法：其信號流圖如下R1-R1R3第39頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三R1-R1R302=??RIS第40頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三伴隨網(wǎng)絡(luò)法的步驟（1）確定原網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)特性（廣義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)）一般為輸出或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。若輸出為電壓以開路線取出，若輸出為電流以短路線取出，也即人為增加一條開路或短路的支路。NRkIo＝0+-UoNRkIo+-Uo＝0IoNRk+-UoIo第41頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三（3）求解原網(wǎng)路各支路電壓和電流（4）求解伴隨網(wǎng)路各支路電壓和電流（5）按下式(P290)：求出輸出對各網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)的靈敏度。各式中：凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電壓的為“＋”；凡出現(xiàn)伴隨網(wǎng)路電流的為“－”。求對電感和電容元件的靈敏度（T＝UO）由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得：第42頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三求對頻率ω的靈敏度由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和頻率ω與L、C的對稱性：由電感和電容的靈敏度公式得（P282）：第43頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三（6）注意事項(xiàng)伴隨網(wǎng)絡(luò)法對求一個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)對所有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的靈敏度較方便。只需要計(jì)算一次原網(wǎng)絡(luò)，每求解一次不同的伴隨網(wǎng)絡(luò)（主要區(qū)別在于輸出的位置不同，伴隨網(wǎng)絡(luò)中等效激勵(lì)的位置不同），可以得到不同的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)對所有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的靈敏度。與上述伴隨網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造相關(guān)結(jié)論（P293）把原網(wǎng)絡(luò)和伴隨網(wǎng)絡(luò)中的輸入支路和輸出支路抽出可以形成多端口網(wǎng)絡(luò)，則伴隨網(wǎng)絡(luò)與原網(wǎng)絡(luò)是相互互易的，這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)互為伴隨網(wǎng)絡(luò)。原網(wǎng)絡(luò)N與伴隨網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的開路阻抗矩陣、短路導(dǎo)納矩陣和第二類混合參數(shù)矩陣滿足下列關(guān)系第44頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三非線性電阻網(wǎng)絡(luò)靈敏度的伴隨網(wǎng)絡(luò)法設(shè)流控型非線性電阻的特性方程為設(shè)壓控型非線性電阻的特性方程為設(shè)流控型非線性電阻的參變量有一個(gè)增量則有：展成泰勒級數(shù)取一次項(xiàng)代入特勒根定理的微分形式得第45頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三為了消去，令：可見在伴隨網(wǎng)絡(luò)中，流控型非線性電阻可以用其工作點(diǎn)的小信號電阻代替，非線性原網(wǎng)絡(luò)的伴隨網(wǎng)絡(luò)是其工作點(diǎn)處的線性網(wǎng)絡(luò)。這就是流控型非線性電阻的靈敏度公式。獨(dú)立電流源－>開路，獨(dú)立電壓源－>短路；輸出電壓－>開路線取出，輸出電流－>短路線取出。同理可得壓控型非線性電阻的公式第46頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三設(shè)雙口電阻（壓控型非線性電阻）的特性為則其伴隨網(wǎng)絡(luò)為第47頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三系統(tǒng)化方法：以改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法（一個(gè)元件一條支路）為例（P295）前面介紹的伴隨網(wǎng)絡(luò)法，是一種很有效的方法，但需要畫出伴隨網(wǎng)絡(luò)，這對大型網(wǎng)絡(luò)的分析會(huì)增加很大的工作量。下面介紹不畫伴隨網(wǎng)絡(luò)直接生成伴隨網(wǎng)絡(luò)方程的方法。不失一般性，以改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)法為例。原網(wǎng)絡(luò)記為N，伴隨網(wǎng)絡(luò)記為，每個(gè)元件為一條支路（包括開路支路和短路支路）。把改進(jìn)的節(jié)點(diǎn)法方程改寫為第48頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三這在本質(zhì)上與我們講過的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法是一致的。但增加了短路支路。即AEV為獨(dú)立電壓源（無伴）、短路支路和受控電壓源（無伴）對應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣。第49頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三由以上分析可得：由以上分析可知，這種處理方法可以利用原網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算結(jié)果簡化計(jì)算（如：LU分解法，只需更換右端項(xiàng)。）第50頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三整體處理方法（以單輸入單輸出系統(tǒng)為例）N(b條支路)+-Up2Ip2+-Up1Ip1由特勒根定理得：（1）－（2）得：+-+-(b條支路)第51頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三設(shè)網(wǎng)絡(luò)N的參數(shù)發(fā)生變化，則：把帶入（4）得：令：伴隨網(wǎng)絡(luò)同理可得：可得：注意Up，Ip的參考方向！第52頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三N(b條支路)+-Up2Ip2+-Up1Ip1+-+-(b條支路)若原網(wǎng)絡(luò)中的輸出為電壓以開路線取出，則若原網(wǎng)絡(luò)中的輸入為電壓源，伴隨網(wǎng)絡(luò)中用短路線，若原網(wǎng)絡(luò)中的輸入為電流源，伴隨網(wǎng)絡(luò)中用開路線，考慮到電源一般增量為零，輸出電壓（以開路取出）輸出電流（以短路取出）。則有：第53頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三由上式很容易得到待求量的全微分→求出靈敏度。若原網(wǎng)絡(luò)中的輸出為電流以短路線取出同理可得寫成一個(gè)式子要求：（1）N中無獨(dú)立源；所有支路或?yàn)閴嚎匦突驗(yàn)榱骺匦?；?）CCCS→VCCS，VCVS→CCVS；（3）注意：復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)；注意△Zb、△Yb關(guān)系。注意：抽出的輸入、輸出支路電壓、電流的參考方向；如果不滿足Ib=YbUb或Ub=ZbIb

則應(yīng)采用多口網(wǎng)絡(luò)的混合參數(shù)，該方法失效。但前面介紹的方法仍成立！第54頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三如：第55頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三其系數(shù)陣與原網(wǎng)絡(luò)方程相同，僅右端項(xiàng)不同，因每條支路都接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，每次只有一個(gè)參量變化，一般情況下右端至多有二個(gè)非零項(xiàng)。§7-4導(dǎo)數(shù)（增量）網(wǎng)絡(luò)法導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)的概念：設(shè)原網(wǎng)絡(luò)的方程為TX=B，設(shè)P為求靈敏度時(shí)發(fā)生變化的某一網(wǎng)絡(luò)元件的參數(shù)，則：為網(wǎng)絡(luò)的全部輸出量對某一網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的靈敏度。線性網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)法P297—P300TX=B→X一般B與外施激勵(lì)有關(guān)，很多情況下有第56頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三線性網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)數(shù)（增量）網(wǎng)絡(luò)的建立P297—P300，P300表7-4-1?IG/?P+?UG/?P-GIG+UG-GI+U-R?IG/?G+?UG/?G-GUG?I/?R+?U/?R-GU/R2?I/?P+?U/?P-R第57頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三+Us-+E-+?UE/?P-?IE/?P+1V-+?Us/?P-?IS/?P+?Us/?Is-?Is/?Is1A+Us-IsIs+?U/?P-?IE/?PIS=IS第58頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三I1+U1-I2+U2-βI1I2+?U1/?P-?I1/?Pβ?I1/?P?I2/?P+?U2/?P-I2+?U1/?β-?I1/?ββ?I1/?β?I2/?β+?U2/?β-I1第59頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三一般至多只有四個(gè)非零元素（含受控源時(shí)按相應(yīng)的規(guī)則處理。）步驟（2）建立導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)方程（3）求解導(dǎo)數(shù)網(wǎng)絡(luò)方程，得一個(gè)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)變化的全部輸出靈敏度（1）對原網(wǎng)絡(luò)建立方程（如節(jié)點(diǎn)法），求解保留系數(shù)矩陣（LU）

該項(xiàng)的非零元素來源于電壓源的等效電流第60頁，講稿共72頁，2023年5月2日，星期三G1=2sG3=1sG2=4s2U1?Is/?G3=0?U1/?G3?U2/?