特殊三角形的存在性【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點突破（含答案解析）

重難點05特殊三角形的存在性目錄考點一：存在全等三角形考點二：存在等腰三角形考點三：存在直角三角形技巧技巧方法本節(jié)以一次函數(shù)或四邊形為背景，結(jié)合三角形的相關(guān)知識，解決特殊的三角形的存在性問題．要用到分類討論的思想，對想象力、分析能力和運算能力都有要求，根據(jù)題目中的條件利用等腰三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化建立方程求解．能力拓展能力拓展考點一：存在全等三角形全等三角形的存在性問題考察了全等三角形的性質(zhì)，利用邊的關(guān)系結(jié)合兩點間的距離公式構(gòu)造等量關(guān)系，主要的題型是求點的坐標(biāo)．1．（2022春·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D（不與點B重合）在BC上，點E是AB的中點，過點A作交DE延長線于點F，連接AD，BF．(1)求證：△AEF≌△BED．(2)若BD＝CD，求證：四邊形AFBD是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由ASA證全等即可；（2）根據(jù)對角線互相平分的證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明∠ADB＝90°，進(jìn)而根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形得證．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E為AB的中點，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四邊形AFBD是矩形．【點睛】本題考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠了解矩形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．2．（2021秋·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，其中點E在BC的延長線上，點G在DC的延長線上，點H在BC邊上，連結(jié)AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．（1）求證：△ABH≌△HEF；（2）如圖2，當(dāng)H為BC中點時，連結(jié)DF，求DF的長；（3）如圖3，將菱形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°，使點E在AC上，點F在CD上，點G在BC的延長線上，連結(jié)EH，BF．若EH⊥BC，請求出BF的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)兩個菱形中，點E在BC的延長線上，點G在DC的延長線上這一特殊的位置關(guān)系和CE＝BH可證明相應(yīng)的邊和角分別相等，從而證明結(jié)論；（2）由AB＝BC，∠ABC＝，可證明△ABC是等邊三角形，從而證明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的長；（3）作FM⊥BG于點M，當(dāng)EH⊥BC時，可證明CH＝CM＝CG＝BH，從而求出BM、FM的長，再由勾股定理求出BF的長．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，∴AB＝BC，CE＝EF，∵CE＝BH，∴BH＝EF，∵BH+CH＝CE+CH，∴BC＝HE，∴AB＝HE；∵點E在BC的延長線上，點G在DC的延長線上，∴AB∥DG∥EF，∴∠B＝∠E，在△ABH和△HEF中，，∴△ABH≌△HEF（SAS）．（2）如圖2，設(shè)FH交CG于點P，連結(jié)CF，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BH＝CH，∴AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，由（1）得，△ABH≌△HEF，∴∠HFE＝∠AHB＝90°，∵DG∥EF，∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，∴PF⊥CG，∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°，∴△GFC是等邊三角形，∴PC＝PG＝CG；∵BC＝AB＝2，∴CG＝EF＝BH＝BC＝1，∴PC＝；∵CD＝AB＝2，∴PD＝+2＝，∵CF＝CG＝1，∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2＝，∴．（3）如圖3，作FM⊥BG于點M，則∠BMF＝90°，∵EH⊥BC，即EH⊥BG，∴EH∥FM，∵∠CEF＝∠ACB＝60°，∴EF∥MH，∴四邊形EHMF是平行四邊形，∵∠EHM＝90°，∴四邊形EHMF是矩形，∴EH＝FM；∵EF＝EC，∠CEF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴CE＝CF，∵∠EHC＝∠FMC＝90°，∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL），∴CH＝CM＝CG；∵CG＝CE＝BH，∴CH＝BH，∴CM＝CH＝BC＝×2＝，∴CF＝CG＝2CM＝2×＝，∴＝（）2﹣（）2＝，∵BM＝2+＝，∴．【點睛】本題主要考查了幾何綜合，其中涉及到了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定及性質(zhì)等，熟悉掌握幾何圖形的性質(zhì)和合理做出輔助線是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點A，點B，點P(x，y)是直線AB上一動點（點P不與點A重合），點C的坐標(biāo)為(6，0)，O是坐標(biāo)原點，設(shè)△PCO的面積為S．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，△PCO的面積為15；（3）過點P作AB的垂線與x軸、y軸分別交于點E，點F，

是否存在這樣的點P，使△EOF≌△BOA?若存在，求出點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【難度】★★★【解析】（1）∵直線與x軸交于點A，∴．∵點P(x，y)是直線上一動點，∴．當(dāng)時，，當(dāng)時，；令，當(dāng)時，，解得：，此時，P(3，5)，當(dāng)時，，解得：，此時，P(13，－5)；（3）∵△EOF≌△BOA，∴，，當(dāng)E(8，0)，F(xiàn)(0，－8)時，則直線EF的解析式為，令，解得：，∴；當(dāng)E(－8，0)，F(xiàn)(0，8)時，則直線EF的解析式為，令，解得：，∴．綜上，當(dāng)△EOF≌△BOA時，點P

的坐標(biāo)為或．【總結(jié)】考察動點與面積的結(jié)合及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意進(jìn)行分類討論．4．（上海八年級期末）如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點A，B，以AB為邊作正方形ABCD（點D落在第四象限）．（1）求點A，B，D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)OC，設(shè)正方形的邊CD與x相交于點E，點M在x軸上，如果△ADE與△COM全等，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）A（-2，0），B（0，4），D（2，-2）；（2）M（5，0）．【分析】(1)由于一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x、y軸分別交于點A、B，所以利用函數(shù)解析式即可求出A、B兩點的坐標(biāo)，然后作DF⊥x軸于點F，由四邊形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AFD=90o，AB=AD，接著證明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DF=AO=2，AF=BO=4，從而求出點D的坐標(biāo)；(2)過點C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，用求點D的方法求得點C的坐標(biāo)為（4，2），得出OC=2，由A、B的坐標(biāo)得到AB=2，從而OC=AB=AD，根據(jù)△ADE與△COM全等，利用全等三角形的性質(zhì)可知OM=AE，即OA=EM=2，利用C、D的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，得出點E的坐標(biāo)，根據(jù)EM=2，即可求出點M的坐標(biāo).【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點A，B，∴A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，如圖1，過點D作DF⊥x軸于F，∴∠DAF+∠ADF=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAO=90°，∴∠ADF=∠BAO，在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴DF=OA=2，AF=OB=4，∴OF=AF-OA=2，∵點D落在第四象限，∴D（2，-2）；（2）如圖2，過點C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，同（1）求點D的方法得，C（4，2），∴OC==2，∵A（-2，0），B（0，4），∴AB=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2=OC，∵△ADE與△COM全等，且點M在x軸上，∴△ADE≌△OCM，∴OM=AE，∵OM=OE+EM，AE=OE+OA，∴EM=OA=2，∵C（4，2），D（2，-2），∴直線CD的解析式為y=2x-6，令y=0，∴2x-6=0，∴x=3，∴E（3，0），∴OM=5，∴M（5，0）．故答案為(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0).【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).考點二：存在等腰三角形等腰三角形的分類討論是壓軸題中一個熱門考點，本類題目均和圖形運動有關(guān)，需要學(xué)生有較強的邏輯思維能力，能夠根據(jù)運動的性質(zhì)，把最終的圖形畫出，利用分類討論的思想，結(jié)合題目中的已知條件建立等量關(guān)系．1．（2022春·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，點在邊上，，垂足為點，以為邊作正方形，點在邊上，且位于點的左側(cè)，聯(lián)結(jié)．(1)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)四邊形是等腰梯形時，求的長；(3)聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時，求正方形的面積．【答案】(1)，定義域為：(2)(3)或【分析】（1）在中，利用勾股定理，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)，求出的定義域；（2）根據(jù)四邊形是等腰梯形時，為等腰直角三角形，，列式計算即可；（3）分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)，利用三線合一，得到：，列式求解；當(dāng)，在中，用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵四邊形為正方形，∴，∴，在中：，即：．∵，即：，解得：；∴，定義域為：；（2）解：如圖：當(dāng)四邊形是等腰梯形時，，則：為等腰直角三角形，∴，即：，解得：；∴的長為：；（3）解：∵點在內(nèi)部，∴，分兩種情況討論是等腰三角形．①當(dāng)時，∵，∴．即：．解得．此時．②當(dāng)時，．在中，由勾股定理，得即：，解得，∴．綜上，正方形的面積為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．2．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是邊AD上一點，把△ABP沿BP所在的直線翻折后得到△EBP，直線PE與邊BC相交于點F，點E在線段PF上．(1)如果點F和點C重合，求AP；(2)設(shè)AP＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出定義域；(3)連接DF，如果△PDF是以PF為腰的等腰三角形，求AP的長．【答案】(1)2(2)y＝（2≤x＜6）(3)【分析】（1）首先證明PC＝BC，在Rt△PDC中，利用勾股定理求出PD即可解決問題；（2）先證明FB＝FP＝y(tǒng)，推出EF＝PF﹣PE＝y(tǒng)﹣x，Rt△BEF中，，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題；（3）分兩種情形分別構(gòu)建方程求解即可；（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠D＝90°，由翻折不變性可知：∠APB＝∠CPB，∵ADBC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠PBC＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∴，∴PA＝AD﹣PD＝10﹣8＝2．（2）如圖2中，∵由翻折不變性可知：∠APB＝∠FPB，∠A＝∠PEB＝90°，PA＝PE＝x，AB＝BE＝6，∵ADBC，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APB＝∠PBC，∴∠PBF＝∠FPB，∴FB＝FP＝y(tǒng)，∴EF＝PF﹣PE＝y(tǒng)﹣x，在Rt△BEF中，∵，∴，∴y＝（2≤x＜6）．（3）①如圖3中，當(dāng)PF＝PD時，由（2）可知BF＝PF＝PD，∴x+y＝10，∴x10，整理得：3x2﹣20x+36＝0，∵，此種情形不存在．②如圖4中，當(dāng)FP＝FD時，在Rt△DFC中，DF＝y(tǒng)，CD＝6，CF＝10﹣y，∴，∴y，∴，解得x＝10（舍棄）或．∴PA，綜上所述，滿足條件的AP的值為．

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是用分類討論的思想解決問題．3．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┮阎喝鐖D，在矩形中，，，，垂足是點是點關(guān)于的對稱點，連接、．(1)求和的長；(2)若將沿著射線方向平移，設(shè)平移的距離為平移距離指點沿方向所經(jīng)過的線段長度，當(dāng)點分別平移到線段、上時，直接寫出相應(yīng)的的值．(3)如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一個角，記旋轉(zhuǎn)中的為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點，與直線交于點，是否存在這樣的、兩點，使為等腰三角形？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)3或(3)存在，，，，【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫出圖形，如答圖所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰有種情形，如答圖所示，對于各種情形分別進(jìn)行計算．【詳解】（1）解：在中，，，由勾股定理得：．，．在中，，，由勾股定理得：．（2）設(shè)平移中的三角形為，如答圖所示：由對稱點性質(zhì)可知，．由平移性質(zhì)可知，，，．當(dāng)點落在上時，，，，，即；當(dāng)點落在上時，，，，，，又易知，為等腰三角形，，∴，即．（3）存在．理由如下：在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰依次有以下種情形：如答圖所示，點落在延長線上，且，易知，，，，，．在中，由勾股定理得：．；如答圖所示，點落在上，且，易知，，，，則此時點落在邊上．，，，．在中，由勾股定理得：，即：，解得：，；如答圖所示，點落在上，且，易知．，，．，．，，，∴，∴．在中，由勾股定理得：，；如答圖所示，點落在上，且，易知．，，，，∴，．綜上所述，存在組符合條件的點、點，使為等腰三角形；的長度分別為、、或【點睛】本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉(zhuǎn)與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識點．第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論；在計算過程中，注意識別旋轉(zhuǎn)過程中的不變量，注意利用等腰三角形的性質(zhì)簡化計算．4．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┧倪呅蜛BCD為菱形，點P為對角線BD上的一個動點．(1)如圖1，連接AP并延長交BC的延長線于點E，連接PC，求證：∠AEB=∠PCD；(2)如圖1，若PA=PD且PC⊥BE時，求此時∠ABC的度數(shù)；(3)若∠ABC=90°且AB=6，如備用圖，連接AP并延長交射線BC于點E，連接PC，若△PCE是等腰三角形，求線段BP的長．【答案】(1)見解析(2)∠ABC=60°；(3)線段BP的長為3-3或9-3．【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形得AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，證明△PAD≌△PCD，得∠PAD=∠PCD，因為∠PAD=∠AEB，所以∠AEB=∠PCD；（2）先證明△ABP≌△CBP，得∠PAB=∠PCB=90°，再推導(dǎo)出∠E=∠PBE=∠PBA，則3∠E=90°，得∠E=30°，所以∠ABC=90°-∠E=60°；（3）分兩種情況，一是點E在邊BC上，PE=CE，可推導(dǎo)出∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，得∠PAB=30°，先求得BE=2，作PF⊥BC于點F，則∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，得PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∠FPE=∠PAB=30°，可求得EF=3-，則BP=BF=3-3；二是點E在邊BC的延長線上，PC=EC，則∠CPE=∠E，先推導(dǎo)出∠E=30°，再求得BE=6，作PF⊥BC于點F，則∠PFE=∠PFB=90°，∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，BF=PF，可求得BF=PF=9-3，則BP=BF=9-3．（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，∴∠PAD=∠AEB，∵PD=PD，∴△PAD≌△PCD（SAS），∴∠PAD=∠PCD，∴∠AEB=∠PCD；（2）解：如圖2，∵AB=CB，∠PBA=∠PBC，PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∵PC⊥BE，∴∠PAB=∠PCB=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PAD=∠E，∠PDA=∠PBE，∴∠E=∠PBE，∴∠E=∠PBE=∠PBA，∵∠E+∠PBE+∠PBA=90°，∴3∠E=90°，∴∠E=30°，∴∠ABC=90°-∠E=60°；（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，AB=6，∴四邊形ABCD是正方形，AD=AB=BC=DC=6，∴∠BAD=∠BCD=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴BD=，如圖3，點E在邊BC上，PE=CE，∵△ABP≌△CBP，∴∠PCB=∠PAB，∵∠PCB=∠CPE，∴∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，∵∠AEB+∠PAB=90°，∴2∠PAB+∠PAB=90°，∴∠PAB=30°，∴AE=2BE，∵AB2+BE2=AE2，∴62+BE2=（2BE）2，∴BE=2，作PF⊥BC于點F，則∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，∴PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∴∠FPE=∠PAB=30°，∴PE=2EF，∴BF=PF=EF，∴EF+EF=2，∴EF=3-，∴BF=PF=（3-）=3-3，∴BP=BF=（3-3）=3-3；如圖4，點E在邊BC的延長線上，PC=EC，則∠CPE=∠E，∵△ABP≌△CBP，∴∠PAB=∠PCB=∠CPE+∠E=2∠E，∵∠PAB+∠E=90°，∴2∠E+∠E=90°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=12，∵AB2+BE2=AE2，∴62+BE2=122，∴BE=6，作PF⊥BC于點F，則∠PFE=∠PFB=90°，∴∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，∴BF=PF，∴EF==PF=BF，∴BF+BF=6，∴BF=PF=9-3，∴BP==BF=（9-3）=9-3，綜上所述，線段BP的長為3-3或9-3．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、二次根式的混合運算等知識，此題難度較大．5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖像與x、y軸分別相交于點A和B，以AB為邊作正方形ABCD．(1)求點A、B、D的坐標(biāo)．(2)設(shè)點M在x軸上，如果△ABM為等腰三角形，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)A（﹣2，0），B（0，4），D（2，﹣2）；(2)M點的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣2﹣2，0）或（2﹣2，0）或（3，0）【分析】（1）由于一次函數(shù)y＝2x+4的圖像與x、y軸分別相交于點A、B，所以利用函數(shù)解析式即可求出AB兩點的坐標(biāo)，然后過D作DH⊥x軸于H點，由四邊形ABCD是正方形可以得到∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD，接著證明△ABO≌△DAH，最后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DH＝AO＝2，AH＝BO＝4，從而求出點D的坐標(biāo)；（2）運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，數(shù)形結(jié)合，即可解決問題．（1）∵當(dāng)y＝0時，2x+4＝0，解得x＝﹣2．∴點A（﹣2，0）．∵當(dāng)x＝0時，y＝4．∴點B（0，4）．過D作DH⊥x軸于H點，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，∴∠ABO＝∠DAH．∴△ABO≌△DAH．∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴OH＝AH﹣AO＝2．∴點D（2，﹣2）．（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴AB＝，①當(dāng)AB＝MB時，∵OB⊥AM，∴OM＝OA＝2，∴M（2，0）；②當(dāng)AB＝AM時，則OM＝OA+AM＝2+，∴M（﹣2﹣，0）；③當(dāng)AB＝AM時，則AM＝AB＝2，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣2，∴M（2﹣2，0）．④當(dāng)MB＝MA，設(shè)M(a,0)，根據(jù)題意，得，解得a=3，故M（3，0），綜上，M點的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣2﹣2，0）或（2﹣2，0）或（3，0）．【點睛】該題主要考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等；解題的關(guān)鍵是靈活運用、大膽猜測、科學(xué)解答．6．（2022春·上海·八年級上海市民辦揚波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長為5的菱形ABCD如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸正半軸上，點D在x軸負(fù)半軸上，點．(1)求AB所在直線的解析式；(2)如果直線l經(jīng)過點C且與直線平行，點是y軸上的一個動點．①當(dāng)點P在線段OB上（點P不與O、B重合），過點P作平行于x軸的直線分別交線段AB于M、交直線l于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；②當(dāng)點P在y軸正半軸上，如是等腰三角形，求t的值．【答案】(1)y=x+4；(2)①d=12?t（0<t<4）；②t的值為或4或．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)及B點坐標(biāo)，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的長，則可求得A點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；（2）①由菱形的性質(zhì)可求得C點坐標(biāo)，則可求得直線l的解析式，從而可用t分別表示出M、N的坐標(biāo)，則可得到d關(guān)于t的函數(shù)解析式，結(jié)合P在線段OB上可求得t的取值范圍；②用t可分別表示出PC、PD的長，結(jié)合C、D坐標(biāo)可求得CD的長，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三種情況可分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．（1）解：∵B(0，4)，∴OB=4，∵四邊形ABCD為菱形，且邊長為5，∴AB=AD=BC=CD=5，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3，∴A(3，0)，設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b，∴，解得∴AB所在直線的解析式為y=x+4；（2）解：①由題意可知C(?5，4)，∵直線l經(jīng)過點C且與直線y=x平行，∴可設(shè)直線l解析式為y=x+m，∴4=?5+m，解得m=9，∴直線l解析式為y=x+9，∵過點P作平行于x軸的直線分別交AB于M、交直線l于N，且P(0，t)，∴M、N點的縱坐標(biāo)為t，在y=x+4中，令y=t，可解得x=3?t，在y=x+9中，令y=t可得x=t?9，∴d=3?t?(t?9)=12?t，∵點P在線段OB上（點P不與O、B重合），∴0<t<4；②∵A(3，0)，AD=5，∴D(?2，0)，且C(?5，4)，P(0，t)，∴PC2=52+(t?4)2=t2?8t+41，PD2=22+t2=t2+4，CD2=(?5+2)2+42=25，∵△PCD為等腰三角形，∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況，當(dāng)PC=PD時，則有t2?8t+41=t2+4，解得t=；當(dāng)PC=CD時，則有t2?8t+41=25，解得t=4；當(dāng)PD=CD時，則t2+4=25，解得t=√或t=?（舍去）；綜上可知當(dāng)△PCD是等腰三角形時，t的值為或4或．【點睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中求得A點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）①中用t表示出M、N的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中利用t分別表示出PD、PC和CD的長是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．7．（2022秋·上海·八年級上外附中?？计谀┤鐖D1，梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，聯(lián)結(jié)，點沿梯形的邊，從點移動，設(shè)點移動的距離為為．(1)當(dāng)點從點移動到點時，與的函數(shù)關(guān)系如圖2中的折線所示.試求的長；(2)在(1)的情況下，點從點移動的過程中，是否可能為等腰三角形？若能，請求出所有能使為等腰三角形的的取值；若不能，請說明理由．(此題無需寫括號理由)【答案】(1)1(2)能，x的值為0或14或3或5?或或11或9＋．【分析】（1）作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝，得出CD＝BE＝AB?AE＝1；（3）分情況討論：①點P在AB邊上時；②點P在BC上時；③點P在AD上時；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．(1)解：由圖得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB?AE＝1；(2)解：可能；理由如下：分情況討論：①點P在AB邊上時，當(dāng)PD＝PB時，P與A重合，x＝0或x＝14；當(dāng)DP＝DB時，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；當(dāng)BP＝BD＝時，AP＝5?，即x＝5?；②點P在BC上時，存在PD＝PB，此時，x＝5＋＝；③點P在AD上時，當(dāng)BP＝BD＝時，過點B作BH⊥AD于H，如圖所示：則BH?AD＝DE?AB，即×BH×5＝×3×5，∴BH＝3，∴DH＝＝＝1，∴DP＝2，∴x＝5＋3＋1＋2＝11；當(dāng)DP＝DB＝時，x＝5＋3＋1＋＝9＋；綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或14或3或5?或或11或9＋．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度．8.如圖，函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿著直線AB翻折，點C落在點D處，求直線AD的解析式；（3）在x軸上是否存在E，使△ADE為等腰三角形?若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【難度】★★★【解析】（1）∵函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴，，∴∴．∵等邊△ABC，∴，．∵，∴，∴；（2）∵，，∴D在y軸上，∵，∴，∴直線AD的解析式為：；（3）設(shè)E（，0），則，，．當(dāng)時，，解得：，此時E（，0），或E（，0）；當(dāng)時，，解得：，此時E（，0），或E（，0）（舍去）；當(dāng)時，，解得：，此時E（，0），∴綜上所述，滿足條件的E點坐標(biāo)為：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．【總結(jié)】本題主要考察一次函數(shù)解析式的求法和等腰三角形分類討論，注意對直角三角形性質(zhì)的運用．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C(－4，－4)作平行于軸的直線交AB于點D，CD=10．（1）求直線的解析式；（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；（3）將直線沿軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時，直線與，軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．【難度】★★★【解析】（1）∵過點C(－4，－4)作平行于軸的直線交AB于點D，∴．∵CD=10，∴，解得：，∴直線的解析式為：；（2）∵直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點A、B，∴A(8，0)，B(0，4)，∴，，，∴，，∴△ABC是等腰直角三角形；（3），，，．（通過△A′B′P是等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形．）【總結(jié)】考察等腰三角形的證明及一次函數(shù)解析式的確定．10．（2021·上海八年級期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點是坐標(biāo)原點，點坐標(biāo)為，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到直線．（1）求直線的表達(dá)式；（2）求的值；（3）在直線上有一點，其縱坐標(biāo)為1．若軸上存在點，使是等腰三角形，請直接寫出滿足要求的點的坐標(biāo)．【答案】（1）y=x；（2）k=；（3）當(dāng)△ABC是等腰三角形時，點C的坐標(biāo)為（，0）或（6,0）或（，0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）如圖，作AE⊥OA交直線y=kx于E，AD⊥x軸于D，EH⊥AD于H，證明△OAD≌△AEH，得到AH=OD=3，EH=AD=4，即可求出點E的坐標(biāo)求解；（3）先確定點B與點E重合，即B（7,1），由勾股定理求出AB=，分三種情況：①當(dāng)AC=BC時，②當(dāng)AB=AC=5時，③當(dāng)AB=BC=5時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）設(shè)直線OA的解析式為y=mx，將點A坐標(biāo)代入，得3m=4，解得m=，∴直線OA的解析式為y=x；（2）如圖，作AE⊥OA交直線y=kx于E，AD⊥x軸于D，EH⊥AD于H，∵∠AOE=，∠OAE=，∴∠AEO=∠AOE=，∴OA=AE，∵AD⊥x，，EH⊥AD，∴∠ADO=∠AHE=∠OAE=，∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH=，∴∠OAD=∠AEH，∴△OAD≌△AEH，∴AH=OD=3，EH=AD=4，∴HD=1，∴點E的坐標(biāo)為（7,1），將點E的坐標(biāo)代入y=kx中，得7k=1，解得k=；（3）∵點B在直線y=x上，縱坐標(biāo)為1，∴點B與點E重合，即B（7,1），∵A（3，4），B（7,1），∴AB=，分三種情況：①當(dāng)AC=BC時，作CM⊥AB，則AM=BM，∴M(5，2.5)，∵CM∥OA，∴設(shè)直線CM的解析式為y=x+n，∴，解得n=，∴y=x，當(dāng)y=0時，x=0，解得x=，∴點C的坐標(biāo)為（，0）；②當(dāng)AB=AC=5時，∵OA=AB，∴AC=OA，∴OC=6，∴點C的坐標(biāo)為（6,0）；③當(dāng)AB=BC=5時，作BN⊥x軸于N，∵ON=7，BN=1，BC=5，∴CN==，∴OC=ON+CN=，∴點C的坐標(biāo)為（，0），綜上，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，點C的坐標(biāo)為（，0）或（6,0）或（，0）．．【點睛】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，這是一道一次函數(shù)的綜合題，解題中注意運用分類思想解決問題．11．（上海八年級期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，設(shè)AD＝x，△AOB的面積為y．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1，設(shè)點P、Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯(lián)結(jié)OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）滿足條件的AD的值為10﹣10．【分析】（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點，只要證明△BDE是等腰直角三角形即可解決問題；（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由題意OA=x，OB=5，根據(jù)y=?OA?OB計算即可；（3）分三種情形討論即可解決問題；【詳解】（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，∴四邊形ACED為平行四邊形，AC＝DE，AD＝CE，∵AB＝CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，又AC⊥BD，∴∠BOC＝90°∵AC∥DE∴∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC＝45°．（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，∵AD＝x，BC＝10，∴OA＝x，OB＝5，∴y＝．（3）如圖2中，①當(dāng)PQ＝PO＝BC＝5時，∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，∴PQ∥AC，PQ＝AC，∴AC＝10，∵OC＝5，∴OA＝10﹣5，∴AD＝OA＝10﹣10．②當(dāng)OQ＝OP＝5時，AB＝2OQ＝10，此時AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ABC＝90°，同理可證：∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，不符合題意，此種情形不存在．③當(dāng)OQ＝PQ時，AB＝2OQ，AC＝2PQ，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°＝∠BOC，顯然不可能，綜上所述，滿足條件的AD的值為10﹣10．【點睛】本題考查四邊形綜合題、梯形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.12．（上海八年級期末）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是邊AB的中點，聯(lián)結(jié)DE、CE，且DE⊥CE．設(shè)AD=x，BC=y．（1）如果∠BCD=60°，求CD的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)BD．如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值．【答案】（1）4；（2）x＞0，且；（3）【解析】（1）首先過點D作DH⊥BC，垂足為點H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的長，然后設(shè)CH=x，則CD=2x，利用勾股定理即可求得方程：x2+（2）2=4x2，解此方程即可求得答案；（2）首先取CD的中點F，連接EF，由梯形的中位線，可表示出EF的長，易得四邊形ABHD是平行四邊形，然后由勾股定理可得：（y﹣x）2+12=（x+y）2，繼而求得答案；（3）分別從CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．解：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H．∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，∴DH=AB=2，在Rt△DHC中，∵∠BCD=60°，∴∠CDH=30°．∴CD=2CH，設(shè)CH=x，則CD=2x．利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2．即得：x2+（2）2=4x2．解得x=2（負(fù)值舍去）．∴CD=4；（2）取CD的中點F，連接EF，∵E為邊AB的中點，∴EF=（AD+BC）=（x+y）．∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°．又∵DF=CF，∴CD=2EF=x+y．由AB⊥BC，DH⊥BC，得∠B=∠DHC=90°．∴AB∥DH．又∵AB=DH，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴BH=AD=x．即得CH=|y﹣x|，在Rt△DHC中，利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2．即得（y﹣x）2+12=（x+y）2．解得，∴所求函數(shù)解析式為．自變量x的取值范圍是x＞0，且；（3）當(dāng)△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形時，有兩種可能情況：CD=BD或CD=BC．（i）如果CD=BD，由DH⊥BC，得BH=CH．即得y=2x．利用，得．解得，．經(jīng)檢驗：，，且不合題意，舍去．∴；（ii）如果CD=BC，則x+y=y．即得x=0（不合題意，舍去），綜上可得：．“點睛”此題屬于四邊形的綜合題．考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．考點三：存在直角三角形直角三角形的特征非常明顯，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直角三角形中一般有兩個頂點是確定的，另一個頂點在某個函數(shù)圖像上，通常用兩點間的距離公式表示出第三條邊后再討論三角形的哪個角有可能是直角，根據(jù)這個直角的條件結(jié)合題目條件進(jìn)行計算，此類綜合題需要用到的知識較多，需要考察學(xué)生的思維、分析能力．1．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形中，，是邊的中點．已知，．(1)連接，求證；(2)如圖，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)當(dāng)為直角三角形時，求邊的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）連接并延長交的延長線于，判斷出≌，得出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，再判斷出，即可求出答案；（3）分兩種情況①當(dāng)時，判斷出≌，得出，進(jìn)而判斷出，即可得出答案；②當(dāng)時，過點D作DF⊥BC于點F，，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程，即可求出答案．（1）證明：如圖，連接并延長交的延長線于，，，，，，點是的中點，，≌，，，，；（2）解：，，，點是的中點，，，，，，，由（1）知，，，，，；（3）（3）是直角三角形，①當(dāng)時，如圖，，，，在和中，，≌，，，，，；②當(dāng)時，如圖，過點D作DF⊥BC于點F，設(shè)，由題意，四邊形ABFD是矩形，∴AB=DF，BF=AD=2，∴FC=x-2，在Rt△DFC中，；，在Rt△BDC中，，在Rt△ABD中，，∴，，（舍去負(fù)值），③∠DBM=時，不符合題意；綜上所述的長為或．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)校考期末）【探究與應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點O，證明以上個結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點的四邊形是正方形時，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時，直接寫出BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或2；圖形見解析；(4)或或【分析】（1）由平行四邊形的定義可得AD∥BC，AD=BC，由折疊的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用對頂角相等求得∠OCA和∠OED即可證明；（2）設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折疊的性質(zhì)可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°兩種情況作出圖形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)計算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三種情況，根據(jù)30°直角三角形的邊長關(guān)系和勾股定理計算求值即可；【詳解】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面積=OA?CD=；（3）解：①如圖，∠ACB=45°時，∠B=45°，AB=AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四邊形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如圖，∠ACB=90°時，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四邊形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如圖，∠ACB=60°時，∠B=30°，則∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如圖，∠ACB=90°時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=30°，則∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如圖，∠ACB=30°時，作AH⊥BC于點H，由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折疊的性質(zhì)可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，則BH=HC=BC，∴BC=2BH=，綜上所述BC的長為：或或.【點睛】本題考查了特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形，勾股定理等知識；正確作出圖形并分類討論是解題關(guān)鍵．3．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖1，已知O為正方形ABCD對角線的交點，點E在邊CB的延長線上，連結(jié)EO，OF⊥OE交BA延長線于點F，連結(jié)EF．(1)求證：EO＝FO；(2)若正方形的邊長為2，OE＝2OA，求BE的長；(3)當(dāng)OE＝2OA時，將△FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°時，試猜想并證明△AOE1是什么三角形．【答案】(1)見解析(2)(3)△AOE1是直角三角形【分析】（1）證明即可；（2）由正方形性質(zhì)及勾股定理可求得OA長，則可得OE、OF長，由勾股定理得EF長，在中，利用勾股定理建立關(guān)于BE的方程，解方程即可求得BE；（3）連結(jié)，過A做AM⊥，設(shè)OA=a，則由已知可得OE1、OM、AM、ME1的長，由勾股定理可求得AE1的長，再由勾股定理的逆定理即可判斷．(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∠OAB=∠OBC=45°．∴∠BOE+∠EOA=90°，．∵∠EOF＝∠AOF+∠EOA=90°，∴．∵，，，∴．∴OE＝OF．(2)∵正方形的邊長為2，∴由勾股定理得：．∴．∴．∴在中，由勾股定理得：．由（1）可得：．∵在中，由勾股定理得：，∴，解得：；(3)聯(lián)結(jié)，過A做AM⊥，如圖．∵∠BOE1＝30°，∴．設(shè)，則，，由勾股定理得：．∴．∴．∴．∴△AOE1是直角三角形．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運用，解題時注意從多個角度分析．4．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）已知：如圖，正方形ABCD的邊長為1，動點E、F分別在邊AB、對角線BD上（點E與點A、B都不重合）且AE＝DF．(1)設(shè)DF＝x，CF2＝y(tǒng)，求：y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)求證：FC＝FE；(3)是否存在以線段AE、DF、CF的長為邊的直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，【分析】（1）根據(jù)已知得出FG＝DG＝x，GC＝1﹣x，在Rt△FCG中，利用CF2＝CG2+FG2得出即可；（2）延長GF交AB于H，易證矩形AHGD，再利用SAS證明Rt△FCG≌Rt△EFH即可得出答案；（3）分別討論①若CF為斜邊以及②若AE為斜邊得出答案即可．（1）解：過F作FG⊥DC于G，則∠FGD＝∠FGC＝90°

∵正方形ABCD中，BD是對角線，∴∠BDG＝45°，∵∠FGD＝90°，DF＝x，∴FG＝DG＝x，∵正方形ABCD的邊長為1，∴GC＝1﹣x，在Rt△FCG中，CF2＝CG2+FG2＝（1﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+1，∴y＝x2﹣x+1（0＜x＜）；（2）延長GF交AB于H，∵∠A＝∠ADG＝∠DGH＝90°，∴四邊形AHGD是矩形，∴AH＝DG＝x，∵AE＝x，∴HE＝x，∴GF＝HE，CG＝FH，∵∠CGF＝∠FHE＝90°，∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），∴FC＝FE，（3）∵AE＝DF，∴DF＜AE，∴若存在以AE、DF、CF的長為邊的直角三角形，則DF不可能為斜邊，①若CF為斜邊，則x2+（x）2＝x2﹣x+12x2+x﹣1＝0，x＝，x＝（負(fù)值舍去），②若AE為斜邊，則x2+x2﹣x+1＝（x）2，解得：x＝，∵0＜x＜，∴舍去綜上所述當(dāng)x＝時，存在以AE、DF、CF的長為邊的直角三角形．【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定以及勾股定理應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出熟練利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．5．（2022春·上海青浦·八年級?？计谥校┮阎L方形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（8，6），點A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上的動點，設(shè)PC＝m．（1）已知點D在第一象限且是直線y＝2x＋6上的一點，設(shè)D點橫坐標(biāo)為n，則D點縱坐標(biāo)可用含n的代數(shù)式表示為，此時若△APD是等腰直角三角形，求點D的坐標(biāo)；（2）直線y＝2x＋b過點（3，0），請問在該直線上，是否存在第一象限的點D使△APD是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出這些點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）點D（4,14）；（2）存在第一象限的點D使△APD是等腰直角三角形，點D的坐標(biāo)或．【分析】（1）過點D作DE⊥y軸于E，PF⊥y軸于F，設(shè)D點橫坐標(biāo)為n，點D在第一象限且是直線y＝2x＋6上的一點，可得點D（n,2n+6）,根據(jù)△APD是等腰直角三角形，可得∠EDA=∠FAP，可證△EDA≌△FAP（AAS），可得AE=PF，ED=FA，再證四邊形AFPB為矩形，得出點D（n，14），根據(jù)點D在直線y＝2x＋6上，求出n=4即可；（2）直線y＝2x＋b過點（3，0），求出b=-6，設(shè)點D（x,2x-6），分三種情況當(dāng)∠ADP=90°，AD=DP，△ADP為等腰直角三角形，證明△EDA≌△FPD（AAS），再證四邊形OCFE為矩形，EF=OC=8，得出DE+DF=x+2x-14=8；當(dāng)∠APD=90°，AP=DP，△ADP為等腰直角三角形，先證△ABP≌△PFD（AAS），得出CF=CB+PF-PB=6+8-（x-8）=22-x=2x-6；當(dāng)∠PAD=90°，AP=AD，△ADP為等腰直角三角形，先證四邊形AFPB為矩形，得出PF=AB=8，再證△APF≌△DAE（AAS），得出求解方程即可【詳解】解：（1）過點D作DE⊥y軸于E，PF⊥y軸于F，設(shè)D點橫坐標(biāo)為n，點D在第一象限且是直線y＝2x＋6上的一點，∴x=n，y＝2n＋6，∴點D（n,2n+6）,∵△APD是等腰直角三角形，∴DA=AP，∠DAP=90°，∴∠DAE+∠FAP=180°-∠DAP=90°，∵DE⊥y軸，PF⊥y軸，∴∠DEA=∠AFP=90°，∴∠EDA+∠DAE=90°，∴∠EDA=∠FAP，在△EDA和△FAP中，，∴△EDA≌△FAP（AAS），∴AE=PF，ED=FA，∵四邊形OABC為矩形，B的坐標(biāo)為（8，6），∴AB=OC=8，OA=BC=6，∠FAB=∠ABP=90°，∵∠AFP=90°，∴四邊形AFPB為矩形，∴PF=AB=8，∴EA=FP=8，∴OE=OA+AE=6+8=14，∴點D（n，14