理論力學(xué)習(xí)題6

2.1求均勻扇形薄片的質(zhì)心，此扇形的半徑為a，所對(duì)的圓心角為2，并證半圓片的質(zhì)心離圓心的距離為。解：如圖所示。以扇形薄片頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)軸ox，由對(duì)稱性知，質(zhì)心必在x軸上。對(duì)于半圓片

設(shè)均勻扁形薄片面密度為，則：

2.3重W為的人，手里拿著一個(gè)重為w的物體，此人用與地平線成角的速度向前跳去，當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，將物體以相對(duì)速度u水平向后拋出。問由于物體的拋出，跳的距離增加了多少？解：如圖所示，建立固定坐標(biāo)系

設(shè)人拋出物體后的速度為，物體拋出后相對(duì)于地面的速度為，方向如圖所示，且：

Oxy人拋出物體前后水平方向無外力作用，動(dòng)量守恒。則有：

所以人落地時(shí)跳的距離增加為：

到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，則：

比不拋重物速度增加：

2.4質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為m2，又可在光滑水平面上自由滑動(dòng)，試求：(a)質(zhì)點(diǎn)水平方向的加速度；(b)劈的加速度；(c)劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)的反作用力R1；(d)水平面對(duì)劈的反作用力R2。

解：取隔離體，受力分析如圖所示。建立固定直角坐標(biāo)系，動(dòng)系

質(zhì)點(diǎn)m1的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

方向

方向：

以上六式聯(lián)立可解出：

方向：

方向：

直角劈的運(yùn)動(dòng)微分方程為：2.5半徑為a，質(zhì)量為M的薄圓片，繞垂直于圓片并通過圓心的豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，求繞此軸的動(dòng)量矩。解：如圖所示，將圓片分成許多小圓環(huán)，厚度為，薄圓片面密度:

半徑為r的小圓環(huán)的質(zhì)量：

O速度為：動(dòng)量矩：其大?。?/p>

整個(gè)圓片對(duì)軸的動(dòng)量矩方向相同，則大小為：2.7質(zhì)量為M，半徑為a的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿此半球面滑下，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的初位置與球心的連線和豎直向上的直線間所成之角為，并且初始時(shí)此系統(tǒng)是靜止的，求此質(zhì)點(diǎn)滑到它與球心的連線和豎直向上直線間所成之角為時(shí)之值。解：如圖所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球的速度為（沿切線），半球相對(duì)地的速度為，方向水平向左，取地面為慣性參照系，水平方向合外力為零，動(dòng)量守恒，有：

只有保守力作功，機(jī)械能守恒。

（1）（2）（1）（2）兩式聯(lián)立得：（1）（2）

2.8一光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩者均為完全彈性體，且兩球的質(zhì)量相等，則兩球碰后的速度互相垂直，試證明之。證明：由動(dòng)量守恒得：

由機(jī)械能守恒得：

(1)(2)整理得：

(4)(3)用分別點(diǎn)乘（3）式后相加得：

由（4）式知：又證：由（3）得：

由（4）式知：

(4)(3)用分別點(diǎn)乘（3）式后相加得：

你覺互得這語種看償法對(duì)光嗎？宏如不求正確老，錯(cuò)喜在什吧么地慘方？答：書此看悔法不架對(duì)。局題中籃在利撥用對(duì)皮固定辨點(diǎn)（網(wǎng)岸）圈的動(dòng)淘能定捧理時(shí)詳，沒訪有考毯慮鐵堅(jiān)球拋打出前市后船嗽和人翅的速扶度變鄭化，茂從而挨未計(jì)債入船斃和人革的動(dòng)益能，昂造成淘錯(cuò)誤信，正稱確做膠法是述：設(shè)船慨和人尚的質(zhì)香量為M，球的桌質(zhì)量享為m，以岸繡為參山照系秒，設(shè)頂鐵球蹈拋出狂后船夾和人來的速版度為U，而鐵筑球相外對(duì)船被的速討度為v，方向獎(jiǎng)如圖舒所示螺。2.蛛8輪船測(cè)以速饒度V行駛銜，一賣人在瞞船上盟將一漲質(zhì)量肝為m的鐵呢球以離速度v向船港首拋皇去，怕有人惰認(rèn)為子：這宿時(shí)人掉做的錄功為州：如果：在此澤過程忙中，炒人所凝作的愧功為挪：將代入中：此過途程中售，水祥平方槳向無駛外力浙作用四，動(dòng)瘡量守餐恒則敵：在鐵晝球拋棉出前殃后，廊其初壟動(dòng)能注和末噴動(dòng)能緊為：2.倍11在光墳滑的本水平閃桌面顯上，面有質(zhì)松量為m的兩拆個(gè)質(zhì)弊點(diǎn)，躍用一送不可精伸長(zhǎng)航的繩唱緊直醫(yī)相連喉，繩富長(zhǎng)為a，設(shè)其衣中一琴質(zhì)點(diǎn)漆受到刻一個(gè)繞與繩叼正交假的沖忍量I的作東用，胸求證封此后渣兩質(zhì)岸點(diǎn)將誓各作局圓滾蹈線運(yùn)患動(dòng)，掃且其攪能量紛之比摔為：啊，式央中t為沖熔力作遠(yuǎn)用的密時(shí)間毛。證：雞設(shè)體陰系質(zhì)粥心速球度為vc，則：所以雜質(zhì)心準(zhǔn)作勻銀速直雅線運(yùn)評(píng)動(dòng).在質(zhì)心系中，由動(dòng)量矩守恒得：

——兩質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，上式表明為常數(shù)，表明兩質(zhì)點(diǎn)繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且：由科承尼希估定理撕得：（1）（2）兩手式代鳳入（3）得翠：在質(zhì)艘心坐盛標(biāo)系沖中，頸兩質(zhì)奧點(diǎn)的蝦坐標(biāo)夾為：在靜廟止坐歷標(biāo)系o-水xy中，醫(yī)兩質(zhì)恨點(diǎn)的默坐標(biāo)暑為：這兩江組方剪程均億為擺妥線的權(quán)參數(shù)員方程綿，故氣兩質(zhì)桐點(diǎn)作冤擺線墊運(yùn)動(dòng)盡。兩質(zhì)匯點(diǎn)的訊能量究為：其能量之比為：

2.憑6一炮眼彈的暈質(zhì)量衡為M1+M2，射出螞時(shí)的盒水平搬及豎彩直分睬速度枯為U和V，當(dāng)炮來彈達(dá)訂到最排高點(diǎn)撲時(shí)，其其內(nèi)站部的獄炸藥挎產(chǎn)生賞能量E，使此箭炸彈揉分為M1及M2兩部漫分，構(gòu)在開咸始時(shí)滿，兩懲者仍旱按原豆方向樣飛行共，試勉求它壩們落斯地時(shí)寇相隔謀的距續(xù)離，鍋不計(jì)揪空氣英阻力攝。解法1：選地晚面為月參照日系，崖建立制坐標(biāo)般系設(shè)炸慘藥分冶為M1、M2兩部瞞分后搭，其稿相對(duì)介地的她速度逼為U1、U2，方向鴿沿原軟方向怒，如伯圖所之示.能量守恒：

(2)水平方向動(dòng)量守恒:(1)xyOM1、M2

落地時(shí)相隔的距離為：豎直方向速度：

⑴、⑵兩式聯(lián)立求出U1和U2，則M1、M2兩者之間速度差為：

(1)(2)解法2：選M1、M2構(gòu)成膝的質(zhì)哥點(diǎn)組邀的質(zhì)財(cái)心為沫參照吧系，矛設(shè)炸敲藥爆壺炸后羊相對(duì)遺質(zhì)心板的速應(yīng)度分剝別為礙和迅，歪方向揭相同他。在質(zhì)壯心坐棍標(biāo)系響中，膀水平求方向吊動(dòng)量蝴守恒裝：由動(dòng)能定理有：

(2)(1)故落誘地時(shí)甘兩者疑相隔逮的距葛離為薦：到達(dá)最高點(diǎn)：

⑴、⑵兩式聯(lián)立求出，則兩者之間速度差為：(2)(1)2.產(chǎn)10質(zhì)量柏為m2的光駁滑球戀用一漲不可顛伸長(zhǎng)創(chuàng)的繩束系于眠固定移點(diǎn)A，另一錘質(zhì)量戀為m1的球長(zhǎng)以與炊繩成霜角的譯速度貪與m2正碰圣，試悼求m1及m2碰后仇開始領(lǐng)運(yùn)動(dòng)今的速賊度熄及毫，紡設(shè)恢編復(fù)系怖數(shù)e為已瀉知。解：m2被限亞制在劈燕圓周附上運(yùn)獅動(dòng)，挺在垂杠直于漂繩的啟方向塌上動(dòng)欲量守踏恒：(1)在兩店球心蹦連線序上，鋤由恢援復(fù)系何數(shù)e的定嫩義有寫：(2)（1）（2）兩電式聯(lián)掀立得歐：(1)(2)2.擦12質(zhì)量國為m1的球莫以速劃度燦與暢質(zhì)量驅(qū)為m2的靜蜜止球婦正碰米，求踩碰撞信后兩御球相設(shè)對(duì)質(zhì)霧心的蟻速度沃和。又蠢起始董時(shí)，斗兩球政相對(duì)死于質(zhì)圖心的傳動(dòng)能巾是多之少？肝恢復(fù)畜系數(shù)甲為e已知雖。解：設(shè)兩銷球碰待撞前艷、后坡相對(duì)騾質(zhì)心助的速倚度大智小為V1、V2及腸、沈方刮向相漂同則兩爸球碰養(yǎng)前相靜對(duì)質(zhì)默心的母速度裂：質(zhì)心速度為：與同向碰前兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能：

（1）（2）兩式聯(lián)立得：(2)在質(zhì)心系中：(1)由恢復(fù)系數(shù)定義有：

2.披13長(zhǎng)為l的均煙勻細(xì)減鏈條保伸直性地平階放在此水平陜光滑請(qǐng)桌面佳上，婆其方紀(jì)向與轉(zhuǎn)桌邊學(xué)緣垂流直，進(jìn)此時(shí)熊鏈條甘的一佳半從敢桌上艦下垂陵，起嬌始時(shí)堡，整杜個(gè)鏈剪條是早靜止疫的，點(diǎn)試用攤兩種焰不同累的方乒法，廟求此廳鏈條難的末赤端滑永到桌滲子的屢邊緣開時(shí)，渴鏈條杰的速價(jià)度v.解：方法1，用質(zhì)鑄心運(yùn)揪動(dòng)定兇理求萍解如圖所示，建立坐標(biāo)ox，以整個(gè)鏈條為研究對(duì)象，任意時(shí)刻垂下鏈條受到的力為：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：積分：方法2：由日動(dòng)能眠定理艙得：方法3：由換機(jī)械劇能守零恒得宇：（轎以桌射面為撐零勢(shì)纏面）方法4：由頁變質(zhì)織量動(dòng)炒力學(xué)業(yè)方程畫求解本問狐題屬帥于：修，其開動(dòng)力方學(xué)方雹程簡(jiǎn)抗化為南：以垂下鏈條為主體，（為鏈條的線密度）對(duì)（1）式投影：（2）（3）兩式聯(lián)立得：對(duì)豎直方向的鏈條有：(2)對(duì)桌面上的鏈條有：(3)(1)2.券16雨滴扣下落借時(shí)，運(yùn)其質(zhì)勝量的澡增加供率與些雨滴蔽的表凡面積肥成正今比，蹄求雨