江蘇省南通市2023屆高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

南通市2023屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用

2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上

角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽

字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆和

涂改液.

3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1若集合M={x|2，>4},N={Mlog3X?l},則“DN=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>0}

C.{x[0<x<2或x>2}D.R

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可得

答案.

【詳解】解2、>4得尤>2,解log3》Kl得0〈無(wú)43,

故得M={x|x>2},N={x[0<xW3},

故A/uN={x|x>0},

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)Z,0）,滿足z2=0=^2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限，則

co1+co+2

）

A1

由B.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)2=。+例，co^c+di,利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】設(shè)2=。+例，CD=C+d\,

則z2=a>=^a2-b2^+2abi=c+di=(c?-d2^-2cch,

則c=一,，d—，所以69=—?-4-i,

2222

w，ab

當(dāng)所見哈

3+—?=0,解得a=±L,b=土立^，

則有ci~—

16a2222

又復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限，所以z='+@i，

22

Ct)~+69+2

代入可得

Z2+Z+12

故選：C

3.已知數(shù)列｛6,｝是遞增數(shù)列，且4=則實(shí)數(shù)/的取值范圍是

廣6,”>6

()、

A.(2,3)B.[2,3)1叫7，D.(1,3)

7

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列為遞增數(shù)列，列出不等式組求解即可.

<6,伍,｝是遞增數(shù)歹

【詳解】因?yàn)?/p>

3-/>0

所以《t>i，解得—<t<3

7f

(3-r)x6-8<r

所以實(shí)數(shù)f的取值范圍為（岑,3）,

故選：c

4.俄國(guó)著名飛機(jī)設(shè)計(jì)師埃格?西科斯基設(shè)計(jì)了世界上第一架四引擎飛機(jī)和第一種投入生產(chǎn)

直升機(jī)，當(dāng)代著名的“黑鷹”直升機(jī)就是由西科斯基公司生產(chǎn)的.1992年，為了遠(yuǎn)程性和

安全性上與美國(guó)波音747競(jìng)爭(zhēng)，歐洲空中客車公司設(shè)計(jì)并制造了A340,是一種有四臺(tái)發(fā)

動(dòng)機(jī)的遠(yuǎn)程雙過(guò)道寬體客機(jī)，取代只有兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的4310.假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行

中出現(xiàn)故障率為1-P，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知A340飛機(jī)至少有3個(gè)引擎正

常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；A310飛機(jī)需要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才能成功飛行.

若要使A340飛機(jī)比A310飛機(jī)更安全，則飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是()

【答案】C

【解析】

【分析】

由獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式可得兩種飛機(jī)正常飛行的概率，解不等式即可得解.

【詳解】由題意，飛機(jī)引擎正常運(yùn)行的概率為"，

則A310飛機(jī)能成功飛行的概率為C"2=p2,

A340飛機(jī)能成功飛行的概率為《，3(1-〃)+屐。4=-304+4。3,

令-3//*+4p3>即一3p2+4〃>1,解得g<p<\.

所以飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是(o,|)

故選：C.

5.如圖，內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,若直

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)出切線AC和B。的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去根據(jù)判別式△=(),求得人,履

的表達(dá)式，根據(jù)AC與8。的斜率之積求得。和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，橢圓的

離心率可得.

22

【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為二+3=1(。〉人＞0),

ah

x2y2

由離心率相同可知，外層橢圓的方程為:―-+=

{ma){mb)

y=kx{x-md)

(bx)2+(ay)2=(ah)?

消去>得(b2+a2k^)x2-2ma3kfx+m2a4k^-a2b2=0

j2

由△=(),得k；=Z1

am2-1

設(shè)切線BD的方程為y=k2x+mhf

二[y=kx+mb

聯(lián)立〈；2)?

[(bx)2+(ay)2=(ab)92

消去y得S?+2m/必2工+加2々2匕2一二。，

h2

由A=0得代=—?(m2—1)，

a

=gr，

又直線AC與8。的斜率之積為一,，.?.%=,

4a24

/.a=2b,c=上b、：.e-

2

故選：c

6.已知函數(shù)/0）=5山（5+夕）（0>0,|同<1）,1=一?為/。）的零點(diǎn)，x=?為y=/（x）

圖象的對(duì)稱軸，且/“）在（白，（J）單調(diào)，則。的最大值為

lo36

A.11B.9

C.7D.5

【答案】B

【解析】

JT1T

【分析】根據(jù)已知可得3為正奇數(shù)，且3W12,結(jié)合x=-一為f（x）的零點(diǎn)，x=一為y

44

TT57r

=/（%）圖象的對(duì)稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合了（X）在（=，）上單調(diào)，可

1836

得3的最大值.

TTTT

【詳解】?.％=——為了（X）的零點(diǎn)，x=一為尸八X）圖象的對(duì)稱軸,

44

2〃+1e71=”2〃+12萬(wàn)7t

：.--------T=—,即-----------=-,(?GN)

424co2

即3=2W+1,(nGN)

即3為正奇數(shù)，

?.ya)在(工，—)上單調(diào)，

27r7i

即T=——>—,解得：a)^12,

CD6

IE

當(dāng)u)=ll時(shí)，------F(p—ku,依Z,

4

,兀

,?,|<pl<y.

兀

..(p

4

TT57r

此時(shí)了（工）在（―,—）不單調(diào)，不滿足題意;

1836

9兀

當(dāng)3=9時(shí)，--1+3=加，依Z,

V|（p|<|,

7T

，（P=——,

4

Jr57r

此時(shí)/（x）在（一，—）單調(diào)，滿足題意；

1836

故3的最大值為9,

故選8.

【點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性結(jié)合在一起進(jìn)行考查，題目新穎，是一道考查

能力的好題.注意本題求解中用到的兩個(gè)結(jié)論：①〃x）=Asin（?x+9）（AH0,oH0）

的單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度是最小正周期的一半;②若/（x）=Asin?x+e）（AHO,0HO）的圖像

關(guān)于直線x=玉）對(duì)稱，則/（七）=A或/（/）=-A.

7.已知實(shí)數(shù)a滿足In（e2+l）—l<ln（2a）<l+ln2,貝ij（）

A,e7,>aB-e?<aC'e<，''>4D,

e}

e"T<a-

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)In（e2+l）-l<ln（2a）<l+ln2得+對(duì)AB,構(gòu)造

g（x）=e*-J,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可；對(duì)CD,構(gòu)造函數(shù)函數(shù)

Inx

/（%）=-求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合所給不等式判斷即可.

X—1

【詳解】由ln（e2+l）—l<ln（2a）vl+ln2得1<；［e+，］<a<e,

對(duì)于選項(xiàng)A與B,函數(shù)g（x）=e—-在（0,+s）上單調(diào)遞增，則存在玉）￡（：,|）,使得

g（與）=°，即獷。=1,又三}含且含）,所以K>q，/<“均

有可能，即藍(lán)與。大小不確定.故A與B都不正確.

,1,

1nv1------Inx

對(duì)于選項(xiàng)C與D,令函數(shù)〃x)=H(x>l)得/，(力=x____

(IF

令g(x)=l-J-lnx(xNl)得，(》)=4一,=1^<0,所以g(x)在［l,+oo)上單調(diào)

XXXX

遞減

g(x)<g⑴=0,所以/'(")=/

所以當(dāng)X>1時(shí),<0,所以“尤)在(1,m)上

單調(diào)遞減,

又1cg(e+，)<a<e,所以/(a)>/(e),所以電：>也彳，即e"T</T，故D正

確.

故選：D

8.已知四棱錐P-ABC。外接球表面積為S,體積為匕PAL平面

ABCD,PA=4,NABC=22，且逋4V，則S的取值范圍是()

33

A.10^-<SB.20^-<SC.I。國(guó)WSD.

20備<S

【答案】B

【解析】

【分析】將已知生84V轉(zhuǎn)化為運(yùn)用余弦定理與基本不等式得到AC的取

值范圍,

由此運(yùn)用正弦定理得四邊形ABC。外接圓半徑的范圍，然后根據(jù)球的性質(zhì)得球半徑的

范圍，得解.

以四邊形A8CQ的外接圓為底，也為高，將四棱錐補(bǔ)形為一個(gè)已知球的內(nèi)接圓柱.

設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、R外接球的半徑，，則配=22+產(chǎn)，

V=3SABCD?PA=§^ABCDN個(gè)G,故^ABCD-，

SABCD=^ABBCsin^-+^ADDCsin^=~(ABBC+ADDC)>

所以AB-3C+Ar)￡)C24

在"RC中運(yùn)用余弦定理與基本不等式得：

AC2=AB2+BC2+ABBC>3ABBC>

在八4。。中運(yùn)用余弦定理與基本不等式得：

3AC2=3(AD2+DC2-AD-DC)>3AD-DC,

上兩式相加得：4AC2>3(AB-BC+ADDC)>12,

故有：AC2>3，

2

2/—4c?r-^_Arr>1>I

在44BC中由正弦定理得：一T'一I一，

sin——JJ

3

因此尺2=22+,25，S=4萬(wàn)R2220萬(wàn).

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.下列結(jié)論正確的是()

A.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，尸(X=l)=,，則。(X)=」

22

B.若隨機(jī)變量y的方差。(y)=2,則。(3丫+2)=8

(1

C.若隨機(jī)變量自服從二項(xiàng)分布84,；,則P?=3)=一

k2；4

D.若隨機(jī)變量〃服從正態(tài)分布N(5,CT2),P(〃<2)=0.1,則尸(2<〃<8)=0.8

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布以及方差的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分

析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=1)=J,則。(X)=

2

-x|1-TI=T>故A錯(cuò)誤：

2I4

對(duì)B：若隨機(jī)變量Y的方差。(丫)=2,則。(3丫+2)=9。(丫)=18,故錯(cuò)誤；

對(duì)C：若隨機(jī)變量自服從二項(xiàng)分布B(4,；),則P(4=3)=C：(g)=；，故正

確；

對(duì)D：若隨機(jī)變量〃服從正態(tài)分布N(5,b2),尸(〃<2)=0.1,則尸⑺>8)=01，

故尸(2<〃<8)=1—尸(〃<2)—尸(〃>8)=0.8,故正確.

故選：CD.

10.已知正方體ABC?！?4G。的邊長(zhǎng)為2,M為CG的中點(diǎn)，P為側(cè)面BCG4上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足AM〃平面48P,則下列結(jié)論正確的是()

A.AM1B.MB.。4〃平面48。

C.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為豆叵D.AM與4片所成角的余弦值為

3

此

3

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法判斷各選項(xiàng).

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，

則A(0,0,2),A(0,2,2),5(0,0,0),M(2,l,0),P(x,y,0),

所以祠=(0,-2,-2)，麗=(x,y,0),AM=(2,1,-2),

由AM〃平面aBP,

0+/u=2

得AA7=aA有+人3戶，即<-2。+b=1,化簡(jiǎn)可得3x—2y=0,

-2a=-2

所以動(dòng)點(diǎn)P在直線3x—2y=0上，

A選項(xiàng)：AM=(2,1,-2),^M=(2,-l,0),

W-^W=2x2+lx(-l)+(-2)x0=3^0,所以而與麗;不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)

誤;

B選項(xiàng)：CD、〃,ABu平面ABP,。2且平面48尸，所以C〃〃平面同田。，B

選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：動(dòng)點(diǎn)P在直線3x—2y=0上，且P為側(cè)面BCC4上的動(dòng)點(diǎn)，則p在線段

上，耳(q2,0),所以46='((1+22+02=2坐，c選項(xiàng)正確;

隔=(。,。,-2),3(甌畫=2匕+；+(一2)22

D選項(xiàng):3,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：BC

11.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線2：2x-2y-p=O與C

交于A,8兩點(diǎn)，以48為直徑的圓與y軸交于。，E兩點(diǎn)，貝I]()

A.\AB\=3pB.|DE\=y/lp

C./DEE是鈍角D.ADEF的面積小于AQIB的面積

【答案】BCD

【解析】

【分析】聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算|AB|=4〃，A錯(cuò)誤；計(jì)算

圓方程為：+(y-p『=4p2,計(jì)算得到B正確；計(jì)算而?兩<0,得到C

2

正確；SdDEF=亙P。，5AO.?=—p.D正確；得到答案.

ZALzZlr4*LXC/AD2*

【詳解】直線/：2x—2y-p=0過(guò)拋物線焦點(diǎn)b(go),設(shè)A&y),B(x2,y2),

r22\x+x=3p

,y=20px79n-l2

則〈.，x20-3px-^—=0,A=8〃9~>0,〈n2,

2x-2y-p=04XjX2=—

|AB|=x1+x2+/?=4p,A錯(cuò)誤;

AB中點(diǎn)坐標(biāo)為|AB|=4p=2r,r=2p,

圓方程為：；+(y-P)2=4p2,取X=0得到y(tǒng)=p,|f)￡|=V7p,B

正確；(s、(s、

不妨取。0,p---p,E0,p+—p,

\/\7

故戶萬(wàn)?/7￡'=-gp-^-p,--y,p+-y-p=一;〃2<。，￡>,旦尸不共線，故

(22八22J2

ZDEE是鈍角，C正確；

22

^DEF=^\DE\-\OF\=^x/jpx-^=^-p,S^OAB=1x4px-^==p,

S/\DEF<SQOAB,D正確；

故選：BCD

12.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,對(duì)任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)-/(y),則下列說(shuō)法正確的有()

A./(0)=1B./'(X)必為奇函數(shù)

120231

C./(x)+/(())>oD.若〃1)=，貝=5

Ln=\'

【答案】BCD

【解析】

【分析】賦值法求/(0)的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷

B；賦值法結(jié)合換元法判斷C;利用賦值法求得了(〃),〃€N*的值有周期性，即可求得

2023

工/(〃)的值，判斷D.

rt=l

【詳解】對(duì)于A,令x=y=0,則由/(x+y)+/(x-y)=2/(x>/(y)可得

2/(0)=2/⑼，

故/(0)=0或/(0)=1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)『(0)=0時(shí),令y=0,貝4(x)+/(x)=2〃x>/(0)=0,則于x)=0,

故/'(x)=0,函數(shù)用x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；

當(dāng)/(0)=1時(shí)，令x=o,則/(、)+/(-y)=2/(y),所以/(一y)=/(>),

“X)為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；

綜合以上可知/彳對(duì)必為奇函數(shù)，B正確；

對(duì)于C,令尤=y,則〃2x)+/(o)=2/2(x),故〃2力+/(0)20。

由于xeR,令，=2x/eR,即/。)+/(0)20,即有/(x)+/(0)20,故C正確；

對(duì)于D,若/⑴=g，令x=l,y=0,則/(1)+〃1)=2/(1>〃0),則/(0)=1,

故令x=y=l,則/(2)+/(。)=2,/(1),即/(2)+l=g,：J(2)=—

令x=2,y=l,則〃3)+/(1)=2〃2)"(1),即/(3)+3=_!:./(3)=_1,

令x=3,y=l,則/(4)+/(2)=2〃3)"(1),即/(4)—；=一1,，/(4)=一1，

令x=4,y=l,則/(5)+/⑶=2/(4)?/⑴，即/⑸-1=J(5)=；,

令x=5,y=l,則46)+/(4)=2"5)?/⑴，即〃6)—；=；,;./⑹=1,

令x=6,y=l,則/(7)+〃5)=2/(6)?/⑴，即〃7)+g=l,.,/X7)=；,

L

由此可得/(〃),"eN*的值有周期性，且6個(gè)為一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

20231

故?(〃)=337x"⑴+/⑵+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)=-,故D正確，

〃=12

故選：BCD

【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和特殊值以及求函數(shù)值的和的問(wèn)題，涉及到導(dǎo)數(shù)問(wèn)

題，綜合性強(qiáng)，對(duì)思維能力要求高，解答的關(guān)鍵是利用賦值法確定/5),〃eN*的周期性.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.今天是星期四，經(jīng)過(guò)7天后還是星期四，那么經(jīng)過(guò)2彌3天后是.

【答案】星期五

【解析】

【分析】利用周期含義以及指數(shù)運(yùn)算即可.

【詳解】根據(jù)題意，周期為7,26063=8202'=(7+1)202',所以a606?除以7的余數(shù)為1,即

經(jīng)過(guò)2班3天后，為星期五.

故答案為：星期五

14.單位圓中，A5為一條直徑，為圓上兩點(diǎn)且弦C。長(zhǎng)為也，則而?麗取值

范圍是?

［答案］一'!■一石，一

L22J

【解析】

［分析】由題設(shè)A(-1,O),B(l,0),C(cos6,sin(9),D(cos(^+120),sin(。+120°)),再根據(jù)

數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，由弦C。長(zhǎng)為白，可得NCOD=120。，

不妨設(shè)A(-l,0),B(l,0),C(cos0,sin6),D(cos(6+120),sin(6+120°)j,

則4C=(cos0+\,sinO'),BD-(cos(6+120°)-1,sin(9+120°)j,

所以衣.麗=(cose+l)[cos(0+120°)—l]+sinesin(e+12()°)

(i出A(?A

=(cos0+l)——cos。一一^-sinO-l+sin?！猻in?+-~?cos。

I22J122J

V3./)33

=------sin3——cos0——

222

=-V3sin(^+60°)-1e

一1-G,-g+G?

22J

一33

故答案為：一彳一6,-彳+\/5.

L22J

15.已知函數(shù)/(x)=d-2?+2x,則曲線y=/(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,l)的切線方程是

【答案】x-y=0或3x—4y+l=0.

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)，然后求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到該點(diǎn)處的切線方程，再代入點(diǎn)4(1,1)即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為卜，/一2一+2。,對(duì)y=/(x)求導(dǎo)得：

j(x)=3/-4x+2,...4=3廠一4r+2,

切線方程為：y-(尸一2廣+2。=(3廠—4f+2)(x—,

切線過(guò)4(1,1),.?.1_(尸―2/+2。=(3/_射+2)(1_)

13

解之：r=一或1,所以斜率％或1,

24

又過(guò)A(l,l),

代入點(diǎn)斜式得切線方程為：3%-4丁+1=?；颍?丫=0,

故答案為：x-y=O或3x-4y+l=0.

3*

16.設(shè)數(shù)列｛6,｝首項(xiàng)q=前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2a“+1+S“=3(〃eN),則滿足

34S,,16

—<—<—的所有n的和為__________.

S33鹿1D

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)4=〈二。c求出數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

求出色，從而可得出答案.

【詳解】解：由2a,川+S“=3,得2an+Sn_t=3(〃>2),

兩式相減得2arl+i-2an+an=0(〃>2),

則%=g4("N2),

31

當(dāng)〃=1時(shí)，2%+4=3,所以出=]=54，

所以數(shù)列｛4｝是以I為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，

所以15<2"<33，所以〃=4或5,

即所有〃的和為4+5=9.

故答案為：9.

四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫

出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，只有答案沒有過(guò)程的不能得分.

sinA

17.在△ABC中，記角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知tanB=

2-cosA

(1)若tan8=4，求tanC的值:

2

(2)已知中線AM交BC于"，角平分線AN交BC于M且AM=3,例N=l,求△A8C

的面積.

【答案】(1)tanC=-2或tanC=2；

【解析】

3

【分析】(1)利用同角關(guān)系式可得sinA=1或sinA=l，然后利用和角公式即得；

(2)由題可得sinC=2sinB,利用角平分線定理及條件可得創(chuàng)I=3,CN=2,進(jìn)而可

得4=工，b2=—,即得.

25

【小問(wèn)1詳解】

sinA

因?yàn)?/p>

2-cosA2

2sinA+cosA=2

所以《

sin2A+cos2A=1

3

解得sinA=二或sinA=1,

331

當(dāng)sinA=一時(shí)，tanA=-,tanS=—,

542

31

---1---

所以tan（A+8）=—=2=-tanC,tanC=-2；

1—x

42

當(dāng)sinA=1時(shí)，因?yàn)镺vAv4,

所以A=工，又tan3=,，

22

所以tanC=2.

【小問(wèn)2詳解】

八sinA

tanB=----------，

2-cosA

sinBsinA小?八.八.八

------=-----------,2sinn-sinncosA4=sinAxcosB，

cosB2-cosA

/.2sinB=sinBcosA+sinAcos5=sin（A+B）,即sinC=2sinB，

c=2/?,

ARRNC

由角平分線定理可知，一=—二一=2,BN=2CN,又MN=1,BM=CM,

ACCNb

所以BM=3,CN=2,

1Ji

由A〃=-3C=3,可得A=—,

22

___7236

；?Zr+c?="=36,b~=—,

1136

所以S=—be=—2t0r=b~0=一.

225

18.已知數(shù)列｛q｝成等比數(shù)列，S“是其前w項(xiàng)的和，若5人1,5?+3，縱+2卜€(wěn)河）成等差數(shù)

列.

(1)證明：%+H%+3，%+2成等差數(shù)列;

(2)比較S3+S3與25"的大小;

八11113n-l

(3)若q〉0,〃為大于1的奇數(shù)，證明：—+—+77+…?一+—>^—■

SiS2S3Sn2at

【答案】(1)證明見解析

⑵S；+]+S3>ZS"

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)得4=49=一；，。1+%+2=2。&+3即可；

ak+2,

(2)作差法比較即可；

13/iy,+1

(3)利用等比數(shù)列求和公式可得丁=表1-'/，然后進(jìn)行求和即可得到答案

2+(-1)_

【小問(wèn)1詳解】

由題知,&+]+Sk+2=2Sk+3,

所以SHI+5從]+%+2=2(Sk+]+ak+2+4+3),

所以2%+3=-4+2>

所以公比4=4"=一〈，

所以ak+]+4+2=%+i2%+i?(一=2ak+3,

所以ak+l+ak+2~2%.+3，

所以4+1，%+3，處+2成等差數(shù)歹人得證

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得S工+S3-2S3=s*+S工—2(S〃；S*+2)2=⑸二1+2」，

因?yàn)镾jt+1—SR+2=—4+2，0，

所以S；M+s工一2s3=(%![%1>0，

所以珠+S2>2S".

【小問(wèn)3詳解】

由(1)和題意得，

3](-1嚴(yán)

所以丁=

3”2q2"+(-1),,+,

所以

11113f11111)

23n-1

51S2S3S?2ali2'+12-12+12-12"+1J

3,1、/1、/1

=焉[(”/(]/…十(E2"+l)

QI

>———(q>0,〃=2k+1,&eN*).得證

2q

19.2020年，新冠病毒席卷全球，給世界各國(guó)帶來(lái)了巨大的災(zāi)難面對(duì)疫情，我們偉大的祖

國(guó)以人民生命至上為最高政策出發(fā)點(diǎn)，統(tǒng)籌全國(guó)力量，上下一心，進(jìn)行了一場(chǎng)艱苦的疫情

狙擊戰(zhàn)，控制住了疫情的蔓延并迅速開展相關(guān)研究工作.某醫(yī)療科學(xué)小組為了了解患有重

大基礎(chǔ)疾病(如，糖尿病、高血壓…)是否與更容易感染新冠病毒有關(guān)，他們對(duì)疫情中心

的人群進(jìn)行了抽樣調(diào)查，對(duì)其中50人的血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下表：

感染新冠病毒未感染新冠病毒合計(jì)

不患有重大基礎(chǔ)疾病15

患有重大基礎(chǔ)疾病25

合計(jì)30

(1)請(qǐng)?zhí)顚?x2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為患有重大基礎(chǔ)疾病更容易感染新冠

病毒；

(2)在抽樣調(diào)查過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)某樣本小組5人中有1人感染新冠病毒，需要通過(guò)化驗(yàn)血液

來(lái)確定感染者，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性即為感染者，呈陰性即未感染.下面是兩種化驗(yàn)方

法：

方法一：逐一檢驗(yàn)，直到檢出感染者為止；

方法二：先取3人血液樣本，混合在一起檢驗(yàn)，如呈陽(yáng)性則逐一檢驗(yàn)，直到檢出感染者為

止；如呈陰性，則檢驗(yàn)剩余2人中任意1人血液樣本.

①求方法一的化驗(yàn)次數(shù)大于方法二的化驗(yàn)次數(shù)的概率；

②用X表示方法二中化驗(yàn)的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.

P（K』）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

附：K=-----\：(adybc)------,其中n=a+b+c+ci.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

【答案】（1）填表見解析；有；（2）①一；②2.4（次）.

25

【解析】

25

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，計(jì)算/=一＞6.635,所以有99%的把握認(rèn)

3

為患重大基礎(chǔ)疾病更容易感染新冠病毒.

（2）①記4（，=1，2,3,4）表示依方法一需化驗(yàn)，次，鳥（j=2,3）表示依方法二需化驗(yàn),

次，分別計(jì)算P（4）和尸（與），分析計(jì)算，即可得答案.

②X的可能取值為2,3,分別計(jì)算P（X=2）和尸（X=3）,代入公式，即可求得期望.

【詳解】解：（1）列聯(lián)表完成如下圖

感染新冠病毒未感染新冠病毒合計(jì)

不患有重大基礎(chǔ)疾病101525

患有重大基礎(chǔ)疾病20525

合計(jì)302050

^2J0X(10X5-20X15)^25>6635

30x20x25x253

所以有99%的把握認(rèn)為患重大基礎(chǔ)疾病更容易感染新冠病毒.

（2）記4。=1,2,3,4）表示依方法一需化驗(yàn)i次，鳥。=2,3）表示依方法二需化驗(yàn)/次,

A表示方法一化驗(yàn)次數(shù)大于方法二的化驗(yàn)次數(shù)，

依題意知A3與約相互獨(dú)立.

①P（4）=?,P（4）=gx；=:，尸（A）=gx%:=g,p（4）=；x%；=1

產(chǎn)（坊）=裊+品r=|，*員）=舞=:

由于4=3,82+4

所以

13213

P（A）=P（Afi2+A4）=P（AB2）+P（A4）=P（A）.P（B2）+P（A4）=-x-+-=-

n

即尸伊）=王

②X的可能取值為2,3.

P（X=2）=P（&）4+&=|,P（X=3）=P（4）=矍［

3212

所以EX=2X2+3XW=&=2.4（次）

555

【點(diǎn)睛】獨(dú)立性檢驗(yàn)一般步驟：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計(jì)算K?；

（3）查表比較K?與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷.

20.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.

①麗?（可+而）=0；②PC=幣;③點(diǎn)P在平面ABCZ）的射影在直線4。上.

如圖，平面五邊形以BCO中，△A4D是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AD//BC,

AB=2BC=2,AB1BC,將AQAD沿AO翻折成四棱錐P—ABCD,E是棱PD上

的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），F(xiàn),M分別是AB,CE的中點(diǎn)，且______.

（1）求證：RW〃平面外。；

（2）當(dāng)EF與平面孫。所成角最大時(shí)，求平面4CE與平面A8CD所成的銳二面角的余弦

值.

【答案】（1）證明見解析

（2）

17

【解析】

【分析】（1）取C。中點(diǎn)為G,可得MG〃ED,FG//AD,再由線面平行、面面平行

的判定定理可得答案；

（2）取A。為O,連接PO,FG,EG.

選擇①：由麗?（身+而）=0得B4J_尸O,再由線面垂直的判定定理可得84,平面

PAD.

ArI

則NAEE即為EF與平面勿。所成的角，由tan/AEF=——=——,當(dāng)AE最小時(shí)，

AEAE

NAE戶最大，E為的中點(diǎn)，AE最小.

再求二面角余弦值：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C為x軸，。。為y軸，OP為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，求出平面CAE的法向量和平面ABCD的法向量，再由二面角的向量求法可

得答案；

選擇②：連接OC,可得84LPO,由線面垂直的判定定理可得84_L平面必。，則

ApI

NAEE即為E尸與平面勿。所成的角.由tanNAEF=——=—,得AE最小時(shí)，

AEAE

/AEE最大，

E為PD的中點(diǎn)，AE最小.

再求二面角余弦值

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C為x軸，0。為），軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

求出平面CAE的法向量和平面A8CQ的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；

選擇③：P在平面ABCD的射影在直線AD上，得平面平面A3CD,

由面面垂直的性質(zhì)得5A_L平面PAD,4E五即為EF與平面外。所成的角，

A/71

tanZAEF=——=—,當(dāng)AE最小時(shí)，/AE步最大，即E為PO中點(diǎn)，AE最小.

AEAE

再求二面角余弦值，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。C為x軸，。。為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

求出平面CAE的法向量和平面A8CD的法向量，再由二面角的向量求法可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

取CC中點(diǎn)為G,連接MG,FG,

則MG,FG分別為三角形CDE,梯形A8CO的中位線，

：.MG//ED,FG//AD,

MGu平面M7VG,MG<Z平面Q4O,所以MG〃平面P4Z）,

同理，F(xiàn)G〃平面PAD,

?..MGC|FG=G,...平面MNG〃平面辦。，

?/FMu平面MGF,：.FM〃平面PAD.

p

【小問(wèn)2詳解】

B乙'C

取AO為0,連接尸O,FG,EG,

選擇①：

因?yàn)锽A?（麗+麗）=0,PA+PD-=2PO-所以B&P0=O，即B4_LPO,

又B4LAD,AD^PO^O,所以6AJ_平面曲。，

連接AE,EF,所以/AEE即為EF與平面玄。所成的角，

4/71

因?yàn)閠an/AEF=——=—,所以當(dāng)AE最小時(shí)，NAEF最大,

AEAE

所以當(dāng)AE_LPZ），即E為尸。的中點(diǎn)，AE最小，

下面求二面角余弦值，

,/BAu平面ABCD,...平面ABCD上平面PAD,

;平面ABCDJ■平面B4Q,平面ABCDc平面R4Z）=AZ）,

：PO_LAD,PO工平面ABC。，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C為X軸，0。為y軸，。尸為Z軸，

（1百）

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0,—l,0）,E0,-,^-,C（2,0,0）,

（22）

所以立=0,-,^-,AC=（2,1,0）,

設(shè)平面CAE的法向量為加=（X］，x，zJ,

則治+￥馬=&,令",得而=（；,-1,同，

2%,+y,=0I）

由題意可知：平面ABC。的法向量為3=（0,0,1）,

m-n2A/ST

所以cos（犯〃

所以平面ACE與平面陰。所成的銳二面角的余弦值為2亙.

17

選擇②：

連接0C,則OC=A3=2,0P=6,

因?yàn)镻C=J7，PC2=OP2+OC2>所以B4LPO,

又84_LAD,ADC\PO=O,所以區(qū)4,平面南。

連接AE,EF,所以—AEE即為E尸與平面以。所成的角，

AF1

因?yàn)閠anNAEEu----=-----,所以當(dāng)AE最小時(shí)，NAE尸最大,

AEAE

所以當(dāng)A￡_LP￡>，即E為PD的中點(diǎn)，AE最小，

下面求二面角余弦值，

BAu平面ABCD,.,.平面ABC。1平面PAD,

?.?平面ABCD1平面平面ABCD/O平面E4￡）=4）,

POLAD,：.PO1平面ABCD,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C為X軸，。。為），軸，OP為Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

于是A（0,—l,0）,小，；，￡|，C（2,0,0），所以荏=。，|，乎

AC=（2,1,0）,設(shè)平面CAE的法向量為〃z=（x，y,Z|）,

則弓凹+圣，令4=G得拓的t同

2%+y=°

由題意可知：

平面ABCD的法向量為n=（0,0,1）,

m?n_2V5T

所以cos（機(jī)，幾

所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為名畫.

選擇③：

因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ABCD的射影在直線AD上，所以平面PAD，平面ABCD,

因?yàn)槠矫媸珹Oc平面ABCD=CD,。尸u平面以。AD1PO,

所以O(shè)PJ_平面4BCD,所以84J.PO.又B4LAD，ADQPO^O,

所以胡，平面PAD,

連接AE,EF,所以/AE尸即為EF與平面南。所成的角，

4/71

因?yàn)閠an/AEF=——=—,所以當(dāng)4E最小時(shí)，NAEF最大,

AEAE

所以當(dāng)AE_LPD，即E為尸￡>中點(diǎn)，4E最小.

下面求二面角余弦值，

BAu平面ABCD1...平面ABCD1平面PAD,

;平面ABCDC平面以。，平面ABCDc平面24￡>=4）,