概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)PPT全套完整教學(xué)課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)、科技、教育、管理和軍事等方面已得到廣泛應(yīng)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，是重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

已成為高等工科院校教學(xué)計(jì)劃中一門重要的公共基礎(chǔ)課。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本理論和方法，并且具備一定的分析問題和解決實(shí)際問題的能力。課程簡(jiǎn)介前言概率論是研究偶然、隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)理論，產(chǎn)生于17世紀(jì)中葉。概率論發(fā)展初期，主要是從討論賭博問題開始的。16世紀(jì)的意大利學(xué)者吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（GirolamoCardano）研究了擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問題。到了17世紀(jì)中葉，法國宮廷貴族中間盛行擲骰子游戲。據(jù)說，1654年左右，愛好賭博的法國人梅雷寫信向帕斯卡（B.Paseal）請(qǐng)教了著名的“點(diǎn)數(shù)問題”或“賭金分配問題”。帕斯卡和費(fèi)馬（P.deFermat）在通信中討論了點(diǎn)數(shù)問題及其他問題。他們把這些日常賭博問題變成了真正的數(shù)學(xué)問題，用排列組合理論得出正確解答，并提出了數(shù)學(xué)期望的這一核心概念。現(xiàn)在，大家公認(rèn)他們二人是概率論的共同創(chuàng)立者。

隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會(huì)現(xiàn)象與機(jī)會(huì)游戲之間有某種相似性，從而由機(jī)會(huì)游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中；同時(shí)這也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展。真正使概率論作為一門獨(dú)立數(shù)學(xué)分支的莫基人是雅各布·伯努利（JacobBernoulli）。他建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即伯努利大數(shù)定律，證明了隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，某一事件出現(xiàn)的頻率會(huì)越來越接近該事件的概率。其意義在于揭示了因偶然性的作用而呈現(xiàn)的雜亂無章現(xiàn)象中的一種規(guī)律性。隨后棣莫弗和拉普拉斯又導(dǎo)出了第二個(gè)基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上寫出了概率論專著，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，從而將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。如何定義概率，如何把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，是概率理論發(fā)展的困難所在，對(duì)這一問題的探索一直持續(xù)了3個(gè)世紀(jì)。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎(chǔ)》一書中第一次給出了概率的定義和一套嚴(yán)密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對(duì)概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用?，F(xiàn)在，概率與統(tǒng)計(jì)的方法日益滲透到各個(gè)領(lǐng)域，并廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融保險(xiǎn)甚至人文科學(xué)中。第1章概率論的基本概念§1.1隨機(jī)事件§1.2隨機(jī)事件間的關(guān)系運(yùn)算§1.3隨機(jī)事件的概率§1.4條件概率§1.5事件的獨(dú)立性基本要求：了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、事件的相互獨(dú)立性等基本概念，掌握古典概率、條件概率的計(jì)算。重點(diǎn)：古典概率的計(jì)算難點(diǎn)：條件概率的計(jì)算§1.1隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)事件1.隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象

“太陽總是從東邊升起”“水往低處流”實(shí)例確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果我們事先知道每次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。但每次的結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中，其結(jié)果呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象

實(shí)例

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面的情況”?！皰仈S一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6

”。

2.隨機(jī)試驗(yàn)

在我們所生活的世界上，充滿了不確定性

隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的。問題

什么是隨機(jī)試驗(yàn)？如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?隨機(jī)試驗(yàn)（E，Randomexperiment）：具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)：（1）可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;（2）每次試驗(yàn)有多種可能結(jié)果，并且能知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能語言哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。E1:在一定的條件下進(jìn)行射擊練習(xí)，考慮中靶的環(huán)數(shù)；E2:拋一枚硬幣，

觀察出現(xiàn)的面；E3:記錄某汽車站某時(shí)段內(nèi)候車的人數(shù)；E4:測(cè)試某種燈泡的壽命；E5:記錄電話交換臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)受到的呼喚次數(shù)；E6:拋擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。3.

樣本空間（Samplespace）:

隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能的結(jié)果組成的集合稱為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間。用Ω表示。樣本點(diǎn)（Sample,Outcome）：樣本空間中的每個(gè)元素，即試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果。記為ω。

例如E2和E6的樣本空間分別為Ω2={正面，反面}和Ω6={1，2，3，4，5，6}。特別地，E的必然事件就是其樣本空間Ω自身，E的不可能事件記為,它對(duì)應(yīng)著空集4.隨機(jī)事件（事件，Event）：試驗(yàn)E的樣本空間Ω的子集。常用A、B、C等表示。注意：一旦做試驗(yàn)，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，即有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。

復(fù)合事件由多個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合基本事件當(dāng)且僅當(dāng)A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)

必然事件每次試驗(yàn)后必有Ω中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn)，顯然在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生§1.2隨機(jī)事件間的關(guān)系運(yùn)算1.2.1事件間的關(guān)系和運(yùn)算1.包含關(guān)系ΩAB如果A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，則相等關(guān)系

包含關(guān)系的傳遞性?A，若AB，BC，則AC。AB2.和（并）事件（或）事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A、B至少發(fā)生一個(gè).Ω3.積（交）事件AB事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)

A、B

同時(shí)發(fā)生.Ω4.差事件ABAAB

發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A

發(fā)生B

不發(fā)生.ΩΩ5.互斥關(guān)系（互不相容）6.對(duì)立（逆）事件ABA請(qǐng)注意互不相容與對(duì)立事件的區(qū)別！ΩΩΩ1.2.1事件間的關(guān)系和運(yùn)算的性質(zhì)分配律:交換律:

結(jié)合律:對(duì)偶律:運(yùn)算順序：逆交并差，括號(hào)優(yōu)先。【例1】將兩顆均勻的骰子各擲一次，若以(x,y)表示其結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則樣本空間為Ω={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6}若以A，B，C，D分別表示事件“點(diǎn)數(shù)之和等于2”、“點(diǎn)數(shù)之和等于5”、“點(diǎn)數(shù)之和超過9”，“點(diǎn)數(shù)之和不小于4也不超過6”。

試寫出事件A,B,C,D包含的結(jié)果?！窘狻緼={(1,1)}；B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；C={(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)};D={(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)}【例2】設(shè)A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件，試表示以下事件：(1)A，B，C都發(fā)生；(2)A，B發(fā)生但C不發(fā)生；(3)A，B，C都不發(fā)生；(4)A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生.【解】(1)A,B,C都發(fā)生可表示為ABC；(2)A,B發(fā)生但C不發(fā)生可表示為ABC=AB-C；(3)A,B,C都不發(fā)生可表示為ABC；(4)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生可表示A∪B∪C.§1.3隨機(jī)事件的概率頻率（Frequency）：描述n次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻繁程度概率：表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小從直觀上來看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性的大小，用P(A)表示。?P(A)應(yīng)具有何種性質(zhì)？1.3.1概率的古典定義古典概率模型簡(jiǎn)稱古典概型，通常是指具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果，即有限個(gè)樣本點(diǎn)(有限性)；(2)每一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等(等可能性)。古典概型又稱為等可能性概型。在概率論產(chǎn)生和發(fā)展的過程中，它是最早的研究對(duì)象，在實(shí)際應(yīng)用中它也是最常用的一種概率模型。對(duì)于古典概型，以Ω={ω1,…,ωn}表示樣本空間，ωi(i=1,2,…,n)表示樣本點(diǎn)，對(duì)于任一隨機(jī)事件A={ωi1,…,ωin},下面給出古典概型的定義。定義1.1(概率的古典概型定義)對(duì)于給定的古典概型，若樣本空間中有n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A含有m個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率為性質(zhì)1.1(古典概率的性質(zhì))對(duì)于任意事件A，0≤P(A)≤1；(2)P(Ω)=1,P(?)=0；(3)若A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)【例1】某種產(chǎn)品共有30件，其中含正品23件，次品7件，從中任取5件.試求被取出的5件中恰好有2件是次品的概率.【解】設(shè)A=“被取出的5件中恰好有2件是次品”.由題設(shè)“從中任取5件”應(yīng)理解為“一次取出5件”，故樣本點(diǎn)總數(shù).事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù),則所求概率為【例2】一批同類產(chǎn)品共N件，其中次品M件.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取n件(取后不放回)，問這n件中恰有k(k≤M)件次品的概率是多少？【解】設(shè)A={恰取到k件次品}，由于A并不涉及抽取產(chǎn)品的次序，故可將試驗(yàn)設(shè)想成從N件編上號(hào)的產(chǎn)品中一次取出n件,每一種取法構(gòu)成一個(gè)基本事件，總共有

種取法,A發(fā)生意味著取到k件次品和n-k件正品，k件次品和n-k件正品的取法分別為及

種.由乘法原理，構(gòu)成A的基本事件數(shù)為,故【例3】某口袋中有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式.①第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球,這種取球方式叫做有放回取球.②第一次取一只球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一只球,這種取球方式叫做無放回取球.試分別就上面兩種情況求：(1)取到的兩只球都是白球的概率；(2)取到的兩只球顏色相同的概率.【解】(1)令A(yù)1表示事件“取到的兩只球都是白球”，則有放回取球：P(A1)=無放回取球：P(A1)=

(2)令A(yù)2表示事件“取到的兩只球顏色相同”，則有放回取球：P(A2)=無放回取球：P(A2)=【例4】袋中有a只白球、b只紅球，依次將球一只只摸出，不放回.求第k次摸到白球的概率(1≤k≤a+b).【解】設(shè)A={第k次摸到白球}，由于并不關(guān)心第k次以后的取球結(jié)果，可設(shè)想將球編號(hào)，一只只抽取直至取出第k只球?yàn)橹?則基本事件總數(shù)是從a+b只編上號(hào)的球中選出k只球進(jìn)行排列的排列種數(shù)，即,A發(fā)生意味著第k次取到白球.此白球可能是a只白球中的任一只；而前k-1次取的球則可能是除此白球之外的其余a+b-1只中的任k-1只，故由乘法原理得，m=.所以對(duì)本題也可給出另一種解法.設(shè)想將a+b只球編上號(hào)，每次試驗(yàn)將a+b只球逐一摸出并依次排列在a+b個(gè)位置上，則基本事件總數(shù)為n=(a+b)!,kA=·(a+b-1)!,故有注意到P(A)與k無關(guān)，即無論第幾次摸球，摸到白球的概率都是.這一結(jié)果表明抽簽、摸彩與先后次序無關(guān)，機(jī)會(huì)是均等的.【例5】有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率1/N被分配在N(n≤N)間房中的任一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定的n間房中各有一人；(2)恰有n間房，其中各有一人；(3)某指定的一間房中恰有m(m≤n)人.【解】先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).首先，把n個(gè)人分到N間房中去共有Nn種分法；其次，求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).某指定的n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的

個(gè)數(shù)，即可能的分法為n!；(2)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為?n!；(3)某指定的一間房中恰有m人，可能的分法為.于是可以得到三種情形下事件的概率分別如下：(1)(2)(3)在上述分房問題中，若令N=365，n=30,m=2則可演化為生日問題.全班有學(xué)生30人，求下列事件的概率：(1)某月指定為30天，每位學(xué)生生日各占一天；(2)全班學(xué)生生日各不相同；(3)全年某天，恰有兩個(gè)學(xué)生同一天出生.利用上述結(jié)論可得到概率分別如下：(1)(2)(3)1.3.2概率的統(tǒng)計(jì)定義定義1.2(頻率的定義)若在同一條件組下將試驗(yàn)E重復(fù)N次，事件A發(fā)生了m次，則稱比值m/N為事件A在N次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為fN(A),即定義1.3(概率的統(tǒng)計(jì)定義)在觀察某一隨機(jī)事件A的隨機(jī)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，這時(shí)就以常數(shù)p作為事件A的概率，并稱其為統(tǒng)計(jì)概率，記作：P(A)=p由頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以得到統(tǒng)計(jì)概率的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：0≤P(A)≤1;（2）規(guī)范性：P(Ω)=1；（3）有限可加性：若事件A1，A2,…,An互不相容，則【例6】某市衛(wèi)生管理部門對(duì)該市60歲以上老人患高血壓的情況進(jìn)行調(diào)查，從4個(gè)區(qū)各分別調(diào)查了80人，90人，100人，100人，其中患病人數(shù)分別為23，27，33，30.試估計(jì)該市60歲以上老人高血壓的患病率p.【解】以4組調(diào)查結(jié)果頻率的平均值來估計(jì)p，結(jié)果為1.3.3概率的性質(zhì)根據(jù)隨機(jī)事件概率的定義，可得到隨機(jī)事件的概率具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1P(?)=0,即不可能事件的概率為零.證明Ω=Ω+?+?+?+…

P(Ω)=P(Ω)+P(?)+P(?)+…

因此，P(?)=0性質(zhì)2若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件，則證明性質(zhì)3證明

性質(zhì)4若BA,則P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)證明由于A=AB+(A-B)，

所以P(A)=P(AB)+P(A-B)若BA,則AB=B，故P(A-B)=P(A)-P(B)此外，注意到P(A-B)≥0，故在BA下，

有P(B)≤P(A)性質(zhì)5對(duì)于任意事件A、B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).證明A∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=?，則P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)【例7】設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有95件合格品，5件次品,從中任取5件，試求其中至少有一件次品的概率.【解法1】設(shè)Ak表示“5件產(chǎn)品中有k件次品”，這里k=0,1,2,3,4,5;A表示“其中至少有一件次品”，則,且A1，A2，…，A5互不相容，

于是，由性質(zhì)2可得【解法2】事件A比較復(fù)雜，而其對(duì)立事件則比較簡(jiǎn)單，且于是，由性質(zhì)3可得第2種解法顯示了對(duì)立事件概率的性質(zhì)在計(jì)算事件概率時(shí)的作用.一般地，當(dāng)所要求概率的事件較復(fù)雜時(shí)，常?？紤]先求出其對(duì)立事件的概率.【例8】袋中有紅、黃、白色球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取三次，求“取到的三球里沒有紅球或沒有黃球”的概率.【解】設(shè)A={沒有紅球}，B={沒有黃球}，C={沒有紅球或沒有黃球}，則C=A∪B,

故【例9】設(shè)事件A，B的概率分別為1/2和1/3，求下列條件下事件AB的概率.(1)AB;(2)P(AB)=14;(3)A,B互斥.【解】(1)因?yàn)锳B，所以B=B-A,故由概率的性質(zhì)4有P(B)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6(2)因?yàn)锽=B-A=B-AB，故由概率的性質(zhì)4有P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/4=1/4(3)因?yàn)锳，B互斥，故BB=B,于是P(B)=P(B)=1/2§1.4條件概率1.4.1條件概率在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息（條件）下求事件的概率。如在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B)。一般P(A|B)≠P(A)【例1】考慮有兩個(gè)孩子家庭(假定男、女出生率相同).設(shè)A={一男一女}={(男，女)，(女，男)}；B={至少有一女}={(女，女)，(男，女)，(女，男)}.則Ω={(男，男)，(男，女)，(女，女)，(女，男)}，P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=2/4【解】現(xiàn)在考慮：已知事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，則為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱條件概率.條件概率具有以下性質(zhì)：(1)若A，B為隨機(jī)事件，且P(B)＞0，則0≤P(A|B)≤1;(2)若P(B)＞0，則P(Ω|B)=1,P(?|B)=0;(3)若A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，P(B)＞0，則(4)若P(B)＞0，則P(|B)=1-P(A|B).【例2】設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活10年以上的概率為0.9，活20年以上的概率為0.3.現(xiàn)有一只10歲的這種動(dòng)物，問它能活20歲以上的概率是多少？【解】設(shè)A={能活10年以上}，B={能活20年以上}，依題意，P(A)=0.9,P(B)=03.由于BA,所以AB=B.因此P(AB)=P(B)=0.3.于是1.4.2乘法公式若已知P(B)，P(A|B)，也可以求P(AB).這就是概率的乘法公式.定理1.1設(shè)P(B)＞0，則有P(AB)=P(B)?P(A|B)(1-1)設(shè)P(A)＞0，則有P(AB)=P(A)?P(B|A)(1-2)(1-1)式、(1-2)式稱為概率的乘法公式.概率的乘法公式可以推廣到任意n個(gè)事件的情形.若事件A1，A2，…，An滿足P(A1A2…An-1)＞0,則【例3】從含有3只次品的10只產(chǎn)品中無放回地取2次，每次任取一只.(1)求2次都取到正品的概率；(2)求第2次才取到正品的概率.【解】設(shè)Ai={第i次取到正品}(i=1,2),B={兩次都取到正品}，C={第2次才取到正品}.(1)顯然有B=A1A2，依題意有故

(2)“第2次才取到正品”也即“第一次取到次品而第2次取到正品”，即故【例4】設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)小朋友，甲得病的概率是0.05，在甲得病的條件下乙得病的概率是0.40,在甲、乙兩人均得病的條件下丙得病的條件概率是0.80，試求甲、乙、丙三人均得病的概率.【解】用A表示“甲得病”，B表示“乙得病”，C表示“丙得病”，則P(A)=0.05,P(B|A)=0.4,P(C|AB)=0.8所求概率為P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.05×0.4×0.8=0.0161.4.3全概率公式定理1.2(全概率公式)若A1，A2，…，An(n有限或無限)是兩兩互不相容的事件，P(Ai)＞0，i=1,2,…,n,事件,則對(duì)于事件B，有(1-3)(1-3)式稱為全概率公式.證明因?yàn)樗郧矣蒔(Ai)＞0知P(B|Ai)存在，故由概率的有限可加性及乘法公式，有【例5】有一批產(chǎn)品，其中甲車間占60%，乙車間產(chǎn)品占40%，甲車間產(chǎn)品的合格率是95%，乙車間產(chǎn)品的合格率是90%，求從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件為合格品的概率.【解】設(shè)A=“抽取的一件是甲車間產(chǎn)品”，則A=“抽取的一件是乙車間產(chǎn)品”.又設(shè)B=“抽取的一件是合格品”，依題意有由全概率公式得1.4.4貝葉斯公式定理1.3(貝葉斯公式)設(shè)A1，A2，…，An(n有限或無限)是兩兩互不相容的事件，P(Ai)＞0,i=1,2,…,n,事件則有(1-4)(1-4)式稱為貝葉斯(Bayes)公式(或逆概率公式，后驗(yàn)概率公式)，它是由英國科學(xué)家貝葉斯建立的.P(Ai|B)是在試驗(yàn)得到結(jié)果“B發(fā)生”后求得的關(guān)于Ai的概率，我們稱P(Ai)為先驗(yàn)概率，P(Ai|B)為后驗(yàn)概率.貝葉斯公式具有非常廣泛的應(yīng)用.【例6】在例5中，如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件發(fā)現(xiàn)是合格品，求這件合格品是甲車間生產(chǎn)的概率.【解】由題意得,要求的概率為P(A|B)，由貝葉斯公式得【例7】四位工人生產(chǎn)同一種零件，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的35%、30%、20%和15%，且四個(gè)人生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率分別為2%、3%、4%和5%.今從這批產(chǎn)品中任取一件，問：(1)它是不合格品的概率；(2)發(fā)現(xiàn)是不合格品，它是由第一個(gè)人生產(chǎn)的概率.【解】設(shè)B=“任取一件產(chǎn)品為不合格品”，Ai=“任取一件產(chǎn)品是第i個(gè)人生產(chǎn)的產(chǎn)品”(i=1,2,3,4),則P(A1)=0.35,P(A2)=0.30,P(A3)=0.20,P(A4)=0.15,P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.03,P(B|A3)=0.04,P(B|A4)=0.05；

于是(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得§1.5事件的獨(dú)立性1.5.1相互獨(dú)立事件一般情況下，條件概率P(B|A)與P(B)是不同的,但在某些特殊情況下，條件概率P(B|A)等于無條件概率P(B),這時(shí)事件B發(fā)生與否不影響事件A的概率.這表明事件A與事件B之間存在某種獨(dú)立性.定義1.5設(shè)A與B為兩事件，若P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.由定義1.5，可以推出如下定理和性質(zhì)成立.定理1.4設(shè)A、B為兩事件，且P(A)＞0，則A與B相互

獨(dú)立的充要條件是P(B|A)=P(B).證明設(shè)A、B相互獨(dú)立，即P(AB)=P(A)P(B)，則P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B);反之，設(shè)P(B|A)=P(B)，則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)顯然，當(dāng)P(B)＞0時(shí)，定理1.4中的充要條件可改為P(A|B)=P(A).而當(dāng)P(A)、P(B)至少有一個(gè)為零時(shí)，由ABA及ABB易知，此時(shí)仍有P(AB)=P(A)P(B)成立.這表明，概率為零的事件與任一事件相互獨(dú)立.性質(zhì)1.2(1)不可能事件與任何事件獨(dú)立；(2)若事件A、B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B分別相互獨(dú)立.證明(1)是顯然成立的；(2)由于A=AB+AB則P(A)=P(AB)+P(AB)由A與B的獨(dú)立性，知P(A)=P(A)P(B)+P(AB)則P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)從而A與B相互獨(dú)立，類似可證明其他結(jié)論.下面給出三個(gè)事件獨(dú)立性的定義.定義1.6對(duì)于隨機(jī)事件A1，A2，A3，若下列4個(gè)等式成立，則稱A1，A2，A3是相互獨(dú)立的.P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(A2A3)=P(A2)P(A3)(1-5)P(A1A3)=P(A1)P(A3)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)(1-6)若前三個(gè)等式成立,即式1-5成立,則稱A1,A2,A3是兩兩獨(dú)立的.上述三個(gè)事件相互獨(dú)立的定義中要求4個(gè)等式同時(shí)成立，缺一不可【例1】若有一個(gè)均勻正八面體，其1、2、3、4面被染成了紅色，1、2、3、5面被染成了白色，1、6、7、8面被染成了黑色，用A，B，C表示投擲一次正八面體出現(xiàn)紅、白、黑色的事件，則P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)但P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B)我們可以將相互獨(dú)立概念推廣到任意n個(gè)事件的情形.定義1.7設(shè)有n個(gè)事件A1，A2，…，An.如果對(duì)于任意正整數(shù)k(2≤k≤n)以及1≤i1＜i2＜

…

＜ik≤n有P(Ai1Ai2

…

Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)成立，則稱事件A1，A2，

…

，An是相互獨(dú)立的.從定義1.7不難看出，n個(gè)事件相互獨(dú)立的條件十分苛求，=2n-n-1個(gè)等式必須同時(shí)成立.

而n個(gè)事件中兩兩獨(dú)立的條件是C2n個(gè)式子P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)(i≠j;i,j=1,

…,n)成立.可見由多個(gè)事件相互獨(dú)立可以推出它們兩兩獨(dú)立.反之，由多個(gè)事件兩兩獨(dú)立不一定能推出它們相互獨(dú)立.【例2】有兩門高射炮獨(dú)立地射擊一架敵機(jī)，設(shè)甲炮擊中敵機(jī)的概率為0.8，乙炮擊中敵機(jī)的概率為0.7.試求敵機(jī)被擊中的概率.【解】設(shè)A表示“甲炮擊中敵機(jī)”，B表示“乙炮擊中敵機(jī)”，那么敵機(jī)被擊中這一事件是A∪B.由于A，B相互獨(dú)立，故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.8×0.7=0.94【例3】加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為2%，3%，5%.假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是多少？【解】設(shè)A={加工出來的零件為次品}，Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3)，則有A=,且A1，A2，A3相互獨(dú)立，故有P(A)=P(A1∪A2∪A3)=1-=1-(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)=0.09693【例4】假設(shè)每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%.混合100個(gè)人的血清，試求該血清中含有肝炎病毒的概率.【解】設(shè)Ak表示“第k個(gè)人血清中含有肝炎病毒”(k=1,2,…,100)，則可以認(rèn)為諸Ak相互獨(dú)立，且P(Ak)=0.004(k=1,2,…,100).于是所求概率為1.5.2獨(dú)立試驗(yàn)序列概型定理1.5設(shè)在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1),則在n重伯努利試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次的概率為證明設(shè)Ai(i=1,2,…,n)表示“事件A在第i次試驗(yàn)中發(fā)生”，則P(Ai)=p,P(Ai)=1-p=q(i=1,2,

…,n).事件A在其中某k次，如第i1,i2,

…,ik次發(fā)生；在其余n-k次，如第j1,j2,

…,jn-k次中不發(fā)生的概率為P(Ai1Ai2…Aik

j1

j2…

jn-k)由于諸結(jié)果相互獨(dú)立，所以有又由于事件A發(fā)生的k次試驗(yàn)在n次試驗(yàn)中的位置共有

種，每種位置對(duì)應(yīng)的事件互不相容，且由前面的計(jì)算知，概率均為,因此事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率為【例5】電燈泡使用壽命在1000h以上的概率為0.2,試求3個(gè)燈泡在使用1000h后，最多有1個(gè)損壞的概率.【解】設(shè)A表示“燈泡在使用1000h后未損壞”，則P(A)=0.2.P()=0.8.本例可以視為3重伯努利概型(觀察一個(gè)燈泡可以視為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果：A表示“燈泡未損壞”與

表示“燈泡已損壞”，且各燈泡是否損壞互不影響，因而試驗(yàn)相互獨(dú)立).由定理1.5知，所求概率為P3(2)+P3(3)=0.22×0.81+0.23×0.80=0.104【例6】一大批某型號(hào)的電子管，已知其一級(jí)品率為0.3，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽查20只，問其中有一級(jí)品的概率是多少？【解】由于這批電子管的總量很大，而抽取的只數(shù)(20只)相對(duì)很小，故可將抽查20只電子管近似地看作有放回抽樣.將“抽查一只”作為一次試驗(yàn)，則“抽查20只”為20重伯努利概型.設(shè)A={其中有一級(jí)品}，由伯努利公式并利用逆事件關(guān)系得P(A)=1-P()=1-P20(0)=1-0.300.720=1-0.720=1-0.0007979≈0.9992在本例中，所抽20只中不含一級(jí)品的概率P()=0.0007979,不到萬分之八.實(shí)踐表明，這種“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生”.這一事實(shí)稱為小概率事件的實(shí)際不可能原理.它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的主要依據(jù).【例7】一個(gè)人開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把鑰匙能打開這扇門，他隨機(jī)地選取一把鑰匙開門，即每次每把以1/n的概率被選中，求該人在第k次打開門的概率.【解】令Bk表示“第k次打開門”的事件，則

第1章小結(jié)

本章由六個(gè)概念(隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、概率、條件概率、獨(dú)立性)，四個(gè)公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式)和一個(gè)概型(等可能概型)組成。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第2章一維隨機(jī)變量及其分布§2.1一維隨機(jī)變量§2.2離散型隨機(jī)變量§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量§2.5一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布基本要求：了解隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)、條件分布、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，熟練掌握隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布。重點(diǎn)：隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)、隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布難點(diǎn)：隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布§2.1一維隨機(jī)變量1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例如:擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；每天從北京下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；八月份武漢的最高溫度；…

2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.再如：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面和反面的情況，則樣本空間是Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}。令X表示三次投擲得到正面H的總數(shù)，那么X是定義在Ω上的一個(gè)實(shí)單值函數(shù)。

稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為隨量機(jī)變定義2.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E，它的樣本空間Ω={ω}.若對(duì)任一ω∈Ω,都有實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱X(ω)為隨機(jī)變量.簡(jiǎn)記為X.隨機(jī)變量分離散型和非離散型兩大類.離散型隨機(jī)變量是指其所有可能取值為有限或可列無窮多個(gè)的隨機(jī)變量.非離散型隨機(jī)變量是對(duì)除離散型隨機(jī)變量以外的所有隨機(jī)變量的總稱，范圍很廣，而其中最重要且應(yīng)用最廣泛的是連續(xù)型隨機(jī)變量.§2.2離散型隨機(jī)變量2.2.1離散型隨機(jī)變量的概率分布定義2.2如果隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或可列無窮多個(gè)數(shù)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量.定義2.3設(shè)xk(k=1,2,…)為離散型隨機(jī)變量X所有可能取值，pk(k=1,2,…)是X取值xk時(shí)相應(yīng)的概率，即

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

(2-1)則式(2-1)叫做離散型隨機(jī)變量X的概率分布，其中pk≥0且∑pk=1.離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用表2-1的形式來表示，稱其為離散型隨機(jī)變量X的分布律.【例1】某男生投籃的命中率為0.8,現(xiàn)在他不停地投籃,直到投中為止,求投籃次數(shù)X的概率分布.【解】顯然當(dāng)X=1時(shí),p1=0.8.當(dāng)X=2時(shí),意味著第一次投籃未中,而第二次命中.由于兩次投籃是相互獨(dú)立的,故p2=0.2×0.8=0.16.當(dāng)X=k時(shí),則前k-1次均未投中,所以

pk=(0.2)k-1×0.8于是X的概率分布為

P{X=k}=pk=(0.2)k-1×0.8,(k=1,2,…)2.2.2幾種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布1.兩點(diǎn)分布(0-1分布)如果隨機(jī)變量X只取0,1兩個(gè)值,即其分布律為其中0＜p＜1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或(01)分布,記為X~B(1,p).【例2】一批產(chǎn)品共100件,其中有3件次品.從這批產(chǎn)品中任取一件,以X表示“取到的次品數(shù)”，即

求X的分布律.【解】因?yàn)?/p>

故X的分布律為2.二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量X為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的可能取值為0，1，…，n,在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為

pk=P{X=k}=顯然pk≥0,且

=(p+q)n=1如果隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X=k}=

(k=0,1,2,…,n)

(2-2)其中0＜p＜1,q=1-p,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p).特別地，當(dāng)n=1時(shí)的二項(xiàng)分布就是兩點(diǎn)分布.【例3】某大樓有兩部電梯，每部電梯因故障不能使用的概率均為0.02.設(shè)某時(shí)不能使用的電梯數(shù)為X，求X的分布律.【解】因?yàn)閄~B(2，0.02),所以

P{X=k}=

(0.02)k(1-0.02)2-k

(k=0,1,2)于是X的分布律為【例4】某人獨(dú)立射擊10次，每次命中率為0.8，求命中次數(shù)X的分布律.【解】X的可能取值為0，1，2，…，10

P{X=k}=

0.8k

0.210-k,

k=0,1,2,…,10

由結(jié)果看出，隨機(jī)變量X~B(10,0.8).3.泊松(Poisson)分布如果隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X=k}=

(k=0,1,2,…)

(2-3)其中λ＞0,則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ).

泊松分布常見于所謂“稠密性”問題,在實(shí)際生活中已發(fā)現(xiàn)許多取值為非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量都服從泊松分布.【例5】某城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為λ=0.8的泊松分布，求該城市內(nèi)一天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)大于等于3的概率.【解】由概率的性質(zhì)知

P{X≥3}=1-P{X＜3}

=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}

=1-e-0.8(1+)

≈0.0474【例6】設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2},

試求(1)參數(shù)λ;

(2)P{X=3}.【解】(1)因?yàn)閄~P(λ),故由P{X=1}=P{X=2}，

知有

易解得λ=2.

(2)P{X=3}=

≈0.1804定理2.1(泊松定理)設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1,2,…)服從參數(shù)為n,pn的二項(xiàng)分布，即有

P(Xn=k)=

(1-pn)n-k,

k=0,1,2,…,n

若limnpn=λ＞0,則有

limP(Xn=k)=

e-λ證明

記λn=npn,則

P(Xn=k)

對(duì)固定的k有故有顯然，定理的條件

(常數(shù))意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.因此，泊松定理表明當(dāng)n很大,p很小時(shí)有以下近似式

(2-4)其中λ=np.在實(shí)際計(jì)算時(shí)，若X~B(n,p),當(dāng)n≥10，p≤0.1時(shí)，均可以用泊松分布近似計(jì)算其概率；當(dāng)n≥100且np≤10時(shí)效果更佳.【解】設(shè)X表示未來一年里，2000名投保者中死亡的人數(shù)，則X~B(2000，0.005).(1)恰有15人死亡的概率為P{X=15}=b(15;2000,0.005).因?yàn)閚=2000,p=0.005,所以根據(jù)泊松定理，X近似服從參數(shù)為λ=np=10的泊松分布.從而

P{X=15}≈

=0.9513-0.9165=0.034(2)同理可得，死亡人數(shù)不低于1人的概率為P{X≥1}=1-P{X=0}=1-

≈1-e-10≈1【例7】在參加人壽保險(xiǎn)的某一年齡組中，每人每年死亡的概率為0.005.現(xiàn)有屬于這一年齡組的2000人參加了人壽保險(xiǎn).試求在未來一年里，投保者中，(1)恰有15人死亡的概率；(2)死亡人數(shù)不低于1人的概率.二項(xiàng)分布的泊松近似常常應(yīng)用于稀有事件的概率計(jì)算，所謂稀有事件即小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p很小，但當(dāng)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，小概率事件的發(fā)生幾乎是可以肯定的.4.幾何分布定義2.4如果隨機(jī)變量X的概率分布為

P{X=k}=p(1-p)k-1

(k=1,2,…)

(2-5)

則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X~G(p).幾何分布描述如下概型：在事件A發(fā)生的概率為p的多重伯努利試驗(yàn)中，若以X表示A首次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X服從參數(shù)為p的幾何分布.例如，接連對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，首次命中目標(biāo)所需射擊的次數(shù)；自動(dòng)生產(chǎn)線上首次出現(xiàn)不合格品時(shí)已生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)；一次一次進(jìn)行還原隨機(jī)抽樣，首次抽到具有某種特征的元素所需抽樣的次數(shù)等，都服從幾何分布.【例8】某射手向某目標(biāo)射擊，命中率為0.8.現(xiàn)連續(xù)射擊直到擊中為止，求射擊次數(shù)X的分布.【解】X的可能取值為1，2，3，…，用Ak表示“該射手第k次命中”這一事件，

k=1,2,…

P{X=k}=P(

)

=0.2k-10.8,

k=1,2,…5.超幾何分布定義2.5如果隨機(jī)變量X的分布概率為

P{X=k}=

(k=0,1,…,l)

(2-6)其中n,M,N皆為正整數(shù)，且M＜N，n≤N,l=min(M,n),則稱X為服從參數(shù)為n,M,N的超幾何分布，記為X~H(n,M,N).

因比較等式(1+x)M(1+x)N-M=(1+x)N兩端xn的系數(shù)，可得等式從而知超幾何分布在產(chǎn)品質(zhì)量的檢驗(yàn)和控制等問題中很有用處.在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中，二項(xiàng)分布是用來描述有放回地抽樣，而超幾何分布是用來描述無放回地抽樣.雖然兩者抽樣方式不同，但可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大，抽檢的產(chǎn)品數(shù)n又不太大時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似代替，即有

(k=0,1,…,n)

其中p=M/N.因此，在實(shí)際工作中產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)多采用無放回抽樣.【例9】已知一批產(chǎn)品共200件，其中有4件次品.現(xiàn)抽取5件進(jìn)行檢查，試求其中次品不多于1件的概率.【解】設(shè)X表示抽出的5件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~H(5,4,200),于是所求概率為§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.4.1分布函數(shù)的定義定義2.7設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，令

F(x)=P{X≤x}(-∞＜x＜∞)稱F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，也稱為累積分布函數(shù).

分布函數(shù)以全體實(shí)數(shù)為定義域，以事件{X≤x}的概率為函數(shù)值，從而分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù).由概率的性質(zhì)及分布函數(shù)的定義易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1＜x2,有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)分布函數(shù)F(x)具有以下性質(zhì)：(1)(單調(diào)遞增性)若x1＜x2,則

F(x1)≤F(x2)

事實(shí)上，F(xiàn)(x2)-F(x1)=P(x1＜X≤x1)≥0,

x1＜x2(2)(有界性)0≤F(x)≤1,且

F(-∞)=

F(x)=0

F(+∞)=

F(x)=1

據(jù)分布函數(shù)定義即知0≤F(x)≤1;對(duì)后兩式只給出直觀解釋：由于F(-∞)相當(dāng)于事件P(X＜-∞)的概率，而{X＜-∞}是不可能事件，故有F(-∞)=0.類似地，P(X＜+∞)是必然事件，故有F(+∞)=1.(3)(右連續(xù)性)F(x+0)=F(x)2.4.2離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

P(X=xk)=pk,

k=1,2,…則由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為

F(x)=P(X≤x)=

P(X=xk)即

F(x)=

Pk

其中和式是對(duì)滿足xk≤x的一切k求和.離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是分段函數(shù)，F(xiàn)(x)的間斷點(diǎn)就是離散型隨機(jī)變量X的各可能取值點(diǎn)，并且在其間斷點(diǎn)處右連續(xù).離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形是階梯形曲線.F(x)在X的一切有(正)概率的點(diǎn)xk，皆有一個(gè)跳躍，其躍度正好為X取值xk的概率pk，而在分布函數(shù)F(x)的任何一個(gè)連續(xù)點(diǎn)x上，X取值x的概率皆為零.§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)定義2.6對(duì)于隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)

f(x)(-∞＜x＜+∞),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b(a＜b),都有

P{a＜X≤b}=

f(x)dx

(2-7)則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù).有時(shí)也可用其他函數(shù)符號(hào)如p(x)等表示.如果f(x)是隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，則必有如下性質(zhì)：(1)f(x)≥0(-∞＜x＜+∞)(2)

f(x)dx=P{-∞＜X＜+∞}=1如果給出了隨機(jī)變量的概率密度，那么它在任何區(qū)間取值的概率就等于概率密度在這個(gè)區(qū)間上的定積分.在直角坐標(biāo)系中畫出的密度函數(shù)的圖像，稱為密度曲線.如圖2-2所示，密度曲線位于x軸的上方，且密度曲線與x軸之間的面積恒為1；X落在任一區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率等于以該區(qū)間為底，以密度曲線為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e.由式(2-7)及概率的性質(zhì)可以推出P{X=a}=0(a為任一常數(shù))，即連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)取值的概率為零，從而有P{a＜X＜b}=P{a＜X≤b}=P{a≤X＜b}=P{a≤X≤b}

=即區(qū)間端點(diǎn)對(duì)求連續(xù)型隨機(jī)變量的概率沒有影響.概率密度f(x)不表示隨機(jī)變量X取值為x的概率，而是表示隨機(jī)變量X在點(diǎn)x附近取值的密集程度，就像線密度一樣，某一點(diǎn)的線密度并不代表物質(zhì)在這一點(diǎn)的質(zhì)量.【例1】設(shè)某連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為

0＜x＜2求：(1)常數(shù)k;(2)P{1＜X＜2};(3)P{X＞1}.【解】(1)根據(jù)密度函數(shù)性質(zhì)有解得k=3/8(2)(3)【例2】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求:(1)系數(shù)A,B;(2)P{-1≤X≤2};(3)X的概率密度f(x).【解】(1)由分布函數(shù)的性質(zhì),有又因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),從而應(yīng)有2.3.2幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1.均勻分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

(2-8)(其中a＜b為有限數(shù)),則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,記為X~U[a,b].容易驗(yàn)證:f(x)滿足概率密度的兩條性質(zhì).由連續(xù)型隨機(jī)變量的定義,可以求得X的分布函數(shù)為f(x)與F(x)的圖形如圖2-2所示.

圖2-2易見,對(duì)于在區(qū)間[a,b]上均勻分布的隨機(jī)變量,X落在任一長度為l的子區(qū)間(c,d)(a≤c＜d≤b)上的概率為該概率與子區(qū)間的長度成正比,而與子區(qū)間的起始點(diǎn)無關(guān).【例3】設(shè)某一時(shí)間段內(nèi)的任意時(shí)刻,乘客到達(dá)公共汽車站是等可能的.若每隔3min來一趟車,則乘客等車時(shí)間X服從均勻分布.試求X的概率密度及等車時(shí)間不超過2min的概率.【解】因?yàn)閄~U［0,3］,所以X的密度函數(shù)為等車時(shí)間不超過2min的概率為2.指數(shù)分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記作X~E(λ).【例4】已知某種機(jī)器無故障工作時(shí)間X(單位：小時(shí))服從參數(shù)為12000的指數(shù)分布.(1)試求機(jī)器無故障工作時(shí)間在1000小時(shí)以上的概率；(2)如果某機(jī)器已經(jīng)無故障工作了500小時(shí)，試求該機(jī)器能繼續(xù)無故障工作1000小時(shí)的概率.【解】3.正態(tài)分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中σ＞0為常數(shù)，則稱X服從以μ,σ2為參數(shù)的正態(tài)分布，記作X~N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，并分別以(x)及Φ(x)記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù).正態(tài)密度函數(shù)f(x)的圖形(見圖2-3)具有以下特點(diǎn)：(1)以直線x=μ為對(duì)稱軸，并在x=μ處有最大值f(μ)=(2)在x=μ±σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)；(3)當(dāng)x→±∞時(shí)，以x軸為漸近線；

圖2-3(4)當(dāng)固定σ而變動(dòng)μ時(shí)，圖形形狀不變地沿x軸平行移動(dòng)(見圖2-4).當(dāng)固定μ而變動(dòng)σ時(shí)，隨著σ的變大，圖形的高度下降，形狀變得平坦；隨著σ的變小，圖形的高度上升，形狀變得陡峭(見圖2-5).

圖2-4圖2-5若X~N(μ,σ2),則X的分布函數(shù)為

(2-9)其圖形如圖2-6所示.

圖2-6對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

(2-10)的值,已編制成表可供查用(見附錄Ⅰ).由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)

(2-11)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,從而有

(2-12)所以,附錄Ⅰ只給出了x≥0時(shí)Φ(x)的數(shù)值表.一般正態(tài)分布N(μ,σ2)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)有如下關(guān)系:定理2.2設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),分布函數(shù)設(shè)為F(x),則對(duì)每個(gè)x∈R,有

(2-13)證明由分布函數(shù)的定義,知

令

則得由此可得如下推論:推論2.1若X~N(μ,σ2),則

(2-14)

推論2.2若X~N(μ,σ2),對(duì)每個(gè)a,b∈R(a＜b),有§2.5一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布2.5.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布定理2.3設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如表2-4所示

表2-4

X的分布律

則Y=f(X)的概率分布如表2-5所示

表2-5

Y=f(X)的分布律【例1】設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

試求下列隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

(1)Y=2X+1；(2)Y=X2.【解】(1)當(dāng)Y=2X+1時(shí)概率分布為(2)當(dāng)Y=X2時(shí)

所以Y=X2的概率分布為2.5.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1.分布函數(shù)法【例2】設(shè)隨機(jī)變量X~U[1，3]，求Y=4X-1的分布函數(shù)Fy(y)及概率密度函數(shù)fY(y).【解】首先，求Y的(一般)分布函數(shù)與概率密度函數(shù).依題意,有FY(y)=P{Y≤y}=P{4X-1≤y}=P{X≤

}=FX（）對(duì)y求導(dǎo)得再求X服從[1，3]上均勻分布時(shí)Y的具體對(duì)應(yīng)分布函數(shù)及概率密度函數(shù).因?yàn)轭愃朴诶?的這種解題方法，人們通常稱之為“分布函數(shù)法”.對(duì)于已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fX(x),X的函數(shù)Y=g(X),求Y的概率密度函數(shù)fY(y)的一般步驟可以歸納為：(1)確定Y的值域R(Y)；(2)對(duì)任意y∈R(Y),求出Y的分布函數(shù)

FY(y)=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)}=∫G(y)fX(x)dx

(其中G(y)由不等式g(X)≤y解得)；(3)關(guān)于y求導(dǎo)：若F′Y(y)存在，fY(y)=F′Y(y);

若F′Y(y)不存在

fY(y)=0

(2-15)(4)歸納合并，最后得到所求概率密度函數(shù)fY(y).利用積分轉(zhuǎn)化法求一維隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的概率密度fY(y)的主要計(jì)算步驟如下：(1)將g(x)及f(x)的具體表達(dá)式代入式(-16)的被積函數(shù)

中；(2)作代換g(x)=y;(3)反解出x=G(y)并代入f(x)中；(4)整理合并，依式(2-16)最后寫出所求概率密度fY(y)

的表達(dá)式.2.積分轉(zhuǎn)化法設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x),g(x)為(分段)連續(xù)或(分段)單調(diào)函數(shù)，Y=g(X).若對(duì)任何非負(fù)連續(xù)函數(shù)h(x),成立

(2-16)則隨機(jī)變量Y的概率密度為【例4】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求隨機(jī)變量Y=eX的概率密度fY(y).【解】因?yàn)樗?/p>

第2章小結(jié)

本章由隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)、條件分布、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布組成。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1二維隨機(jī)變量及其分布§3.2二維離散型隨機(jī)變量§3.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量§3.4二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布基本要求：了解二維隨機(jī)變量的定義及其分布，熟練掌握二維離散型隨機(jī)變量的分布率、獨(dú)立性。重點(diǎn)：二維隨機(jī)變量的定義、分布率難點(diǎn)：二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布§3.1二維隨機(jī)變量3.1.1聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E,它的樣本空間Ω={ω}.設(shè)X=X(ω)和Y=Y(ω)是定義在Ω上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)有序組(X,Y)稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量.定義3.2設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=P(X≤x,Y≤Y)(3-1)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù),或稱為隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布函數(shù).式中{X≤x,Y≤y}表示{X≤x}與{Y≤y}這兩個(gè)事件的積{X≤x}∩{Y≤y},故F(x,y)的幾何意義是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入以(x,y)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形區(qū)域(見圖3-1)的概率.圖3-1從以上幾何解釋及概率性質(zhì)得隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入矩形區(qū)域{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}的概率為(見圖3-2)P(x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2,)=P(X≤x2,Y≤y2)-P(X≤x1,Y≤y2)-P(X≤x2,Y≤y1)+P(X≤x1,Y≤y1)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x