高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)18數(shù)列、不等式

易錯點(diǎn)-數(shù)列、不等式

專題綜述

數(shù)列在高考中可以是客觀題，也可以是解答題，客觀題一般突出小、巧、活，解答題一般

考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，難度不大；

不等式主要考查不等式的應(yīng)用，一般為客觀題，其中基本不等式也有可能與解三角形及解

析幾何交匯出現(xiàn)在解答題中.

專題探究

Sn與an關(guān)系不清致錯

求前n項(xiàng)和時項(xiàng)數(shù)不清致錯

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系不清致錯

對不等式基本性質(zhì)理解不透致錯；二71一

數(shù)列、不等式

等差數(shù)列、等比數(shù)列混合運(yùn)算時致錯

基本不等式應(yīng)用不當(dāng)致錯

不理解數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)致錯

探究1”,與％關(guān)系不清致錯

易錯警示己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S",求通項(xiàng)％與sn的關(guān)系中,4=s?-S“T成

立的條件是〃22,求出的％中不一定包括%,而%應(yīng)由q=S1求出，然后再檢驗(yàn)％是否

在％在

典例12

（2021福建省福州市期中）若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n-3n-l,則

冊=___?

【規(guī)范解析】

當(dāng)n=1

時，

解：根據(jù)題意,數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=M—3n—1,

G二S1,

當(dāng)n=1時，%=Si=1—3—1=—3,

當(dāng)nN2

當(dāng)n>2時，Qn=Sn一Sn_!

=n2—3n—1—(n—l)2+3(n—1)4-1=2n-4,

n=1時，的=-3不符合,

故斯={2n-4,n>2,故答案為：｛2n-4,n>2,

變式訓(xùn)練1（2021湖南省單元測試）數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn，%=1,a-0,3Sn=

。九即+1+1，若郁=2020,則卜=

探究2:數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系不清致錯

易錯警示數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù),要善于從函數(shù)的

觀點(diǎn)認(rèn)識和理解數(shù)列問題.如求數(shù)列中的最值、利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題,要注意”的取

值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，但考生很容易忽視〃為正整數(shù)的特點(diǎn),或即使考慮了?為正整數(shù),但對于〃

取何值時,能夠取到最值求解;H錯.

典例2

（2021遼寧省沈陽市期中）等差數(shù)列｛斯｝中，%>0,3a8=5的3，bn=

anan+lan+2'表示辦的前n項(xiàng)和，當(dāng)71?。ǎr％最大.

A.17B.18C.19D.20

【規(guī)范解析】

解：公差為d的等差數(shù)列｛an｝中，3a8=5的3,

整理得：3（%+7d）=5（的+12d）,

化簡得的=-弓乙所以d<0，

所以的1=—yd4-(n-l)d=(n-20.5)d,

數(shù)列是自變量n

an+1=(n—19.5)d,an+2=(n—18.5)d,為正整數(shù)的函

數(shù)，求和的最

3

所以bn=anan+1an+2=(n-20.5)(n-19.5)(n—18.5)c;.

大值，關(guān)注項(xiàng)

由于dV0,bn=anan+1an+2fSn表示心的前幾項(xiàng)和，的正負(fù)變化序

號，由n的值驗(yàn)

n<18時，bn>0,

證即可.

n=19時，與9=(-1.5)x(-0.5)x0.5d3=-d3<0,

33

n=20時，b20=(-0.5)x0.5x1.5xd=--d>0,

n>bn<0,且瓦9=-620，則S]8=S20>S19,

故當(dāng)n=20或18時，S"最大.故選：BD.

變式訓(xùn)練2(2021江蘇省揚(yáng)州市單元測試)已知數(shù)列｛即｝滿足：的=；，即+i=|即

4Z

1.

(1)求證數(shù)列｛即-2｝是等比數(shù)歹U：

(2)若數(shù)列｛九｝滿足垢=2n+2,an,求｛,｝的最大值.

探究3:等差數(shù)列、等比數(shù)列混合運(yùn)算時致錯

易錯警示在數(shù)列的基礎(chǔ)性試題中，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式是

解題的根本，用錯了公式，解題就失去了方向.且若等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)為實(shí)數(shù)，則

6,%,。5,…，42,1，…同號，。2，"4M6,…,…同號?

典例

3(2021江蘇月考)在公差不為0的等差數(shù)列｛即｝中，的,a2,%,ak2,成公比

為4的等比數(shù)列,則&=()

A.84B.86C.

88D.96

把握等差數(shù)列、

【規(guī)范解析】

等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式，解得基本

解：設(shè)等差數(shù)列｛即｝的公差為d，且____________

因?yàn)橛?a2,akl,ak2,成公比為4的等比數(shù)列，

所以。2=4%,所以ai+d=4ai，得d=3的,L.

所以％=44al=256%,所以的4-&-l)d=256al

|即&-1)-3al=255%,解得自=86.

I____________________________________________________

故選：B.

變式訓(xùn)練3(2021遼寧省沈陽市期中考試)已知｛a"是公比為q的等比數(shù)列，且|53是

S],2s4的等差中項(xiàng)，則q=()

A--IC.-1D.1

探究4:不理解數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)致錯

易錯警示數(shù)列是特殊的函數(shù)，但函數(shù)的性質(zhì)在數(shù)列中仍然成立，如單調(diào)性、周期性等,

把握數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，可以解決數(shù)列的項(xiàng)、前“項(xiàng)和等問題.

典例4（2021福建月考）在數(shù)列｛Qn｝中，%=1,。2=2,an+2=an+1-anf則｛an｝的

前2021項(xiàng)和為

【規(guī)范解析】

解：數(shù)列｛即｝中，的=1,a2=2,。n+2=Qn+i一即，由具體項(xiàng)的

結(jié)果得到數(shù)

則：=。2—=1，

列具有周期

a4=a3—a2=-1,性，由此性

質(zhì)解得數(shù)列

a5=a4—a3=—2,

的前2021

。6二曲一=—1，項(xiàng)和

Q7==1，???

所以：數(shù)列的周期為6,且%+g+。3+。4++“6=

數(shù)列5｝的前2021項(xiàng)和為:

（%+。2+。3+。4+。5+a6）-----（@2011+a2012+a2013+￡014

+。2015+02016）+。2017+@2018+a2019+a2020+a2021

=0+0+…+0++。3+。4+。5）=1+2+1—1—1.

故答案為：1.

（2021｛a｝=J,1=1

變式訓(xùn)I練4山東省淄博市單元測試）已知數(shù)列n的首項(xiàng)的即+-十，

/an

貝U@2021=

探究5:求前〃項(xiàng)和時項(xiàng)數(shù)不清致錯

易錯警示數(shù)列求和常用的方法有公式法、倒序相加法、分組（并項(xiàng)）求和法、裂項(xiàng)相

消法、錯位相減法；含有（-1）”的數(shù)列求和，一般用分組（并項(xiàng)）求和法，且要分〃為奇數(shù)與

偶數(shù)進(jìn)行討論,對每一類的討論要在前提條件下進(jìn)行.用裂項(xiàng)相消法求和時,要對通項(xiàng)進(jìn)行變

換,如：后為二=（聽前一而，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng),但抵消后并不一

定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).錯位相減法的過程同學(xué)們

都會，但由于步驟繁瑣，計(jì)算量大導(dǎo)致漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號出錯等.

典例

5(2021河南省鄭州市單元測試)若等差數(shù)列Q｝的前n項(xiàng)和為之，a5=9,S5=

25.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

n

(2)設(shè)垢=(-l)5n.求｛既｝的前項(xiàng)和

【規(guī)范解析】

解：(1)由題意，Ss=%止也=%至=5。3=25，即。3=5,

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，貝Q=q=三=2，

5-32

I

I

???Q=%+(九-3)?d=5+2(n—3)=2n—1.

n?

?

則a[=2X1—1=1，...s,=nU+(2n-l)]=九2.

含有(一1)的數(shù)列

(2)由(1)知，%=(-1)”樸=(-1)，2,求和，用并項(xiàng)求和

I法，且分〃為奇數(shù)

①當(dāng)n為偶數(shù)時，Q=瓦+B+…+匕

與偶數(shù)進(jìn)行討論

=-I2+22-32+42--------(n-I)2+n2

=(22-I2)+(42-32)+…+[n2-(n-l)2]

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4—3)+4-[n+(n-1)][n-(fi

?_______

-1)]

Ql

I

=l+2+3+4+“?+(n-l)+n=

I

②當(dāng)n為奇數(shù)時，及=瓦+⑦+…+%

=-l2+22-32+42--------(n-2)2+(n-l)2-n2

=(22-l2)+(42-32)+…+[(n-l)2-(n-2)2]-n2

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4—3)4-…+[(n-1)+(m-2)]^(n-1)—(n—2)—n2

1

=1+2+3+4+…+(TI—2)+(TI-1)一九2=—"｝i),

?1

J綜上所述T可得嚴(yán)若段一

變式訓(xùn)練5(2021湖北七校聯(lián)考卷)等差數(shù)列｛a,J的公差d不為0,滿足。5=13,%,

心，成等比數(shù)歹U.數(shù)歹岫“｝滿足氤+氤+氤+…+?=A

(1)求數(shù)列｛an｝與｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若％=即%，求數(shù)列｛7｝的前幾項(xiàng)和2.

探究6:對不等式基本性質(zhì)理解不透致錯

易錯警示在判斷不等式大小或解不等式時，對不等式基本性質(zhì)中的條件沒有準(zhǔn)確理解,

造成錯解，如很多條件是“正數(shù)不等式”，同向不等式不能相減、相除；高次不等式、分式

不等式、無理不等式等其它不等式在求解時注意它們的等價變形，不能漏解或增解.

典例6（2021江蘇省無錫市單元測試）對于實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題

是真命題的為（）根據(jù)不等式的

基本性質(zhì)判斷

A.若a>b,則，<2B.若,則42..兒2

選項(xiàng)，也可以

ah

代值檢驗(yàn)

C.若a>O>b,貝ija2V—abD.若c>a>b>0,則

ab

---->-----

c-ac-h

【規(guī)范解析】

解：A根據(jù)。>人，取a=l,b=-l,則,<!不成立，故A錯誤;

ab

B.a>b,02..0..由不等式的基本性質(zhì)知a/..尻工成立，故8正確;

C.由a>0>〃，取a=l,Z?=—1,則不成立，故C錯誤；

D.c>a>h>0,/.(a-b)c>0,BPac>bcf

：.ac—ah>hc—ab,即a(c-b)>b(c-a),

c—a>0,c—Z?>0,/.■a->---,故D正確.

c-ac-b

S：BD.

11

變式訓(xùn)練6（2021江蘇省揚(yáng)州市單元測試）能夠說明“若a，則<-----=

a+l[ab+ijb

是假命題的一組非零實(shí)數(shù)a,b的值依次為

探究7:基本不等式應(yīng)用不當(dāng)致錯

易錯警示利用基本不等式求最值時需保證3個條件：一正二定三相等，特別是等號成

立的條件容易忽略，且多次使用基本不等式時要保證等號成立的條件一致.

41

典例7（2021江蘇聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)m,〃￡（0,也）且加+拉=1,則^——十—丁的最

3m+nm+3n

小值為.

【規(guī)范解析】

解：令3加+〃=尢，tn+3n=yf貝！Jx+y=4,

41411,41、，、4yA9

..------1------=—I—=—(—I—)(x+y)=-(5H----1—)..；―，

3m+nm+3nxy4xy4xy4

24

當(dāng)且僅當(dāng)％=2y,x+y=4,即x=§,y=§,

即6=25,〃=_IL時等號成立.故答案為：9r.

664

變式訓(xùn)練7（2021湖北模擬）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+〃=3.

⑴求y/2a+l+V2Z?+1最大值；

14

⑵若不等式02川-b-”,工+%對任意xeH恒成立’求m的取值范圍.

專題升華

＞把握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的公比、基本不等式這些基本

概念、明白常見的陷阱點(diǎn)；

＞理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和方法，細(xì)心計(jì)算，注意題干特

殊條件，是避免出錯的有效點(diǎn)；

＞重視“分類討論”；

換元后滿足基

本不等式應(yīng)用

的條件

【答案詳解】

變式訓(xùn)練1【答案】1347

【解析】?*,3Sn=anan+1+1,..?3sH_i=an_xan+l(n>2),

兩式相減得：3an=an(an+1-即_力，n>2,

,:CLfiH0,Q〃+i—Q/—i=3,nN2,乂=1,3sl—CL^CL^+1,?*,02=2,

停產(chǎn)，九為奇數(shù)34_]-3k-2

???斯=八二“,田嶺，由以=掌=2020,或以=答=2020,(kCN*)

為偶數(shù)2z

可解得：k=1347,故答案為：1347.

變式訓(xùn)練2

【解析】(1)證明：因?yàn)閍“+i-2=|廝—3=|(即—2),?1—2=—^

所以數(shù)列｛%-2｝是以-彳為首項(xiàng)，以|為公比的等比數(shù)列,所以數(shù)列｛廝-2｝是等比數(shù)列；

(2)由(1)得即—2=-(|)-1，所以冊=2一7(|)"T,

則%=2n+2[2-\?(|)n-i]=2n+3-14x371-1,

nnn-1nn+3n-1n+3n+2

因?yàn)椤?i-bn=-14-3+2+4+14-3-2+3=2-28-3<2-3

=8-2n-9-3n<9(2n-3n)<0,(n6N*)

所以勾+1<%，即數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，所以幻的最大值為九=2.

變式訓(xùn)練3【答案】AD

【解析】因?yàn)槭荢i，2s4的等差中項(xiàng)，

所以2x|s3=Si+2s4,即3s3=Si+2s4,變形得：S3-Sj=2S4-2s3,所以a2+a3=2a4,

2

因?yàn)閿?shù)列為公比為q的等比數(shù)列，所以上式可化為：a2+a2q=2a2q,

因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)均不為0,所以l+q=2q2,解得：9=1或勺=一/故選：AD.

變式訓(xùn)練4【答案】-1

【解析an+1=1-7a-,

乙n

T1?31c.11

a2=1--=-1,a3=1--=2,a4=1

???數(shù)列｛an｝是周期為3的數(shù)列，.??a2021=a673x3+2=a2=-l，故答案為:-1.

變式訓(xùn)練5

【解析】(1)由已知諼=的。6,又。5=13故(13-3d)2=(13-4d)(13+d),

解得d-0(舍去)，或d=3,an=a5+(n—5)d——3n—2,故。；，=3n-2.

1,2,3,,nnzrx

■:----------1------------1------------F???H----------=—(1J

2002bllog2b2log2b3logzbn2

故當(dāng)n=l時，可知—L_1=>lqb-2,

log2bl=2O"n1

當(dāng)n22時，可知],+2+3+“.n-i=曰②

log2bllog2b2log2b3log2bn_127

n

①一②得肅f=1=*logzbn=2nbn=4

又瓦也滿足e=4n,故當(dāng)N*時，都有為=4n.

n

(2)由(1)知.=cunbn=(3n—2)x4>

故又=1x41+4x42+???+(3n-5)x4人】+(3n-