第07講空間向量的應(yīng)用（七大題型）（原卷版）

第07講空間向量的應(yīng)用【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式.知識點(diǎn)詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點(diǎn)詮釋：一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡單的作為平面的法向量．知識點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．知識點(diǎn)四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識點(diǎn)詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。R點(diǎn)五、用向量方法求空間距離1、求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離.【典例例題】題型一：求平面的法向量例1．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求平面的一個(gè)法向量.

例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個(gè)法向量；(2)平面的一個(gè)法向量.例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個(gè)法向量.題型二：利用向量研究平行問題例4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點(diǎn).分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

(1)求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(2)求證：EF∥平面ACD1.例5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為，證明：直線平面.例6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點(diǎn)．求證：平面平面.例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.題型三：利用向量研究垂直問題例8．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).(1)求證：.(2)求證：平面.例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.例10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：平面DEA⊥平面ECA.例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，證明：．

題型四：異面直線所成的角例14．（2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．例15．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例16．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（

）A． B． C． D．例17．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A． B．C． D．例18．（2023·北京順義·高二牛欄山一中校考期中）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求證：AB⊥A1C；（2）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)F，使得異面直線AC1與BF所成角為60°，若存在，求出AF長；若不存在，請說明理由．例19．（2023·河南安陽·高二?？茧A段練習(xí)）如圖：在三棱錐中，底面，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.題型五：線面角例20．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐中，底面，，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)在棱上，且．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．例21．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點(diǎn)E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.例22．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，.(1)求證：平面；(2)若E為PC的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.例23．（2023·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．(1)求證：平面MBD；(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．例24．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)校考期中）四棱錐中，底面，四邊形是正方形，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.例25．（2023·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┰谌庵?，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)P在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.題型六：二面角例26．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)求銳二面角的余弦值.例27．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．例28．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．例29．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，．(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值．例30．（2023·湖南株洲·高二統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.例31．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值．例32．（2023·四川廣安·高二廣安二中校考期中）如圖，在三棱錐中，底面．，D為中點(diǎn)，且．(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值．例33．（2023·福建南平·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱BC的中點(diǎn)，AB=4，AA1=3.(1)證明：A1D⊥B1C1；(2)若E為棱AB上一點(diǎn)，且滿足A1E⊥DE，求二面角A-A1E-C的正弦值例34．（2023·江西南昌·高二南昌二中?？茧A段練習(xí)）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點(diǎn)F為PB中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．(1)求證：平面AFC；(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時(shí)，三棱錐的體積為．例35．（2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，M，N分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn).(1)證明：；(2)是否存在點(diǎn)D，使得平面與平面夾角的余弦值為？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段的長.例36．（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面PAD；(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．題型七：距離問題例37．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐的底面是菱形，對角線，交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)直線與平面所成角的正弦值；(2)點(diǎn)到平面的距離.例38．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面AEF的距離．例39．（2023·河南漯河·高二?？计谀┰诶忾L為4的正方體中，點(diǎn)P在棱上，且．(1)求直線與平面所成的角的正弦值大小；(2)求點(diǎn)P到平面的距離．例40．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離為；(2)求到平面的距離．例41．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．例42．（2023·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為___________.例43．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若，兩點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)A到直線l的距離為______.例44．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中點(diǎn)，M是棱CC1上的點(diǎn)，且CC1=3CM，則直線BM與B1N之間的距離為____.例45．（2023·湖南懷化·高二校聯(lián)考期末）正方體中，棱長為，則直線與的距離為__________．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·廣東江門·高二江門市培英高級中學(xué)?？计谥校┮阎本€l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．92．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為a，設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面α的一個(gè)法向量，點(diǎn)在α內(nèi)，則到α的距離為（

）A．10 B．3C． D．5．（2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（

）A．若向量、共線，則向量、所在的直線平行；B．若向量、所在的直線是異面直線，則向量、一定不共線；C．若直線l的方向向量為，平面的法向量，則l；D．若、、是空間三個(gè)向量，則對空間任一向量，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.6．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，為線段EF上的一動點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．（2023·江蘇·高二南師大二附中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題是真命題的有(

)A．A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥αD．平面α經(jīng)過三點(diǎn)，是平面α的法向量，則u+t＝111．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校c(diǎn)P在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，并保持，若正方體邊長為，則的可能取值是（

）A． B． C． D．12．（2023·廣西·高二校聯(lián)考期中）如圖，為正方體，邊長為1，下列說法正確的是（

）

A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為三、填空題13．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)校考期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在軸上，且，則M的坐標(biāo)是_____________.14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則