高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題11概率（學(xué)生版+解析版50題）

競(jìng)賽專(zhuān)題11概率

（50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）

一、填空題

I.（2018?安徽?高三競(jìng)賽）從I,2,…，10中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本

方差/41的概率=.

2.（2018?廣東?高三競(jìng)賽）袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，m>i侖4.現(xiàn)從中任取兩球，

若取出的兩個(gè)球是同色的概率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿(mǎn)足關(guān)系"i+〃44。

的數(shù)組（m,n）的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.

13

3.（2018?廣東?高三競(jìng)賽）已知點(diǎn)A（I,I）,B（-,0）,C（-,0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的

22

直線(xiàn)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C的直線(xiàn)與直線(xiàn)）,=〃（（）<〃<1）所圍成的平面區(qū)域?yàn)镚.已知平面矩

形區(qū)域{（x，y）|0<X<2,0<）Y|}中任意一點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域G的可能性為',則

3=.

9

4.（2019全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知甲、乙兩人進(jìn)行一種博弈游戲，甲獲勝的概率為乙

獲勝的概率為;.若其中一人比另一人多贏兩局，則游戲結(jié)束那么，需要進(jìn)行的游戲局

數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

5.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）兩人約定：在某天一同去A地，早上7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在8地

會(huì)合，但先到達(dá)8地者最多在原地等待5min分鐘，如果沒(méi)有見(jiàn)到對(duì)方則自己先行.設(shè)

兩人到達(dá)8地的時(shí)間是附機(jī)的、獨(dú)立的、等可能的,那么，兩人能夠在當(dāng)天一同去A地

的概率是.

6.（2019?全國(guó)高三競(jìng)賽）在面積為1的正方形A8co中任取一點(diǎn)P,則△PA8、

4PBC、APC。、的面積均大于!的概率是.

7.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）圓周上有10個(gè)等分點(diǎn).則以這10個(gè)等分點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為

頂點(diǎn)的凸四邊形中，梯形所占的個(gè)數(shù)比為

8.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）記入={1,3,5,7,9},8={2,4,6,8}.現(xiàn)拋擲硬幣從A、B中無(wú)

放回地取出數(shù)字組成九位數(shù)，規(guī)則是：若硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，就從集合A中取出一個(gè)最

小的數(shù)；若硬幣出現(xiàn)反而時(shí)，就從集合B中取出一個(gè)最小的數(shù).當(dāng)一個(gè)集合的數(shù)字被

取完而另一個(gè)集合還有數(shù)字時(shí)，另一集合剩下的數(shù)字就按從小到大的順序添在后面按

此規(guī)則，取出的數(shù)字恰好為123456789的概率為

9.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在1,2,3........10這10個(gè)正整數(shù)中任取4個(gè)，記4為這

四個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，則4的數(shù)學(xué)期望

10.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲、乙、丙、丁各拿一個(gè)足球同時(shí)進(jìn)行一次傳球，要求每

個(gè)人可以將球傳給另外三人中的任何一人.一次傳球后，每個(gè)人仍各有一個(gè)球的概率

為.

II.（2018?全國(guó)高三競(jìng)賽）袋內(nèi)有8只白球和2只紅球，每次從中隨機(jī)取出一只球，

然后放回1只白球.則第四次恰取完所有紅球的概率為

12.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）從{12…,100}中任取5個(gè)數(shù)（可以相同）.則取到合數(shù)的

個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.

13.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲有一個(gè)箱子，里面有紅球和白球共4個(gè)：乙有一個(gè)箱

子，里面有2個(gè)紅球、1個(gè)白球、1個(gè)黃球.現(xiàn)在，甲從他的箱子中任取2個(gè)球，乙從

他的箱子中任取1個(gè)球，如果取出的3個(gè)球顏色全不同，則甲獲勝.為了保證中獲勝的

概率最大，則中的箱子中的紅球個(gè)數(shù)為一.

14.（2019?全國(guó)高三競(jìng)賽）兩人作一種游戲:連續(xù)旋轉(zhuǎn)一枚硬幣若干次，當(dāng)正（或反）面向

上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次時(shí)游戲結(jié)束.游戲結(jié)束時(shí)，如果正面向上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次，則

A勝;杳則3勝.那么，旋轉(zhuǎn)不足9次就決出勝負(fù)的概率為..

15.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)4，的,…必。是2000,2001,…,2（X）9的一個(gè)排列，記數(shù)列

他}的前〃項(xiàng)和為S”則排列49?…滿(mǎn)足"S,（14/W10）都不是3的倍數(shù)”的概率為

16.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）一副撲克牌除去大、小王共52張.洗好后，四個(gè)人順次每

人抓13張.則兩個(gè)紅A（即紅桃A、方塊A）在同一個(gè)人手中的概率為.

17.（2018?湖北?高三競(jìng)賽）一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不

小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率為

18.（2019?上海?高三競(jìng)賽）某偵索班有12名戰(zhàn)士，其中報(bào)務(wù)員有3名.現(xiàn)要將這12名

戰(zhàn)士隨機(jī)分成3組，分別有3名戰(zhàn)士、4名戰(zhàn)士、5名戰(zhàn)士，那么每一組都有1名報(bào)務(wù)

員的概率是.

19.（2019?貴州?高三競(jìng)賽）已知，”{II,13,15,17,19},{2（X）0,2001.........

2019},則的個(gè)位數(shù)是1的概率為.

20.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）有甲乙兩個(gè)盒子，甲盒中有5個(gè)球，乙盒中有6個(gè)球（所

有球都是一樣的）.每次隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中取出一個(gè)球，直到某個(gè)盒子中不再

有球時(shí)結(jié)束.則結(jié)束時(shí)是甲盒中沒(méi)有球的概率為

21.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）先后三次擲一顆微子，則其中某兩次的點(diǎn)數(shù)和為10的概率

為.

22.（2018?福建?高三競(jìng)賽）從如圖所示的，由9個(gè)單位小方格組成的，3x3方格表的

16個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直加三角形的概率為

23.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）從集合｛1,2,…,2014｝中隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù)

9、電、4,然后再?gòu)氖Ｏ碌?011個(gè)數(shù)中同樣陋機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù)/小%4.

則將4x/x%為長(zhǎng)、寬、高的肺能放進(jìn)以々xdx/為長(zhǎng)、寬、高的盒子中的概率為

24.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）小明、小紅分別獨(dú)立遛復(fù)投擲均勻的色子，直到第一次出

現(xiàn)6點(diǎn)為|匕則小明和小紅投擲的次數(shù)相差不超過(guò)1的概率為

25.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合｛1,2.…,2015｝中任取一個(gè)正整數(shù)n

恰為方程⑶=即已］的解的概率為

（國(guó)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的坡大整

數(shù)）.

26.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）拋一顆色子三次,所得點(diǎn)數(shù)分別為加、〃、〃.則函數(shù)

丫=十/一,1一少+|在［］*）上為增函數(shù)的概率為

27.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）將編號(hào)為1,2,9的幾顆珍珠隨機(jī)固定在一品項(xiàng)鏈

上，假設(shè)每顆珍珠的距離相等，記項(xiàng)鏈上所有相然珍珠編號(hào)之差的絕對(duì)值之和為7"則

T取得最小值的放法的概率為.

28.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）小張、小李、小華、小明四人玩輪流投擲一枚標(biāo)準(zhǔn)色子的

游戲.若有一人投到的數(shù)最小，且無(wú)人與他并列，則判他獲勝；若投出最小數(shù)的人多于

一個(gè)，則將沒(méi)投出最小數(shù)的人先淘汰，再讓剩下的人重新做一輪游戲，這樣不斷地進(jìn)

行下去，直到某個(gè)人勝出為止.已知第一個(gè)投擲色子的小張投到了數(shù)3?則他獲勝的概率

是.

29.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）從集合｛1,2,…,2011｝中任意選取兩個(gè)不同的數(shù)使得

a+b=n（"為某正整數(shù)）的概率為擊p則帥的最小值為.

30.（2018?全國(guó)高.三競(jìng)賽）48兩隊(duì)進(jìn)行乒乓球團(tuán)體對(duì)抗賽，每隊(duì)各三名隊(duì)員,每名隊(duì)

員出場(chǎng)一次.A8兩隊(duì)的三名隊(duì)員分別是A、&、A，4、B2、紜，且A,對(duì)約的勝率為

上一（14、/43）.則A隊(duì)得分期望的坡大可能值是■

'+J

31.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）將1~6這16個(gè)正整數(shù)隨機(jī)地填入4x4棋盤(pán)的16個(gè)格子

中（每格填寫(xiě)一數(shù)），則使每行、每列填數(shù)之和皆為偶數(shù)的概率為

32.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某人練習(xí)打靶，開(kāi)始時(shí)，他距靶100加，此時(shí)，進(jìn)行第一次

射擊.若此次射擊不中，則后退50,"進(jìn)行第二次射擊,一直進(jìn)行下去.每次射擊前都后

退50”，直到命中為止，已知他第一次的命中率為!，旦命中率與距離的平方成反比.

則他能夠命中的概率等于

33.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖，給定由如?個(gè)點(diǎn)組成的正三角形點(diǎn)陣.在其中

2

任意取三個(gè)點(diǎn)，以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的概率為

????

????

34.（2019,全國(guó)?高三競(jìng)賽）有7名運(yùn)動(dòng)員分別獲得某項(xiàng)比賽的一、二、三等獎(jiǎng)，已知

一等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于I人，二等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于2人，三等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于3人.則恰

有2人獲一等獎(jiǎng)的概率為_(kāi)____?

35.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某校進(jìn)行投籃比賽，共有64人參加.已知每名參賽者每次

投籃的命中率為土規(guī)定：只有連續(xù)命中兩次才能被錄取，一旦錄取就停止投籃，否則

一直投滿(mǎn)4次.設(shè)J表示錄取人數(shù).則將

36.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）數(shù)字鐘分別用兩個(gè)數(shù)字顯示小時(shí)、分、秒（如10:03:18）.

在同一天的05:00:00~23:00:00（按小時(shí)計(jì)算）之間,鐘面上的六個(gè)數(shù)字都不相同的概

率是.

37.（2021?浙江金華第一中學(xué)高三競(jìng)賽）甲，乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)七局四勝制的游戲，任

何一人累計(jì)獲勝四局即為勝方，同時(shí)游戲結(jié)束，另一人為負(fù)方.若在每局中，雙方各

有g(shù)的概率獲勝，則游戲結(jié)束時(shí)勝方比負(fù)方多獲勝的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為

38.（2019?四川?高三競(jìng)賽）設(shè)一個(gè)袋子里有紅、黃、藍(lán)色小球各一個(gè)現(xiàn)每次從袋子里

取出一個(gè)球（取出某色球的概率均相同），確定顏色后放回，直到連續(xù)兩次均取出紅色球

時(shí)為止，記此時(shí)取出球的次數(shù)為配則。的數(shù)學(xué)期望為

39.（2019?廣西?高三競(jìng)賽）從1,2,....20中任取3個(gè)不同的數(shù)，這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差

數(shù)列的概率為.

二、解答題（共0分）

40.（2018?黑龍江高三競(jìng)賽）為響應(yīng)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧，產(chǎn)業(yè)扶貧”的成略，哈市面向全

市征如《扶貧政策》義務(wù)宣傳志愿者，從年齡在［20,45］的500名志愿者中隨機(jī)抽取

100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示.

（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場(chǎng)的

宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@10名志愿者中選取3名擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人.記這3名志愿者中“年齡低

35歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

4）.（2018?湖南,高三競(jìng)賽）棋盤(pán)上標(biāo)有第0,I,2,…，100站,棋子開(kāi)始時(shí)位于第0

站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若擲出正面，棋子向前跳出一站：若擲出反面，棋

子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或第100站（失敗集中營(yíng)）是，游

戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站的概率為《.

（1）求《的值；

（2）證明：么「2=-%《-《“）（24”499）：

（3）求％、%）的值.

42.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知數(shù)列卜訂滿(mǎn)足4=0,并且對(duì)任意的

〃e2.，”向取〃"-】或?yàn)?I的概率均為y.

（1）設(shè)的值為隨機(jī)變量X,試求X的概率分布；

（2）求X的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望E|X|.

43.（2?18?全國(guó)高三競(jìng)賽）擲骰子（為均勻的正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、

4、5、6）游戲規(guī)則如下：第一次擲9枚骰子，將其中顯示為1的骰子拿出放到一

邊：第二次擲剩下的骰子，再將顯示為1的股子拿出；….，宜到未擲出顯示為1的骰

子或骰子全部拿出，游戲結(jié)束.已知恰好擲9次結(jié)束游戲的概率為史二（“、卜、c、

c'd"

d為不同的質(zhì)數(shù)，"、uwN.）.求“p+府.

44.（2018,全國(guó)?高三競(jìng)賽）從集合S={L2,...,〃}（〃wN*,〃N2）的子集中先后取出兩個(gè)

不同的子集。、Q，求以下事件發(fā)生的概率：

（1）PQQ,且Q0，；

（2）Card（Pn0）=Zf（O<Z:

45.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲乙兩人參加競(jìng)選，結(jié)果是甲得〃票，乙得，”票（〃>，"）.

試求：唱票中甲累計(jì)的票數(shù)始終超過(guò)乙累計(jì)的票數(shù)的概率.

46.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）如圖，正六邊形A88EF的中心為。，對(duì)A、8、C、

。、E、P、。這七個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量.任

取其中兩個(gè)向量，以它們的數(shù)量積的絕對(duì)值作為防機(jī)變量久試求4的概率分布列及其

數(shù)學(xué)期望

47.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某鎮(zhèn)有A、8、C三處茶樓，新來(lái)的鎮(zhèn)長(zhǎng)每天只去三處之

一喝茶.已知第一天他去三處的概率何為g,且若某天去了A處，則下一天分別以

［、?、9的概率去A、B、C三處；若某天去了8處，則下一天分別以J、J、7

2364/4

的概率去A、8、C三處：若某天去了C處，則下一天分別以;、；、；的概率去

442

A、8、C三處.求第”天鎮(zhèn)長(zhǎng)去A、B、C三處的概率.

48.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）一個(gè)袋子中裝有，"個(gè)紅球和”個(gè)白球（，”>“24）,它們除

顏色不同外，其余都相同.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球.

（））若取出兩個(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍，求證:，”必為

奇數(shù)；

（2）若取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)球顏色不同的概率，求滿(mǎn)足

的所有數(shù)組("?.〃).

49.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)已知100條線(xiàn)段的長(zhǎng)度集合

歷=卜］卜-5(145(),且twNj,試求從這些線(xiàn)段中任取三條線(xiàn)段能夠構(gòu)成三角形的概

率.

50.(2019?全國(guó),高三競(jìng)賽)甲、乙兩人做游戲.甲隨機(jī)選定一個(gè)正整數(shù)對(duì)

(&M(24A436,14”4216),乙做如下操作:將［0,36］分成3段,

［0,36］=,?；］(?,)=()<?!<???<ak=36,a,€WJ,對(duì)每個(gè)整數(shù)“w［，%,“,］,取

八“)=2(“-%)或得到尸伏)=￡￡/(").若則甲勝;若

i=：a叫?

F(k)<”,則乙勝.求甲勝的概率.

競(jìng)賽專(zhuān)題11概率

(50題競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練)

一、填空題

I.(2018?安徽高三競(jìng)賽)從1,2,…，10中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本

方差/VI的概率=

【答案】《

【解析】

【詳解】

.4<毛<三的樣本方差/=：￡(\一刀,《】，當(dāng)且僅當(dāng)?￡、*、A站連續(xù)的正整數(shù).

5；_i

故P(SZ<1]=-^j-=-

I'C,；15,

故答案為《

2.(2018?廣東高三競(jìng)賽)袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，in>n%.現(xiàn)從中任取兩球，

若取出的兩個(gè)球是同色的概率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿(mǎn)足關(guān)系,”+〃<40

的數(shù)組(in,n)的個(gè)數(shù)為.

【答案】3

【解析】

【詳解】

記“取出兩個(gè)紅球”為事件A,“取出兩個(gè)白球”為事件B,?,取出一紅一白兩個(gè)球”為事件

c1C2C1-C1

C.則P(A)=k，P(8)=k，到。=字廠(chǎng)~

依題意得夕(A)+P(8)=0(C),即C：+C：=C：C：.所以〃-〃二(〃-〃)，從向，〃+〃為

完全平方數(shù).又illm>n>4/i,m+n<40,得9W，〃+/z<40.

m+n=9,[?/+//=16,(rn+n=25,[/?;+/:=36,

所以，或<，或｛<或<,.

in-it=3,[m-/z=4,[m-n=5,[m

解之得(in,n)=(6,3)(舍去)，或(10,6),或(15,10),或(21.15).

故符合題意的數(shù)組(in,n)有3個(gè).

故答案為3

3.(2018?廣東?高三競(jìng)賽)已知點(diǎn)A(I,I),B(1,()),CT.0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的

22

直線(xiàn)和經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C的直線(xiàn)與直線(xiàn).y="（O<"<l）所圍成的平面區(qū)域?yàn)镚.已知平面矩

形區(qū)域｛（二、）|。。<2,0<.”】｝中任意一點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域G的可能性為《，則

【答案】j

【解析】

【詳解】

直線(xiàn)AB方程為y=2.v-l,直線(xiàn)AC方程為y=-2.v+3,區(qū)線(xiàn)產(chǎn)”與它們的交點(diǎn)為

D（—.?）,E（上Ka）.G的面枳等于三角形ADE的面枳匕，L,因此

222

。-"）二=_1,解之得”=

4）62

故答案為g

4.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）已知甲、乙兩人進(jìn)行一種博弈游戲，甲獲勝的概率為g,乙

獲勝的概率為g.若其中一人比另一人多嬴兩局，則游戲結(jié)束那么，需要進(jìn)行的游戲局

數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

1Q

【答案】y-

【解析】

【詳解】

設(shè)所求的數(shù)學(xué)期望為￡€.

注意到，物局就結(jié)束的概率等于+QJ=.

若兩局沒(méi)有結(jié)束,則必定恰贏了一局，回到初始狀態(tài)，此時(shí)的數(shù)學(xué)期望為2+%，從

而，

-x2+-（2+/^）=Ea=>Ea=—.

99'-5

故答案為g

5.（2019?全國(guó)牌三競(jìng)賽）兩人約定：在某天一同去A地，早上7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在8地

會(huì)合，但先到達(dá)8地者最多在原地等待5niin分鐘，如果沒(méi)有見(jiàn)到對(duì)方則自己先行.設(shè)

兩人到達(dá)8地的時(shí)間是隨機(jī)的、獨(dú)立的、等可能的.那么，兩人能夠在當(dāng)天一同去A地

的概率是

【答案】落

【解析】

【詳解】

設(shè)兩人到達(dá)A地的時(shí)間分別是7點(diǎn)過(guò)，“分和7點(diǎn)過(guò)“分（04〃、”<60）.用數(shù)為

（，”,〃）表示兩人分別到達(dá)A地的時(shí)間則在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（，4〃）的存在域是一個(gè)邊長(zhǎng)

為60的正方形，其面積為3600.

顯然，兩人能夠在當(dāng)天一同去A地等價(jià)于加-川45.此時(shí)，相應(yīng)點(diǎn)的存在域是正方形中

位于兩直線(xiàn)，”-“=±5之間的部分區(qū)域（如圖），其面積為3600-55?=575.

故所求概率為藐T含

6.（2019?全國(guó)?而三競(jìng)賽）在面積為I的正方形A8CD中任取一點(diǎn)P,則△PA8、

4PBC、FCD、A/YM的面積均大于!的概率是_____

6

【答案】g

【解析】

【詳解】

如圖，以A為原點(diǎn)，48為1釉建立直角坐標(biāo)系,設(shè)p（x,y）,（）<<<],0<y<l

出題設(shè)知X,y必滿(mǎn)足

11

—,v>—

26

因此，滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)〃必在直線(xiàn)X=；I，N2和,V=I：,v=1［?所圍成的正方形區(qū)

3333

域內(nèi).

所以所求概率為41.

|--9

7.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）惻周上有10個(gè)等分點(diǎn).則以這10個(gè)等分點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為

頂點(diǎn)的凸四邊形中，梯形所占的個(gè)數(shù)比為

【答案】*

【解析】

【詳解】

任選4點(diǎn)，共有C；,=210個(gè)凸四邊形，其中，梯形的兩條平行邊既可以從5組平行于

設(shè)徑的5條平行弦中選取，也可以從5組不平行于白:的4條平行弦中選取，去除矩

形，梯形共有60個(gè).

所以，梯形所占的個(gè)數(shù)比為

故答案為不

8.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）記人={1,3,5,7,9},8={2,4,6,8}.現(xiàn)拋擲硬幣從A、B中無(wú)

放回地取出數(shù)字組成九位數(shù)，規(guī)則是：若硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，就從集合A中取出一個(gè)最

小的數(shù)；若硬幣出現(xiàn)反而時(shí)，就從集合B中取出個(gè)最小的數(shù).當(dāng)一個(gè)集合的數(shù)字被

取完而另一個(gè)集合還有數(shù)字時(shí)，另一集合剩下的數(shù)字就按從小到大的順序添任后面按

此規(guī)則，取出的數(shù)字恰好為123456789的概率為

【答案】土

【解析】

【詳解】

由規(guī)則知，拋擲硬幣的正反面序列為；正反正反正反正反.

所以，取出的數(shù)字怡好為123456789的概率為（L）=—.

256

故答案為工

256

9.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）在1,2,3,…，10這10個(gè)正整數(shù)中任取4個(gè)，記4為這

四個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的蛆數(shù)，則4的數(shù)學(xué)期望￡4=

【答案】|

【解析】

【分析】

【詳解】

,wm,小、j'口尸XXXXX6

M13C1:+23C?+37

易知〈的取值為123,」L0=------~~4-------=-.

故答案為：—.

10.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲、乙、丙、「各拿一個(gè)足球同時(shí)進(jìn)行一次傳球，要求每

個(gè)人可以將球傳給另外三人中的任何一人.一次傳球后，每個(gè)人仍各有一個(gè)球的概率

為.

【答案】g

【解析】

【詳解】

?3x3I

r=—―=—

3,9

II.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）袋內(nèi)有8只白球和2只紅球，每次從中隨機(jī)取出一只球，

然后放回1只白球.則第四次恰取完所有紅球的概率為

【答案】0.0434

【解析】

【詳解】

第四次恰取完所有紅球的概率為

182912I

X-------1-------X—XX—X—X一=0.0434.

101010101()1010

12.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）從100｝中任取5個(gè)數(shù)（可以相同）.則取到合數(shù)的

個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是

【答案】r37

【解析】

【詳解】

{12….100}中會(huì)數(shù)共有74個(gè)，設(shè)4為取到合數(shù)的個(gè)數(shù).

74V26I（0</<5）.故《服從二項(xiàng)分布.

則P&=i)=G100Al(X)

7437

因此，Eg=5乂——=—.

10010

37

故答案為行

13.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）甲有一個(gè)箱子，里面有紅球和白球共4個(gè)：乙有一個(gè)箱

子，里面有2個(gè)紅球、1個(gè)白球、I個(gè)黃球.現(xiàn)在，甲從他的箱子中任取2個(gè)球，乙從

他的箱子中任取1個(gè)球，如果取出的3個(gè)球顏色全不同，則中獲勝.為了保證中獲勝的

概率最大，則甲的箱子中的紅球個(gè)數(shù)為一.

【答案】2

【解析】

【詳解】

設(shè)甲的箱子中有〃（〃2I）個(gè)紅球，則白球有4-11個(gè).故甲獲勝的概率為

，=^T=("(4-〃)?由于^^^”+：一"=2,

即〃（4-〃）=4,當(dāng)且僅當(dāng)

〃=2時(shí)，上式等號(hào)成立.P最大.

14.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）兩人作一種游戲:連續(xù)旋轉(zhuǎn)一枚硬幣若干次，當(dāng)正（或反）面向

上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次時(shí)游戲結(jié)束.游戲結(jié)束時(shí)，如果正面向上的次數(shù)累計(jì)達(dá)到5次，則

A勝;否則8勝挪么，旋轉(zhuǎn)不足9次就決出勝負(fù)的概率為.

93

恪案】京

【解析】

【詳解】

考察旋轉(zhuǎn)9次才結(jié)束游戲的梢形.此時(shí)，前8次旋轉(zhuǎn)中正而向上和反而向上各有4次，其

概率為爭(zhēng)=哉」是旅轉(zhuǎn)不足9次就結(jié)束游戲的概率為1-哉=瑞.

93

故答案為7^7

5（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)?小,???,％是2000,2001,….2009的一個(gè)排列,記數(shù)列

卜記的前”項(xiàng)和為S..則排列4.0”…嗎。滿(mǎn)足“5(1</<10)那不是3的倍數(shù)”的概率

為.

【答案】專(zhuān)

【解析】

【詳解】

設(shè)2000,2001,…,2009的一個(gè)排列為一個(gè)基本事件〃.則基本事件總數(shù)為A，=%：?

下面計(jì)算所求事件M含的基本事件數(shù).

(I)首項(xiàng)不能是3的倍數(shù)，除首項(xiàng)以外各項(xiàng)均可是3的倍數(shù)?從而，3的倍數(shù)有A；種

排法；

(2)去掉3的倍數(shù)后，考慮模3余2、余1的數(shù)的位置(用，，，模3的余數(shù)代替q)：

當(dāng)4=1時(shí)，“2=1，%=2,<4=1.....此時(shí),含I的項(xiàng)比含2的項(xiàng)多,這與已知矛

盾；

當(dāng)4=2時(shí)，%=2,%=1......此時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)要求.

綜上，模3余2、余1的數(shù)的位置唯一確定，它們的各自排法分別有A：和屈種.

因此，出件"含基本事件數(shù)為m=A：A：A；.

故所求概率尸=%=’.

N50

故答案為專(zhuān)

16.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)一副撲克牌除去大、小王共52張.洗好后，四個(gè)人順次每

人抓13張.則兩個(gè)紅A(即紅桃A、方塊A)在同一個(gè)人手中的概率為

【答案】*

【解析】

【詳解】

注意到,牌洗好后每個(gè)人的牌就定下來(lái)了,即已將52張牌排在r52個(gè)位置上.

記四組牌號(hào)為：

I.5,9.13,???,49；2,6,10,14,50：

3,7,II,15....51：4,8.12,16.52.

則紅桃A、方塊A在同一組中的排列數(shù)為M=4A：磷.

從而，所求概率為p==—.

52!17

故答案為臺(tái)4

17.（2018?湖北?高三競(jìng)賽）一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不

小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率為

【答案】看7

【解析】

【詳解】

設(shè)外/、如、《分別是四次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，那么（/“2“如《）共有6,種不同的

情況.

如果從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則

q<a2<ay<%.

若八4、％、《的值都相等，則師出心例）有C：種不同的情況：

若4、/、％、“/恰好】?jī)H兩個(gè)不同的值，則（qg,q.44）有3C：種不同的情況；

若％、4、6、4恰好取3個(gè)不同的值，則（4/必必）有3C；種不同的情況；

若《、/、心、.恰好取4個(gè)不同的值，則師生必“，4）有C：種不同的情況.

因此，滿(mǎn)足為4/4。,的情況共有以+3C；+3C；+C：=126（種）.

故所求的概率為祟=*.

18.（2019?上海?高三競(jìng)賽）某偵察班有12名戰(zhàn)士,其中報(bào)務(wù)員有3名.現(xiàn)要將這12名

戰(zhàn)士隨機(jī)分成3組，分別有3名戰(zhàn)士、4名戰(zhàn)士、5名戰(zhàn)士，那么每一組都有1名報(bào)務(wù)

員的概率是

【答案】A

【解析】

【詳解】

由題意可知,所有的分組方法川=。式：，滿(mǎn)足題意的分組方法〃=3!C；C；,

23儂_3

則滿(mǎn)足題意的概率值:

C：CII

故答案為：j-j-.

19.（2019?貴州高三競(jìng)賽）已知，"W{II,13，15,17,19）,{2000,2001,..

2019},則機(jī)”的個(gè)位數(shù)是1的概率為.

【答案】j

【解析】

【詳解】

當(dāng)，〃G{2000,2001,....2019}時(shí)，，”"的個(gè)位數(shù)都是1,此時(shí)有20種選法:

當(dāng)，”=13,〃6；2000,2004,2008,2012,2016）時(shí)，，"”的個(gè)位數(shù)都是1,此時(shí)有5種

選法;

當(dāng),”=15時(shí)，的個(gè)位數(shù)不可能為1,此時(shí)有0種選法:

當(dāng)，”=17,〃d[2000,2004,2008.2012,2016}時(shí)，，""的個(gè)位數(shù)都是I,此時(shí)有5種

選法:

當(dāng),”=19,"G{2000,2002,2004,....20181H<Lm的個(gè)位數(shù)都是1.此時(shí)有10種選

法.

20+5+0+5+102

綜上，所求概率為=-

“X"5

故答案為：I2

20.（2021?全國(guó),高三競(jìng)賽）有甲乙兩個(gè)盒子，甲盒中有5個(gè)球,乙盒中有6個(gè)球（所

有球都是一樣的）.每次隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中取出一個(gè)球，直到某個(gè)盒子中不再

有球時(shí)結(jié)束.則結(jié)束時(shí)是甲盒中沒(méi)有球的概率為

319

【答案】元

【解析】

【分析】

【詳解】

相當(dāng)于前十次中至少有五次選擇/甲盒的概率,

10

即i.3

P2io22"512

故答案為：53191

21.（2021?全國(guó)?高三競(jìng)賽）先后三次擲一顆骰了，則其中某兩次的點(diǎn)數(shù)和為10的概率

為

23

【答案】而

【解析】

【分析】

【詳解】

有兩次為5的概率為上后&=2.

仃兩次為6和4的概率為娼芋￡=迎，

6216

所以概率為史+恐二9.

216216108

故答案為：h23

22.（2018,福建?高三競(jìng)賽）從如圖所示的，由9個(gè)單位小方格組成的，3x3方格表的

16個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三弁1形的概率為

【解析】

【詳解】

先計(jì)算矩形的個(gè)數(shù),再計(jì)算面向三角形的個(gè)數(shù).

如圖所示，根據(jù)矩形特點(diǎn)，由這16個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成C：xC：=36個(gè)不同的矩形.

乂每個(gè)矩形可以分割成4個(gè)不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角

形也不同.

因此,可得4x36=144個(gè)直角頂點(diǎn)在矩形頂點(diǎn)的不同的自角三角形.

再算直向頂點(diǎn)不在矩形頂點(diǎn):

（I）在1x2的矩形中，有五角頂點(diǎn)不在矩形頂點(diǎn)，邊長(zhǎng)分別為（、傷，應(yīng).2）的直角三角

形兩個(gè).而1x2矩形橫向、縱向各有6個(gè),故共有2x12=24個(gè).

（2）在2x3的矩形中,存直角頂點(diǎn)不在矩形頂點(diǎn)，邊長(zhǎng)分別為（6,6,Ji可的直角三

角影4個(gè)，邊長(zhǎng)分別為（0,2夜.師）的直角三角形4個(gè).而2x3矩形根向、縱向各行

兩個(gè).故共有（4+4）x4=32個(gè).

144+24+32_2005

所以，所求的概率尸=一點(diǎn)40x14-14-

23.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）從集合｛1,2,….2014｝中隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù)

4、出、“,，然后再?gòu)氖Ｏ碌?011個(gè)數(shù)中同樣隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù)4、d、除

則將為長(zhǎng)、寬、高的磚能放進(jìn)以為長(zhǎng)、寬、高的盒子中的概率為

【答案】4

4

【解析】

【詳解】

不妨設(shè)4<g<?3,b1Vb2<h｝,當(dāng)口僅當(dāng)?t<b\，&<H,?,<A時(shí)傳叮放入盒中.

設(shè)j<jv…是從｛1,2,…,2014｝中選出的六個(gè)數(shù)，再?gòu)闹羞x出三個(gè)，有C；=20種方

法.這三個(gè)作為4、％、“,，剩下三個(gè)作為“、"、"，符合要求的處只能為J.

的若為j，則《可為q或g或<*：應(yīng)若為<1.則如可為的或q.

故符合要求的取法為5種，概率p=±=!.

204

24.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）小明、小紅分別獨(dú)立重復(fù)投擲均勻的色子,直到第一次出

現(xiàn)6點(diǎn)為止.則小明和小紅投擲的次數(shù)相差不超過(guò)1的概率為

Q

【答案】2

【解析】

【詳解】

設(shè)小明、小紅投擲次數(shù)分別為盤(pán)

則所求為之P（J=〃=，）+P（g=j,〃=,+1）+p（g=j+1,〃=/力.

由獨(dú)立性,知所求概率為

￡[p偌=np（〃=i）+p楂=，）p（〃=1?+1）+p傳=,?+I）P（〃=/））]

二+2x”?8

X-X

666633.

25.（2018全國(guó),高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合｛1,2,?.、2O]5｝中任取一個(gè)正整數(shù)n

恰為方程［斗￡+圖的解的概率為

（［同表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整

數(shù)）.

[5&案]1007

112015

【解析】

【詳解】

當(dāng)〃=6A（AeZ+）時(shí)，j°]=|竺=3k,—+—=—+—=2k+k=3k.

[2J[_23636

滿(mǎn)足題中方程的n為612....2010,共335個(gè):

當(dāng)〃=6A-5（kwZ.）時(shí)，g==3k-3.

滿(mǎn)足題中方程的n為1,7,13....2011,W336個(gè):

當(dāng)〃=6k-4（AeZ_）時(shí).g=614=3k-2,

滿(mǎn)足題中方程的n不存在:

滿(mǎn)足題中方程的n為3,9.15....2013,共336個(gè);

當(dāng)”=64-2（火62_）時(shí)，=6*2-=3A-1,

滿(mǎn)足題中方程的n不存在:

當(dāng)〃=6"|（"乙）忖，R==3火-1,

滿(mǎn)足題中方程的n不存在.

因此，從集合｛1.2,…,2?用中任取一個(gè)正整數(shù)n恰為題中方程的解的概率為

335+336+3361007

2015=2015,

26.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）拋一顆色子三次，所得點(diǎn)數(shù)分別為機(jī)、“、/，.則函數(shù)

y^rnx'-^x1-/"+1在［1,+x）上為增函數(shù)的概率為.

【答案】~

【解析】

【詳解】

注意到，/（X）=I

在口，內(nèi)）上為增函數(shù)等價(jià)于/'（x）=2〃M-，a-〃>0

在［Lx）上恒成立，等價(jià)丁/'⑴>0.即2，〃>〃+p.

當(dāng)，〃=2時(shí)，〃+〃43,有3種:當(dāng)m=3時(shí),n+p<5,有10種;

當(dāng)“1=4時(shí).n+p<7,有21種;當(dāng)“7=5時(shí)，H+p<9,有30種;

當(dāng)，〃=6時(shí)，〃+〃VII,有35種.

,,工...u.,-f.3+10+21+30+35II

故所求概率為--------j-------------=—.

624

27.（201少全國(guó),高三競(jìng)賽）將編號(hào)為I,2,....9的幾顆珍珠隨機(jī)固定在一串項(xiàng)鏈

上，假設(shè)每顆珍珠的距離相等，記項(xiàng)鏈上所有相鄰珍珠編號(hào)之差的絕對(duì)值之和為了則

T取得最小值的放法的概率為.

【答案】條

【解析】

【詳解】

由題設(shè)，知珍珠的固定方法共有工=4x7!（種）.

9x2

在項(xiàng)鏈所在的例周上，從卜9有優(yōu)弧和劣弧兩條路徑，設(shè)』,出,…，玉是依次排列在這

段弧上的珍珠號(hào)碼.

則丁=|1"|+|凡-引+…+卜-9|2|（1-司）+（,5-%）+…+（4-9）|=8,

當(dāng)且僅當(dāng)1<芭<與<…<Z<9時(shí)，等號(hào)成立.

因此，丁取得最小位的放法共有C；>+C；+C；+C；=26（種）.

故所求概率為二一二」一.

4x7!315

28.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）小張、小李、小華、小明四人玩輪流投擲一枚標(biāo)準(zhǔn)色子的

游戲.若有一人投到的數(shù)最小，且無(wú)人與他并列，則判他獲勝；若投出最小數(shù)的人多于

一個(gè)，則將沒(méi)投出最小數(shù)的人先淘汰，再讓剩下的人重新做一輪游戲，這樣不斷地進(jìn)

行下去，直到某個(gè)人勝出為止.已知第一個(gè)投擲色子的小張投到，數(shù)3.則他獲勝的概率

是

175

【答案】西

【解析】

【詳解】

考慮第一輪次中可能出現(xiàn)的四種情形.

（1）小張獲勝.這種概率是.

⑵小張與另外某一人打成平局.這種概率是C；X：X《）=2

故形成此情形且小張最終獲勝的概率是p,=

-8216

（注意該游戲永不停止地進(jìn)行下去的概率是0,下同）.

（3）小張與另外某兩個(gè)人打成平局，這種概率是$《卜：=或，

故形成此情形且小張最終獲勝的概率是與=J

（4）所有人均打成平局.這種概率是（

故形成此情形且小張最終獲勝的概率是H=工.

2164864

綜上，小張?jiān)谟螒蛑蝎@勝的概率為尸=《+8+乂+/：=,+,+—匚=%.

■81672864864

29.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）從集合卜,2.…,2011｝中任意選取兩個(gè)不同的數(shù)“、/>,使得

a+〃=〃（〃為某正整數(shù)）的概率為，打.則岫的最小值為

【答案】2010.

【解析】

【詳解】

k[

記使得“+%=〃的方法有人種.則在一=赤7=太=1°05,

考慮，仍盡量小,且使“+〃=〃的方法有1005種.

?。?2011.WJ1+2010=2+2009=-=10?5+10*6.

此時(shí)，4+〃=2011的選法恰有'1005種.

于是，油的鍛小值為1x2010=2010.

30.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）A、8兩隊(duì)進(jìn)行乒乓球團(tuán)體對(duì)抗賽，每隊(duì)各三名隊(duì)員,每名隊(duì)

員出場(chǎng)一次.A8兩隊(duì)的三名隊(duì)員分別是A、&、氏、4,且從對(duì)8,的勝率為

房（14八）43）.則A隊(duì)得分期望的最大可能值是

恪案喘

【解析】

【詳解】

設(shè)A仆4勝率為外0?分則4隊(duì)得分期望為1+小+2,，

if^l+2+31+2+31+2+31+2+31+2+31+2+3

246255336354446435

M知*",人際…M膛最大磺.

31.（2018?全國(guó)?高三競(jìng)賽）將1~6這16個(gè)正整數(shù)隨機(jī)地填入4x4機(jī)盤(pán)的16個(gè)格子

中（每格填寫(xiě)一數(shù)），則使每行、每列填數(shù)之和皆為偶數(shù)的概率為

41

【答案】

2145

【解析】

【詳解】

百冼，將4x4機(jī)盤(pán)染期白兩色，使黑、白兩種格孑各有8個(gè)，且每行（或列）中同色

的格子有偶數(shù)個(gè).

分三種情況討論：

（1）若第一列為兩黑兩白，則該列有C：種染法.

考慮后三列每行黑格的個(gè)數(shù)，則有1+2x3x2+3x2x2+3x3=34種染法.

（2）若第一列為四黑，則后三列共有3+C；C：=21種染法.

（3）若第一列為四白.則后三列共有21種染法.

對(duì)于以上崗種染法，將1~16中的偶數(shù)填入黑格中，奇數(shù)填入白格中，得到滿(mǎn)足條件的

填法.

他所求概率為（6x34+2lx2）x（8!）_41

16!'^2145,

32.（2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽）某人練習(xí)打靶,開(kāi)始時(shí),他距靶1?0，〃,此時(shí),進(jìn)行第一次

射擊.若此次射擊不中，則后退50m進(jìn)行第二次射擊，?直進(jìn)行下去.每次射擊前都后

退50〃?，直到命中為止，已知他第一次的命中率為I，口命中率與距離的平方成反比.

則他能夠命中的概率等于

【答案】3

【解析】

【詳脩】

記事件“第”次射擊命中,'為人"，其概率為P(A).則戶(hù)(4)=5.

又第〃次射擊時(shí)距離靶100+50(〃-1)=50(〃-1)W),

則戶(hù)(4)

于是,前"次內(nèi)命中的概率為

修=|一2伍仄..…兄)=|-2伍士伍)…叩口

_［1〃+2_n

="2VH=2(W-4-1),

令〃TOO,得1出】匕=!.

-x2

因此，此人能夠命中的概率是3?

故答案為3

33.⑵⑼全國(guó)?高三競(jìng)賽)如圖，給定由曾1個(gè)點(diǎn)組成的正三角形點(diǎn)陣.在關(guān)中

任意取三個(gè)點(diǎn)，以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的概率為

??????

??…??

????

［答案］--,

〃一十〃一4

【解析】

【詳解】

設(shè)正三為形點(diǎn)陣的凸包為正MBC.邊長(zhǎng)為〃-1.

首先，計(jì)算正ADEF的個(gè)數(shù),其中，1)、E、F為上述正三角形點(diǎn)陣內(nèi)的點(diǎn).

如圖，將AB、AC分別延長(zhǎng)到點(diǎn)B'C,使得WT=CC'=1.將88'分成n等份.

對(duì)正三角形點(diǎn)陣內(nèi)任一點(diǎn)X,過(guò)X作AB、AC的平行線(xiàn)與BC'的交點(diǎn)，并分別記為

下面分兩種情形.

1.1EADEF與正AABC的對(duì)應(yīng)邊平行,則正4DEF與邊■(?’上有序三點(diǎn)組(號(hào)￡，4)

一一對(duì)應(yīng)，有C3個(gè)正三角形.

2.儂0EF不與小△ABC對(duì)應(yīng)邊平行，作正△。77尸'的外接正ADEF,使祖正△

DEF與正△ABC的對(duì)應(yīng)邊平行，則正△DTEP與邊B，C，上有序四點(diǎn)組

(耳,名,么,冢)一一對(duì)應(yīng)，有c"個(gè)正三角形.

綜上，共有c3+C：“=CL個(gè)正三角形.

c3__?_

3

從而，所求概率為C一—1)、,『+〃-4?

2

9

故答案為，~“

〃~+”-4

34.(2019?全國(guó)?高三競(jìng)賽)有7名運(yùn)動(dòng)員分別獲得某項(xiàng)比賽的一、二、三等獎(jiǎng)，已知

一等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于】人，二等獎(jiǎng)的人數(shù)不少于2