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文檔簡介
競賽專題3三角函數(shù)
(50題競賽真題強化訓(xùn)練)
一、單選題
1.(2018?吉林?高三競賽)已知了⑴一.",則對任意xwR,卜列說法中錯誤的
24-cos.V
是()
A./(x)>|sin.vB.|/(刈斗]
C|/(.V)|<^D./(7F+A)+/(^-X)=()
2.(2018.四川?高三競賽)函數(shù)y=(sin、T)(cgi-l)(Ye汽)的最大值為().
2+sin2K
A.正B.1C.L正D.拉
222
3.(2019?全國?高三競賽)函數(shù)_y=kinx?>sx]+卜inx+cosx]的值域為()([x]
表示不超過實數(shù)》的最大整數(shù)).
A.{-2,-1.0,1,2}B.{-2,-1,0,1}
C.{-1,0,1)D.{-2.-1.1}
4.(2010?四川?高三競賽)己知條件p:Jl+sin2aq和條件q:卜ina+cosa|=g.則〃
是的().
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5.(2018?全國?高三競賽)在AA8C中,zS4<ZB<ZC,.smA+si叱=6
cosA+cosB+cosC
則DO的取值范圍是().
二、填空題
6.(2018?江西?高三競賽)若三個角J)'、z成等差數(shù)列,公差為則
tanxtantanytanz+tanztanx=
7.(2018?廣東?高三競賽)已知△ABC的三個角A、B、C成等差數(shù)列,對?應(yīng)的三邊為
a、b、c,且a、c、言成等比數(shù)列,則5川"=
8.(2019?全國高三競賽)設(shè)銳角a、P滿足awQ,且
(cos』a+cos24)(I+lana?lan£)=2,則a"=.
9.(2021?全國?高三競賽)函數(shù)戶sin?l+tan「tai,)的最小正周期為
10.(2021?浙江金華第一中學高三競賽)設(shè)/(、)=(Y+4X+3廣哈為定義在K上的函
數(shù).若正整數(shù)“滿足(V住)=2021,則”的所有可能值之和為
AT
ACT—!_1*45_
11.(2021.全國?高三競賽)在AA8c中,-―A+~~C~~一耳二。,PPJHC+AH
tan—tan—tan—
222
的值為
59
12.(2021?全國?高三競賽)H知AA8c滿足2sinA+sin8=2sinC,則——+——的
sinAsine
最小值是
13.(2020?浙江.高三競賽)己知64、ye0,y,則
cosa+2cosQ+cosy-cos(a+y)-2cos(〃+7)的最大值為
14.(2021?全國?高三競賽)已知三角形A8C的三個邊長“、b、c成等比數(shù)列,并且滿
足則NA的取值范圍為
15.(2021?全國?高三競賽)設(shè)且cos*+sin*+lMAKcosd+sinO+iy,則
實數(shù),”的取值范是
16.(2021?浙江兩三競賽)在“8c中,N8=/C=30°,A8=2.若動點P,。分別
在A8,8c邊上,且直線0Q把AA8c的面枳等分,則線段尸。的取值范圍為.
17.(2021?浙江?高三競賽)若則函數(shù)產(chǎn)紀j-—3的最小值為
K447sin.v+cos.v
18.(2021?全國高三競賽)已知等腰直角dQM的三個頂點分別在等腰直角於8。的三
條邊上,記“QR、”8C的面枳分別為臬咿、$“它,則沁■的最小值為
19.(2021-全國?高三競賽)滿足方程cos2A+cos22x—2cos.vcos2.vcos4.v=?,xw[0,2川
4
的實數(shù)K構(gòu)成的集合的元素個數(shù)為
20,(2021全國?高三競賽)設(shè)“8C的三內(nèi)角4、B、C所對的邊長分別為〃、b、c,
若b+c—a=2?則h2sin2—+c1sin'--Zftcsin—sin—sin—值為
22222
21.(2021,全國兩三競賽)“8C中,A、B、C的對邊分別為a、b、c.。是、28c的
外心,點?滿足加:厲+班+元,若8=三,且所.反1=4,則d/3c的面積為
22.(2021?全國高三競賽)設(shè)“8c的三個內(nèi)角分別為A、B、C,并且
sinA、c?s8、sinC成等比數(shù)列,cosA、sin8、cosC成等差數(shù)列,則B為
23.(2021?全國?高三競賽)如果三個正實數(shù)x、Az滿足V+.ry+./=25,
)6+)2+/=144,r+zx+.t2=169,則人力+產(chǎn)+次=.
cosV
24.(2021.全國?高三競賽)設(shè)/(叱、八―則〃1。)+〃2。)+…+/(40。)=
IDU.1I
25.(2021?全國?高三競賽)已知cosx+cos「=1,則sinx-sinp的取值范圍是
26.(202()?全國?高三競賽)在“8C中,48=6,8C=4,邊AC上的中線長為布,
則sin^+cos。/的值為
27.(2019?江蘇,高三競賽)已知函數(shù)f(x)=4sin2x+3cos2.v+2asinx+4acosx的最小
值為一6,則實數(shù)”的值為
28.(2019?福建?高三競賽)在△A8c中,若4C=",AB=2,且
GsinA+cosA5萬
-l----------------=tan—.則8C=____________
近cosA-sinA12
29.(2018?全國?高三競賽)設(shè)NA、O8、NC是AA8c的三個內(nèi)角.若sinA=a,cos8=b,
其中,a>0,b>0,且a2+b!1,則tanC=
30.(2018?全國兩三競賽)在A48c中,已知“、b、c分別是ZA、D3、NC的對
邊.若二+2=4cosC,cos(A-B)=-,則cosC=
ba6
31.(2018?全國?高三競賽)若時任意的AA8C,只要,+,=,(〃、“€氏),就有
psiirA+r/sin2B>p(/sin:C,則正數(shù),?的取值范圍是-
32.(2018,全國高三競賽)在銳角AA8C中,cosA+cos8-sinA-sin8的取值范圍是
33.(2019?全國?高三競賽)已知單位圓.*+『=1上三個點4(』,)[),8(占.%),
X)滿足-v>+x2+-S=V,+*+.*=0.則x;+*+X;=y:+y:+y;=
34.(2021?全國■高三競賽)在AA8C中,2cosA+3cos8=6c.sC,則cost?的最大值
為______________?
35.(2021?全國?高三競賽)已知正整數(shù)小P,且〃N2,設(shè)正實數(shù)〃卜嗎,…也滿足
V—^―=1,則〃”",???〃?”的域小值為____.
$+現(xiàn)
36.(2021.全國?窗三競賽)設(shè)銳角AA8c的三個內(nèi)角4B、C,滿足
sinA=sinBsinC.Wi]tanAtanB-tan。的最小值為.
37.(2019?貴州?高三競賽)在△ABC中,GA-FGB+GC=6.GXG5=().J1IJ
(tanA4-tan/?)taiiC_
tanAtan8
38.(2019?江西?高三競賽)A/WC的三個內(nèi)角八、從。滿足:A=3?=9C,則
cosAcos8+cosBcosC+cosCcosA=
三、解答題
39.(2021?全國?高三競賽)在一BC中,三內(nèi)角4、5、C滿足
tanAtanB=tanfiianC+tanClanA,求cos。的最小值.
2n2。V
40.(2021?全國?高三競賽)解關(guān)于實數(shù)A的方程:Zarctan:={1}9°(這里
4=1K
3=)-3,卜]為不超過實數(shù)》的眼大整數(shù))
41.(2021全國?高三競賽)己知點42cosor,$ina),8(2cos夕,$in/?).C(2cosy,siny),其
中a,A7€[0,2萬),且坐標原點O恰好為AA8c的重心,判斷邑田是否為定值,若
是,求出該定值;若不是,請說明理由.
42.(2019?上海?高三竟賽)已知48J。,g],且當=sin(A+8),求〃"認的展大
I2JsmB
值.
43.(2018?全國?高三競賽)在AA8C中,證明:
BCCAAB
cos—cos--cos—?cos——cos—cos-士華,當且僅當AA8C為正三角形時,上式
2222+22
A~
cos—
2
等號成立.
44.(2019?全國?高三競賽)在△ABC中,若空四+上*=2,證明:NA+NB=90。
sin8sinA
45.(2018?全國?高三競賽)已知的三個內(nèi)角滿足NA+NC=2N8,
COSA+COSC=-"C°SACOSC,求8s空C的值.
cos82
46.(2018?全國?高三競賽)己知函數(shù)”x)=3(sin\+cos3.r)+///(sinx+cos工)’在
?re0,1有最大值2.求實數(shù),”的值.
47.(2019?全國?高三競賽)求/(.")=&os4x+7+JCQS4y+7+
^/cos4.v+cos4y-8sin2x-siify+6的最小值.
48.(2021?全國?高三競賽)求證:對任意的〃£此,都有
1111n
arctan-+arctan-+…+arctan--------+arctan----=——.
371+〃+獷4
49.(2021?全國兩三競賽〉設(shè)久[3、/是銳角,滿足a+〃=y,求證:
cosa-i-cos/?+cos/-l>2>/cosfz-cos/Jcos/.
50.(2019?河南?高二競賽)銳角三角形人“。中,求證:
cos(B-C)cos(C-iA)cos(A-B)..8cosAcosBcosC.
競賽專題3三角函數(shù)
(50題競賽真題強化訓(xùn)練)
一、單選題
1.(2018?吉林?高三競賽)已知r(x)=cS"x,則對任意xwR,卜列說法中錯誤的
'2+cosx
是()
A./(x)>|sin.vB.|/("因.可
C.|/(小,D./(萬+*)+〃…)=0
【答案】A
【解析】
【詳解】
由得sin.r(l-cos.x)NO,?「l-cos工N。,所以該式不一定成京,sinx行川能
是負數(shù),所以選項A錯誤:
|/(3=熱、4忖間41.所以選項B正確:
1〃.川=卜間=1sinV-0
I表示單位圓上的點和(-2,0)所在直線的斜率的絕對
,|24-cos.r|cosA-(-2)
情,數(shù)形結(jié)合觀察得到|/3歸9.所以選項c正確:
/(zr+.r)+f(K-x\=-s^nA+=—--=0,所以選項D正確.
'2-cosx2-cos.v2-cos.v
故答案為A
2.(2018?四川?高三競賽)函數(shù)v=(='一以儂一1)(、6R)的最大值為().
,2+sin2x
A.正B.IC.」-+且D.72
222
【答案】B
【解析】
【詳解】
sint?cos,t—卜山口+COSA)+1
因為V=金
2+2sinvcosx
f=situ+cosx=
則sinA.cos_t=i(l-12).『是
:(/_])_/+]I/
2+(r-l)
I--
個g(')=號,則#'(/)
西?
由"([)=0知/=-|或I.
因為&(_應(yīng))=+于是&(/)的最小侑是
8(-1)=-;,所以了的最大值是91口=|
故答案為:B
3.(2019.全國?高三競賽)函數(shù),y=、inxcosx]+卜inx+cos.t]的值域為()([x]
表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)).
A.{-21,0,1,2}B.{-2,-1,0.1}
C.{-1,0,1}D.{-2,-14}
【答案】D
【解析】
【詳解】
v=^sin2.r
下面的討論均視AEZ.
(I)當2k冗W&42kn+一時,.、'=?:
2
當2A/r+gv2&不+子時,y=-1:
當2£〃+至<女<2*乃+”時.y=-2-
⑶
4
當x=2*乃+”或2*乃+半時,)'=-1;
(5)當2R/r+TC<x<2kjr+時,y=—2:
當24乃+包v.r<24乃+二時,}'=一2
(6)
24
當2?萬+上亢亢時,y=-1.
(7)Sx<2k+2
4
綜上,yi1.
故答案為D
,Ai
4.(2010?四川.高三競賽)已知條件〃:+sin2a=、和條件q:卜ina+cosa|=1.則〃
是<7的().
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【詳解】
因也+sin2a=^(sina+cosa)'=[sina+coscr|.所以.P是C1的充要條件.
5.(2018.全國.高三競賽)在AA8c中,NAVN84/C,S叫+澗'+sm'=互
cosA+cosZ?+cosC
則所的取值范圍是().
【答案】C
【解析】
【詳解】
由條件有si【M+siIW+sinC=cosA+cos^+cosC)
n2sin"Jcos"Jsin8
±t£ocosdz£+cos/?
222
A1£.2sinA±£=sin/?-A^COSB
22
nA+CA-C
利用輔助角公式有2sin=sin|3一匹
322
A-C
=>2sin
2―
c°s上Jc°s生"
=0
222
B-60°A-C+B-60°B-A+C-6O0
=sfn------°osfn-------------°Osln-------------0,
24
所以,-600=0或者4一/。+/8-60。=0或者/3-/4+/。-60^=0.
即NB=60。或者NC=60?;蛘?A=60。,亦即NA、NB、NC中有一個為60。.
若ZB<60。,則NASN8<60。,所以,只能NC=60°,此時./4+/8+/。<180。,矛
盾;
若N8>60。,則NC2N8>60°,所以,只能NA=60°,從而.ZA+ZB+ZC>180°.
亦矛盾.選C.
二、填空題
6.(2018?江西?高三競賽)若三個角X、八z成等差數(shù)列,公差為。,則
tanxtany+tanytanz+tanztanx=.
【答案】-3
【解析】
【詳解】
根據(jù)x=y-1.z=y+g.
Mlltanv-JJlanv+G
則taox=--r.[anz=—廠.
I+V3tanv1-v3tany
tair)j-y5tanvtan2v+>/3tanvtan2
所以tan.vtai\v=tanytanz=---'-j-----—,tanztanx=----,一
I+>/3ianvI-,3tanv1-3tan'v
則tanzanv+tanvtanz+tanztaar=也3=-3
,l-3tan?v
故答案為-3
7.(2O18?廣東?商三競賽)已知AABC的三個角A、B、C成等差數(shù)列,對?應(yīng)的三邊為
4
a.b、Cr且a、c、而〃成等比數(shù)列,則5M妙"、.
【答案】正
2
【解析】
【詳解】
因為A、B、C成等差數(shù)列,28=A+C,38=A+8+C=180。,因此8=60。.
又因為a、c、成等比數(shù)列,所以c=q〃.力=畫Z.
4
由F弦定理,-=四上?=qa,
sinA4sin60°sin(l200-A)
整理得sinA=/,—cosA=---y,(9-2)%3+5/+4+(q-2)[=。.
42**-LJ
所以g=2,siiL4=1.A=30°,C=90°.
故又4附=;。。=李/,所以
故答案為亞
2
8.(2019?全國高三競賽)設(shè)銳角。、夕滿足且
(ces2a+cos20(1+lana?lan/7)=2,則a+尸=.
【答案】90
【解析】
【詳解】
由已知等式得(2+tan%+3]刈(!+lanauin4)=2(1+ian%)(l+tan2/?),
(tana-tan/?)~(tanatan/?-1)=0.
但銳知。。,故tana-tan/?-1=0
=cos(a+/?)=0=a+4=90。.
故答案為90
9.(2021?全國?高三競賽)函數(shù)y=$in.“+tan.v-tan^j的最小正周期為
【答案】27r
【解析】
【詳解】
解析:當x=2公r,AeZ時,y=sinI+tan.v-tan~^=0?
當sZ時,Y=sin.r(l+J""」■—|=tanx,Jti|ikrr+—5L
\cosxsinx)2
大。224+工,
畫出圖象可得函數(shù)周期為2%.
故答案為:2〃.
10.(2021?浙江金華第一中學高三競賽)設(shè)/(X)=(1+4N+3丫吟為定義在&上的函
數(shù).若正整數(shù)〃滿足口./'/)=2021,則〃的所有可能值之和為
Xcl
【答案】12121
【解析】
【詳解】
f(k)=代+4A+1)'哼="?+1)嘮伍+3)冶;
H〃A)=(1+1)。(1+3)"(2+尸(2+3)-'x...x(4,〃_3+1)。(4,〃-3+3)°
<a1
X(4/H-2+1)-'(4,〃-2+3尸x(4,n-l+l)°(4/n-l+3)°(4〃,+1)'(4,"+3)1,
考慮cosj.v的周期為4,分四種情況考慮
(I)當Jt=4,〃-3(川為正整數(shù))時.
]/(£)=(2+l)T(2+3)-'(4+l)i(4+3)i.“x(4〃t_4+3)i(4"i-3+l)"(4,H-3+3)°
HI
二3"x(4/〃-1)=2021.
所以4〃L1-6063,fi=4rn-3=6061;
4m-2
⑵當A=4,〃-2時,[I/(Q=3-'x(4,〃+l)-'=2021,無正整數(shù)解:
■l/n-l
⑶當火=4,〃一1時,1I,⑹=3'X(4〃?+1尸=2021,無正糠數(shù)解:
(4)當氏=4,〃時,咨/⑹=3"x(4〃?+3)’=2021,此時〃=4,〃=6060,
i-I
綜上,“=6060或“=6061.
故答案為:12121.
A0_§1_J______5_
11.(2021?全國?高三競賽)在AASC中,=''—A+'―C—豆二°,則8C+A8
tan—tan—tan-
222
的值為
【答案】7
【解析】
【詳解】
解析:記“8c中A8、C所對的邊分別是a、〃、c.
如圖,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為,,
ArCrBr
m.flan-,tan—=.tan-=-------
則2b+c-a、2u-^b-c.2a+c-b,
~~2~-2~~2~
故〃+c-a+a+〃-c=5(“+c-〃),故5(a+c)=7〃,
即〃+c=7,
故答案為:7
59
12.(2021?全國?高三競賽)己知“WC滿足2sinA+sinB=2sinC,則--十——的
sinAsinC
最小值是
【答案】16
【解析】
【詳解】
解析:2sinA+sinB=2sinC=>sinB=2(sinC-sinA)
c.A+CA+C.C-AA+C
n2sin-----cos-----=4sin------cos-----
2222
A+C個.C-ACcA
nsin-----=2sin-----=>tan—=3tan—.
2222
5959—27人3
+
令"tan5,則sinAsinC~^T~6T2t2t
r+19/+】
⑹2+4
>—=16.
A1C
當f=一,tan—-Jan—時,tan一一上>0,所以A+C<180。,
2222=12
59
故16
sinAsinCmm
故答案為:16
13.(2020?浙江.高三競賽)已知a.#,7w.則
cosa+2cos[i+cos/-cos(a+7)-2cos(尸+y)的最大值為
【答案】3板.
【解析】
【詳解】
cosr2-cos(rz+/)=2sin-sina+乙<2sin-,
'')2I2)2
同理cc\〃一cos(77+7)W2sin].
y
故cosa+2cos/7+cosy—cos(a-Fy)-2cos(/7+/)<6sin彳+cosy.
而6sing+co$y=-26in2(+6sin§+l=-2(sin§_3)+?,
lB^0<sin-^<—,故-2(sinZ-3]+-<3>/2.
22\22)2
當且僅當士什"十時,各等多成立.
故答案為:3五
14.(2021.全國高三競賽)已知三角形48c的三個邊長〃、Ac成等比數(shù)列,并且滿
足則NA的取值范圍為
【答案】已當
33
【解析】
【詳解】
由條件>?=“<:,結(jié)合余弦定理cos8="+'.WlJ/fcos/y=I)>—.
2aclea2
「7t.UMI々..-rA「12才)
從而A£(o,不,而A是最大角,從而4G—.
JL?*?
3比,八、j「42不)
故答案為:y.yI.
15.(2021?全國?高三競賽)設(shè)。<〃<★,且85'6+甯!?6+1=〃代(^6+$皿6+1)3,則
實數(shù)〃J的取值范是
【答案】3*上;
.7
【解析】
【詳解】
cos'0+sin,0+1
解析:
(cos6+sin8+I?
(cos。+sin,)(cos20-cossin。+sin?。)+1
(cos0+sin04-1)5
令x=cQs0+sin0,則A=0$in[°+;)£(1,0],且sin9cos°=:'二],
一,2
于是(2)24-3.V-.V2+x22-x3I?
(工+1)32(.v+ir2*+【尸2(A+I)2(X+I)2
為然,〃是。.應(yīng)]上的減函數(shù),所以八0)</(,〃)</(1),即機£嗨心二.
.24J
2,[誓叫
16.(2021?浙江?高三競賽)在AA8C中,N8=NC=30。,人8=2.若動點尸,。分別
在48,8c邊上,且直線「。把“8C的面積等分,則線段P。的取值范圍為.
【答案】[“0-6河
【解析】
【分析】
【詳解】
如圖所示.設(shè)8P=.r.8Q=.v,
所以S=—.vysin30=—S=—,所以xv=273.
4?i7v2?2MC2?▼
由余弦定理可得.P。2=.$+3,2-2.CX—=.v2+y2-6=.J+¥-6.
2x~
易得xe|l,2].所以.v?
所以4G-64PQ?47.
則PQ的取值范圍為.
故答案為:“4癢6,"卜
17.(2021?浙江?高三競賽)若則函數(shù)產(chǎn)比”8c+3的展小值為
\44ysinA'+COSA,
【答案】2夜
【解析】
【分析】
【詳解】
令,=$inx+cos.v=-J7.
12(,')+3=*=2,+占在
當且僅當"加考時取等文
故答案為:20.
18.(2021?全國?高三競賽)已知等腰直角APQR的三個頂點分別在等腰口角AA8c的三
則沁的坡小值為
條邊上,記WQR、”8C的面積分別為S,”、",
【答案】I
【解析】
【分析】
【詳解】
(I)當dQR的在角頂點在“8C的斜邊匕如圖I所示,則P,C、Q,/?四點共
圓,ZAPR=ZCQR=1800-Z.BQR,所以sinZAP/?=sinNBQR.
在.△APR、ABQR中分別應(yīng)用正弦定理得上=丁I。。,篝=.臂
sinAsm/APRsinBsinZ.BQR
乂NA=N8=45o,PR=QR,故AR=8R,即/?為A8的中點.
過R作RH1ACJ〃,則PRNRH=gBC,
所以L#_PR-_1,此時N的最小值為!.
不=記一"4
則NCPR=90。一Z.PRC=ZBRQ=a.
CRv
《Rf.CPR中,"?=-=」一,在△/次Q中,
sinasina
Y3
BR=I-.v.RQ=PR=——.4RQB=/r-4QRB-4B=」兀-a.
sina4
RQRBTn.1-.vx1
由正弦定理,蓊=嬴數(shù)=U=-H―[OG=c°sa+2sinM因此
」sin-sin-n-a
4U}
、H二S"3二(_____J_____]>1_£
」J札S0Aoe(cosa+2sinaj-(1+2?乂cos?a+sin?a)5
當且僅當a=arctan2時取等*}?此時的最小值為;-
5
故答案為:—.
19.(202L全國,高三競賽)滿足方程cos2A+COS:2.V-2cosxco:;2xcos4x=-,.re[0.2^-]
4
的實數(shù)x構(gòu)成的集合的元素個數(shù)為
【答案】14
【解析】
【分析】
【詳解】
將方程變形為,cos2.v+cos4.v-4cos.rcos2.vcos4.v=-g
兩邊同乘2sin.i,運用積化和差和正弦的倍用公式,得:
(sin3.v-sin.r)+(sin5.r-sin3.v)-sin8.v=-sinx,
即sin5x=sin8K.
故5.v+8x=(2k+1)1,AeZ或8.v=5x+2ATT,kwZ,
即.r=2K+1n、ke2或》=竺eZ.
133
乂因為在方程兩邊同時乘sinx時,所以引入了增根K=北無/wZ(代入原方程檢驗可
得).
再結(jié)合.“[。、2兀],得所求結(jié)果為14.
故答案為:14.
20.(2021?全國?高三競賽)設(shè)AA8c的三內(nèi)角八、8、C所對的邊長分別為“、b、c
若〃+c-“=2,則/Psin'C+cZsin'g-Z/'csinAsinOsinC值為.
22222
【答案】I
【解析】
【分析】
【詳解】
,,.,C、.、Br,.A.B.C
p'sin'—be-sin-----2/;csin—sin—sin—
22222
=-/;2(l-cosC)+-c2(l-cosfi)--Z>c(cosA+cosB+cosC-1)
222
=.!?(//+c:+2bc)--h(bcosC+ccosB)--c(ccosB+bcosC)+-(b2+c2-2bccosA)
4224
12,+ca
=-(b~+C+2hc)--ha--ca+-a=^~y=]
42242
故答案為:1.
21.(2021?全國?島三競賽)AA8c中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,O是AABC的
外心,點?滿足而=5+而+左,若8=號,且靜.阮=4.則“8C的面積為
【答案】26
【解析】
【分析】
【詳解】
由3+9+0亍,得濟-)=麗+3。.即/+元.
______5卬IMAI
注意到(而+工)-L,所以人戶_LBC.
同理,BP1AC.所以尸是“8C的垂心,
麗?阮=(BA+AP>BC=BA-BC、
所以accos8=4,ac=8.
所以S.sc=~ac$inB=26.
故答案為:2vL
22.(2021?全國,高三競賽)設(shè)“8c的三個內(nèi)角分別為A、B、C,并且
sinA、cos8、sinC成等比數(shù)列,cosA、sin8、cosC成等差數(shù)列,則B為
【答案】y
【解析】
【分析】
【詳解】
儂題意,sin4sinC=cos28,cosA+cosC=2sinB,
前一式積化和差可得cos(4-C)=2cos2B-cosB.
4_CR
后一式和羌化枳可得cosC-2=2COS2.
22
所以cos(A-C)=2cos3—~~--I=8cos2—-l=4cosfi+3,
22
聯(lián)立兩式得cos8=-g或3(舍去),所以8=生.
23
故答案為:y
23.(2021?全國?高三競賽)如果三個正實數(shù)六J、z滿足.e+x、,+y2=25,
/+yz+z2=144,z\zx+.d=169,則.。+"+次=
【答案】406
【解析】
【分析】
【詳解】
,V2+>,2-2,n-cos)20°=52,
易知三個等式可化為卜2+Z?-2)283120。=12、
z2+.V2-2z.vcos120°=132.
構(gòu)造Rt^ABC.其中AB=]3,BC=5,CA=12.
設(shè)P為△A8c內(nèi)一點,使得PB=工PC=y.PA=z.乙BPC=Z.CPA=ZAPB=120°.
閃S“"T+S??,\+=S"*"c,則—(-'3'++zv)sin120°=—x5x12,
22
所以r.r+yz+zv=405/3.
故答案為:40>/3.
COSX
24.(2021?氽國,高三競賽)設(shè)了⑴飛(孫…),則/?!?+〃2°)+…+/(60。)=
【答案】1Z2立
6
【解析】
【分析】
【詳解】
COS.V
因為/*)=,所以:
cos.vcos(6l°-x)
/(.V)-F/(60°-.V)=
cos(30°-A)cos(.v-30°)
cos.v4-cos(60°-,v)_2cos30°cos(.v-30°)
cos(.v-30°)cos(.v-30°)
令:£=〃1。)+/(2。)+???+/(59。).①
s=〃59。)+/(58。)+…+/(2。)+/(1。)?②
①+②得::
2s=[/(1。)+f(59。)]+[/(2。)+/(58。)]+…+[/(59。)+/(1。)]=596.
所以$=當?shù)?即/(】)+/(2)+,+/(59)=竿.
2
,向)=cos60。=5=]
'1)cos(300-60。)一0一3,
T
則/(1。)+.”2。)+...+/(59。)+/(6()。)="+坐=上步.
236
故答案為:122^.
6
25.(2()21?全國?高三競賽)已知85工+8§、=1,則sin.v-siny的取值范圍是
【答案】[-6,6]
【解析】
【分析】
【詳解】
產(chǎn)—1/_]
設(shè)sinx-sinv=,,易得cos.rcosv-sin.tsinr=~^―,EPcos(,v+y)=.
由f--l<cos(.v+y)<1,所以,
解得一代二品班.
故答案為:卜6,0]
26.(2020?全國?高三競賽)在“8C中,AH=6JiC=4,邊AC上的中線長為加,
4A
則sid^+cosG]的侑為
【答案】三21I.
【解析】
【分析】
山中線氏公式計算出AC的長度,然后運用余弦定理計算出cos/l的值.化簡后即可求
出結(jié)果.
【詳解】
記M為4C的中點.山中線長公式得
4BM2+AC'=2[AB2+BC2),
川AC=^2(6:+4:)-410=8.
CA2+AB2-BC2_8,+62-42
由余弦定理得cos人=所以
2CAAB2-8-68
,6八6人八1八]/.4八2
sin—+cos—=sin'—I-cos--sin---sin△■2+cos』
22122A2223
1/A、A。A->A
ilK-4-COS一—3sjn'—cos'一
2-222
=I--sin24
4
2II
故答案為:
256
【點睛】
關(guān)鍵點點睛:解答本題關(guān)鍵是能夠熟練運用中線長公式、余弦定理、倍角公式等進行
計算,考查綜合能力.
27.(20|9-江蘇.高三競賽)己知函數(shù)/(A)=4sin2x+3cos2x+2asin.v+4ncos%的最小
值為-6,則實數(shù)a的值為
【答案】±^2
【解析】
【詳解】
令sin.r+2cosx=t,則/e卜-如j.
2/2=4$in2x+3ce$2x+5,
??/。)=g(/)=2廣+2al-5,/€|一退,行|?
當-54.a>2>j5時,
函數(shù)的最小值為:^(->/5)=2X(-^)?+2X(-75)X?-5=-6.
解得:”=/,不合題意,舍去;
當一:N邪,〃4-2b時,
函數(shù)的段小值為:g(6)=2x(6『+2x(#)x“-5=-6,
解得:“=不合題意’舍去:
當一正<-'<小、-2石<a<2石時,
函數(shù)的最小侑.為:g(一])=2x[—+2x(-]]xa—5=-6.
解得:?=±>/2.滿足題意.
故答案為:土.
28.(2019?福建?高三競賽)在△AAC中,若AC=",4?=2,且
J3sin4+cos45兀,
-r------------二tan—,m則r“C=______________
V3cos4-sinA12
【答案】[
【解析】
【詳解】
r.2sinf/l+-]
;J3sin4+cosA5”—16J5左
1H-A------------=ian—.奇-----7-----v=tan——,
j3ccs4-sinA122cos,+:)12
即tan(A+工]=tan包,所以二'+4兀,keZ.
I6J12612
結(jié)合0<4
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