近五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編14篇之14 不等式選講解析版

近五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編十四、不等式選講（答案解析）1．（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【小結(jié)】解絕對值不等式的方法有零點(diǎn)分段法、幾何意義法．解含有兩個絕對值，且其中的的系數(shù)相等時，可以考慮利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義求解；利用絕對值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號的條件.2．（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【解析】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.3．（1）或；（2）.【分析】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【解析】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的解集為或.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：或，的取值范圍為.【小結(jié)】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型.4．（1）解析解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．【解析】（1）因?yàn)?，作出圖象，如圖所示：（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：由，解得．所以不等式的解集為．【小結(jié)】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．5．.【分析】由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段即可求得不等式的解集.【解析】當(dāng)x<0時，原不等式可化為，解得x<–：當(dāng)0≤x≤時，原不等式可化為x+1–2x>2，即x<–1，無解；當(dāng)x>時，原不等式可化為x+2x–1>2，解得x>1.綜上，原不等式的解集為.【小結(jié)】本題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解和推理論證能力．6．(1)；(2)見解析.【分析】(1)根據(jù)條件，和柯西不等式得到，再討論是否可以達(dá)到等號成立的條件.(2)恒成立問題，柯西不等式等號成立時構(gòu)造的代入原不等式，便可得到參數(shù)的取值范圍.【解析】(1)故等號成立當(dāng)且僅當(dāng)而又因，解得時等號成立所以的最小值為.(2)因?yàn)?，所?根據(jù)柯西不等式等號成立條件，當(dāng)，即時有成立.所以成立，所以有或.【小結(jié)】兩個問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型.7．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，，三種情況，即可求出結(jié)果；（2）分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.【解析】（1）當(dāng)時，原不等式可化為；當(dāng)時，原不等式可化為，即，顯然成立，此時解集為；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，此時解集為空集；當(dāng)時，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時解集為空集；綜上，原不等式的解集為；（2）當(dāng)時，因?yàn)椋杂煽傻?，即，顯然恒成立；所以滿足題意；當(dāng)時，，因?yàn)闀r，顯然不能成立，所以不滿足題意；綜上，的取值范圍是.【小結(jié)】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型.8．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.【解析】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即：（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立）又【小結(jié)】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立.9．4【解析】分析：根據(jù)柯西不等式可得結(jié)果.解析：證明：由柯西不等式，得．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，不等式取等號，此時，所以的最小值為4．小結(jié)：本題考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0或存在一個數(shù)k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立．10．（1）見解析（2）【解析】分析：（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出在各自定義域的圖像即可．（2）結(jié)合（1）問可得a，b范圍，進(jìn)而得到a+b的最小值解析：（1）的圖像如圖所示．（2）由（1）知，的圖像與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，在成立，因此的最小值為．小結(jié)：本題主要考查函數(shù)圖像的畫法，考查由不等式求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．11．（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式的解集為；(2)根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.解析：（1）當(dāng)時，，即故不等式的解集為．（2）當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．若，則當(dāng)時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．小結(jié)：該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區(qū)間上恒成立求參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點(diǎn)分段法將其化為分段函數(shù)，從而將不等式轉(zhuǎn)化為多個不等式組來解決，關(guān)于第二問求參數(shù)的取值范圍時，可以應(yīng)用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進(jìn)行分類討論，求得結(jié)果.12．(1)；(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．解析：（1）當(dāng)時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當(dāng)時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．小結(jié)：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．13．（1）；（2）.【分析】（1）由于f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2與x＞2兩類討論即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依題意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，設(shè)g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三類討論，可求得g（x）max，從而可得m的取值范圍．【解析】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴當(dāng)﹣1≤x≤2時，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；當(dāng)x＞2時，3≥1恒成立，故x＞2；綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．（2）原式等價于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設(shè)g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），當(dāng)x≤﹣1時，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其開口向下，對稱軸方程為x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；當(dāng)﹣1＜x＜2時，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對稱軸方程為x∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）1；當(dāng)x≥2時，g（x）＝﹣x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；綜上，g（x）max，∴m的取值范圍為（﹣∞，]．【小結(jié)】本題考查絕對值不等式的解法，去掉絕對值符號是解決問題的關(guān)鍵，突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．14．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）分，，三種情況解不等式；（2）的解集包含，等價于當(dāng)時，所以且，從而可得．試題解析：（1）當(dāng)時，不等式等價于.①當(dāng)時，①式化為，無解；當(dāng)時，①式化為，從而；當(dāng)時，①式化為，從而.所以的解集為.（2）當(dāng)時，.所以的解集包含，等價于當(dāng)時.又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.小結(jié):形如(或)型的不等式主要有兩種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為，，(此處設(shè))三個部分，將每部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)圖像法：作出函數(shù)和的圖像，結(jié)合圖像求解．15．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）分，，三種情況解不等式；（2）的解集包含，等價于當(dāng)時，所以且，從而可得．試題解析：（1）當(dāng)時，不等式等價于.①當(dāng)時，①式化為，無解；當(dāng)時，①式化為，從而；當(dāng)時，①式化為，從而.所以的解集為.（2）當(dāng)時，.所以的解集包含，等價于當(dāng)時.又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.小結(jié):形如(或)型的不等式主要有兩種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為，，(此處設(shè))三個部分，將每部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)圖像法：作出函數(shù)和的圖像，結(jié)合圖像求解．16．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由柯西不等式即可證明，（2）由a3+b3＝2轉(zhuǎn)化為ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，問題得以證明．【解析】證明：（1）由柯西不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)ab5＝ba5，即a＝b＝1時取等號；（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立．【小結(jié)】本題考查了不等式的證明，掌握柯西不等式和均值不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題．17．見解析【解析】試題分析：由柯西不等式可得，代入即得結(jié)論．試題解析：證明：由柯西不等式可得：，因?yàn)樗?，因?18．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】試題分析：（I）先去掉絕對值，再分，和三種情況解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再進(jìn)行因式分解，進(jìn)而可證當(dāng)，時，．試題解析：（I）當(dāng)時，由得解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，從而，因此【考點(diǎn)】絕對值不等式，不等式的證明.【名師小結(jié)】形如（或）型的不等式主要有兩種解法：（1）分