優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)高二數(shù)學(xué)選修曲線參數(shù)方程之意義和圓的參數(shù)方程課件

第1頁(yè)/共39頁(yè)如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？友情提示：即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開(kāi)始投放物資？？救援點(diǎn)投放點(diǎn)創(chuàng)造情境第2頁(yè)/共39頁(yè)xy500O分析:物資投出機(jī)艙后,它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿Ox作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿Oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng).創(chuàng)造情境如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？第3頁(yè)/共39頁(yè)xy500o如圖,一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？第4頁(yè)/共39頁(yè)（1）且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組(1)所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,則方程(1)就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y

的變數(shù)t

叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。1、參數(shù)方程的概念：

一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)第5頁(yè)/共39頁(yè)關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁,參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義,幾何意義,也可以沒(méi)有明顯意義；2.同一曲線選取參數(shù)不同,曲線參數(shù)方程形式也不一樣;3.在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍;第6頁(yè)/共39頁(yè)一架救援飛機(jī)以100m/s的速度作水平直線飛行.在離災(zāi)區(qū)指定目標(biāo)水平位移為1000m時(shí)投放救援物資（不計(jì)空氣阻力,重力加速度g=10m/s）,問(wèn)此時(shí)飛機(jī)的飛行高度約是多少？（精確到1m）變式練習(xí):x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10×102/2=500m.第7頁(yè)/共39頁(yè)例1:已知曲線C的參數(shù)方程是（1）判斷點(diǎn)M1(0,1)，M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上,求a的值。解：(1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，解得t=0，所以M1在曲線上．把點(diǎn)M2的坐標(biāo)(5,4)代入方程組，得到(2)因?yàn)辄c(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.這個(gè)方程組無(wú)解，因此點(diǎn)M2不在曲線上第8頁(yè)/共39頁(yè)練習(xí)1、曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)A

B

C

D3.下列在曲線上的點(diǎn)是()B第9頁(yè)/共39頁(yè)3.已知曲線C的參數(shù)方程且點(diǎn)M(5,4)在該曲線上.（1）求常數(shù)a;（2）求曲線C的普通方程.解:(1)由題意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴

a=1

(2)由已知及(1)可得,曲線C的方程為:x=1+2t

y=t2由第一個(gè)方程得:代入第二個(gè)方程得:故所求曲線的普通方程為（x-1)2=4y第10頁(yè)/共39頁(yè)4.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動(dòng),它在x軸和y軸方向的速度分別為5和12,運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)位于點(diǎn)P(1,2),求點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，得所以，點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程為A一個(gè)定點(diǎn)B一個(gè)橢圓C一條拋物線D一條直線D第11頁(yè)/共39頁(yè)（1）建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y);（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù);（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì),物理意義等,

建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式;（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所求的曲線的參數(shù)方程.參數(shù)方程求法

第12頁(yè)/共39頁(yè)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)

（1）并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組（1）所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么方程（1）就叫做這條曲線的參數(shù)方程，系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。課堂小結(jié)第13頁(yè)/共39頁(yè)圓的參數(shù)方程第14頁(yè)/共39頁(yè)yxorM(x,y)圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？第15頁(yè)/共39頁(yè)那么θ=ωt.設(shè)|OM|=r，那么由三角函數(shù)定義，有如果在時(shí)刻t，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過(guò)的角度是θ，坐標(biāo)是M(x,y)，即這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r的圓的參數(shù)方程參數(shù)t有物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻)考慮到θ=ωt，也可以取θ為參數(shù)，于是有第16頁(yè)/共39頁(yè)圓心為原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為：其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的角度第17頁(yè)/共39頁(yè)例1

如圖,圓O的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cosθ,2sinθ).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是第18頁(yè)/共39頁(yè).5已知點(diǎn)P是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(12,0)，點(diǎn)M在線段PA上，且2|PM|=|MA|，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由題設(shè)∴(x-12,y)=

因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是第19頁(yè)/共39頁(yè)

圓心為，半徑為r的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))例2

已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。第20頁(yè)/共39頁(yè)練習(xí)：第21頁(yè)/共39頁(yè)例3已知x、y滿足,求的最大值和最小值．解：由已知得：圓的參數(shù)方程為第22頁(yè)/共39頁(yè)2點(diǎn)P(x,y)是曲線為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則的最大值為()A1B2CD練習(xí)1P(x,y)是曲線(α為參數(shù))上任意一點(diǎn),則的最大值為()AA．36B．6C．26D．25D法二：數(shù)形結(jié)合（把參數(shù)方程表示的圓畫出來(lái)）法一：直接代入（應(yīng)用輔助角公式）(為參數(shù))上任意一點(diǎn),則3

點(diǎn)P(x,y)是曲線的最大值為

.第23頁(yè)/共39頁(yè)4

圓的圓心的軌跡是()A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線A第24頁(yè)/共39頁(yè)參數(shù)方程和普通方程的互化第25頁(yè)/共39頁(yè)把它化為我們熟悉的普通方程，有

cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了在課本例2中，由參數(shù)方程直接判斷點(diǎn)M的軌跡是什么并不方便，一般地,可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.把參數(shù)方程化為普通方程：第26頁(yè)/共39頁(yè)第27頁(yè)/共39頁(yè)這是以、為端點(diǎn)的一段拋物線弧第28頁(yè)/共39頁(yè)(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）練習(xí)、將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：（1）消參；（2）求定義域。因?yàn)楸硎菊A，所以不需要再限定范圍第29頁(yè)/共39頁(yè)練習(xí)將下列參數(shù)方程化為普通方程(2)第30頁(yè)/共39頁(yè)B例2求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)（1,1/2）;（B）拋物線的一部分,這部分過(guò)（1,1/2）;（C）雙曲線的一支,這支過(guò)點(diǎn)（–1,1/2);（D）拋物線的一部分,這部分過(guò)（–1,1/2).第31頁(yè)/共39頁(yè)參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程常見(jiàn)方法有三種：1.代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)2.三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)3.整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,整體上消去化參數(shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過(guò)程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。小結(jié)第32頁(yè)/共39頁(yè)普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)：如：直線l的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程:一般地,如果知道變量x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變量與參數(shù)t的關(guān)系y=g(t)，那么:就是曲線的參數(shù)方程。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致第33頁(yè)/共39頁(yè)第34頁(yè)/共39頁(yè)第35頁(yè)/共39頁(yè)在y=x2中，x∈R,y≥0，因而與y=x2不等價(jià)；練習(xí):曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）.在A、B、C中，x,y的范圍