第18講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系誘導(dǎo)公式（精講）高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第09講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式（精講）題型目錄一覽①“知一求二”問題②已知tanα求sinα，cosα齊次式的值③sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用④誘導(dǎo)公式化簡與求值⑤誘導(dǎo)公式的應(yīng)用一、知識點梳理一、知識點梳理一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：；二、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．【常用結(jié)論】1．利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一“知一求二”問題策略方法對sinα，cosα，tanα的知一求二問題(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．2由一個角的任意一個三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，因為利用”平方關(guān)系”公式，需求平方根，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.【典例1】已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由于，所以因此，故選：A【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由，，求出，再得出，根據(jù)得出答案．【詳解】因為，，所以，所以，所以，故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊不在坐標軸上，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合易知條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求出cosα，從而求出sinα，根據(jù)即可求得結(jié)果．【詳解】或，∵的終邊不在坐標軸上，∴，∴，∴．故選：A．3．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，即得解.【詳解】∵，∴∴∵，∴.故選：D二、填空題4．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考開學(xué)考試）已知是第四象限角，且，則______．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】因為是第四象限角，且，所以，故答案為:.5．（2023春·上海奉賢·高三校考階段練習(xí)）已知角為的內(nèi)角，，則_________．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)，即可求解.【詳解】由條件可知，.故答案為：三、解答題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的值.【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】解：因為，所以，同號，且，所以，，因為所以，解得，因為，所以題型二已知tanα求sinα，cosα齊次式的值策略方法若已知正切值，求一個關(guān)于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，對于分母為1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．【典例1】已知，則（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】利用“齊次式”和條件可直接求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：B.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦化切可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因為，解得，所以，.故選：A.2．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）已知，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再將正切值代入即可.【詳解】因為，所以，故選：A.3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知方程，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，用齊次式方法處理后得，將值代入即可得出答案.【詳解】方程，化簡得，則，分子分母同時除以可得：，將代入可得，故選：B.4．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A．－3 B． C．3 D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡條件，再利用二倍角公式將目標式化為齊次式，代入正切值可得.【詳解】因為，所以.故選：B.5．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由題解得，再由求解即可.【詳解】由，解得，所以.故選：A.二、填空題6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________【答案】【分析】根據(jù)齊次式，由弦化切即可求值.【詳解】.故答案為：7．（2023·高三課時練習(xí)）若，則的值為______.【答案】【分析】先由求出，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及的值求的值即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，即，∴.故答案為：.三、解答題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知，求和的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）或；（2）【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關(guān)系以及平方關(guān)系，建立方程，可得答案；【詳解】（1）由同角三角函數(shù)的商式關(guān)系，則，即，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，則，即，解得，由，可得，即可得或.（2）由，則，即，.題型三sinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用策略方法對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．【典例1】已知在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系分析運算，注意三角函數(shù)值的符號.【詳解】因為，則，可得，又，則，即，可得，又因為，所以.故選：B.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和二倍角公式求解即可.【詳解】，，解得.故選：D.2．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的正負，可得，從而求出的值.【詳解】因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.因為，所以.故選：B.3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系分析運算，注意三角函數(shù)值的符號的判斷.【詳解】由題意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因為，可得，所以.故選：D.二、多選題4．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系，結(jié)合完全平方公式可判斷各項.【詳解】對于A：因為所以即，所以A正確;對于B、C：因為，且，所以，即，所以所以B錯誤，C正確;對于D：聯(lián)立，解得所以，所以D正確.故選：ACD.三、填空題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則______．【答案】【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，并分析三角函數(shù)值的正負即可求解.【詳解】解：已知①，則，，，，則，，②，聯(lián)立①②，得，，故答案為：.6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則___________．【答案】【分析】根據(jù)的關(guān)系，即可平方得，結(jié)合同角關(guān)系以及二倍角公式即可求解.【詳解】由平方得，結(jié)合得，所以，由于，所以,所以，故答案為：四、解答題7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由韋達定理結(jié)合平方關(guān)系得出的值；（2）先判斷出，則，再代值計算即可.(1)因為，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，所以，，且，所以，所以，得，滿足，所以，即(2)因為，又因為，所以，所以所以8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知()，求的值.【答案】【分析】將兩邊平方可得，判斷x的范圍，并求出，進而可求得，，即可求得答案.【詳解】∵()，∴，即，把兩邊平方得，即，∴，即，聯(lián)立解得，，∴.題型四誘導(dǎo)公式化簡與求值策略方法1．利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”．2．明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向(1)切化弦，統(tǒng)一名．(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了”．【典例1】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)-1【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得的值；（2）方法：1：由（1）知，結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，代入，即可求解；方法2：利用三角函數(shù)的定義求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式，代入即可求解.【詳解】（1）解：因為角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，由三角函數(shù)的定義，可得.（2）解：方法1：由（1）知，則.方法2：由角終邊過點，可得，則，，所以.【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】切化弦，結(jié)合得出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，所以，故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化簡即可求解.【詳解】由，所以.故選：D.二、填空題3．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為銳角，若，則________．【答案】【分析】運用誘導(dǎo)公式和同角的基本關(guān)系求解即可.【詳解】，所以，因為為銳角，所以，，故答案為：三、解答題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知.(1)化簡.(2)已知，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由誘導(dǎo)公式進行化簡，即可求得；(2)由，代入即可求值.(1)；(2)∵，∴.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知α是第三象限角，且.（1）若cos，求f（α）的值；（2）若α=-1860°，求f（α）的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）化簡f（α）==-cosα，由條件求得cosα，從而求得f（α）.（2）由誘導(dǎo)公式得，f（α）=-cos（-1860°）=-cos（-60°）.【詳解】解析：f（α）==-cosα.（1）∵，∴sinα=.∵α是第三象限的角，∴cosα=.∴f（α）=-cosα=.（2）f（α）=-cos（-1860°）=-cos（-60°）=.題型五誘導(dǎo)公式的應(yīng)用策略方法求解誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系綜合問題的基本思路和化簡要求基本思路①分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式化簡要求①化簡過程是恒等變換；②結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡單，能求值的要求出值【典例1】若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求得答案.【詳解】故選：B【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎?，則（

）A． B． C．- D．【答案】A【分析】因為，由誘導(dǎo)公式可得選項.【詳解】.故選：A.2．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將看作一個整體，找到與其的關(guān)系，用誘導(dǎo)公式和倍角公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，且由已知，有，∴，其中，，∴.故選：A.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角余弦公式，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意得,故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式化簡、求值，即可得答案.【詳解】由于，故，故選：B．5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角的變換及誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.【詳解】因為，故，故選：A6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等變換可得出關(guān)于的二次方程，求出的取值范圍，求出的值，可求得角的值，代值計算可得出的值.【詳解】因為，所以，，因為，則，所以，，故，所以，，