新教材數(shù)學(xué)蘇教版課件13242兩平面垂直

第2課時兩平面垂直必備知識·自主學(xué)習(xí)1.二面角的概念(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成_______,其中的每一部分都叫作半平面.導(dǎo)思1.如何判定兩平面垂直?2.兩平面垂直有何性質(zhì)?兩部分(2)二面角:一般地,一條直線和由這條直線出發(fā)的___________所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的棱,每個半平面叫作二面角的面,如圖①,②中,棱為l或AB,面為α、β記作α-l-β(α-AB-β)或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分別為在α,β內(nèi)且不在棱上的點(diǎn)).兩個半平面(3)二面角的平面角文字表述:一般地,以二面角的棱上_________為端點(diǎn),在兩個面內(nèi)分別作__________的射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.圖形語言:符號語言:α∩β=l,O∈l,OA?α,OB?β,______,______?∠AOB為二面角α-l-β的平面角.任意一點(diǎn)垂直于棱OA⊥lOB⊥l(4)二面角大小的度量二面角的大小可以用它的_______來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.二面角α的大小范圍是_______________.平面角是直角的二面角叫作_________.平面角0°≤α≤180°直二面角2.平面與平面垂直的判定定理(1)定義:一般地,如果兩個平面所成的二面角是直二面角,那么就說這兩個平面互相垂直.(2)畫法:兩個互相垂直的平面通常畫成如圖(1)、(2)所示.此時,把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,平面α與β垂直,記作α⊥β.(3)平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直圖形語言

符號語言l⊥α,l?β?α⊥β【思考】定義能否作為判定兩個平面垂直的依據(jù)?提示:可以,定義既是判定也是性質(zhì).3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直圖形語言

符號語言

【思考】面面垂直的性質(zhì)定理的推理特點(diǎn)是什么?提示:面面垂直推出線面垂直.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)對于確定的二面角而言,平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān). ()(2)已知一條直線垂直于某一個平面,則過該直線的任意一個平面與該平面垂直. ()(3)兩個平面垂直,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面一定垂直. ()提示:(1)×.對于確定的二面角而言,在其棱上任取兩個不同的點(diǎn),分別作這兩個二面角的平面角,因為這兩個二面角的平面角所在的邊平行,且它們的方向相同,所以這兩個角相等,即平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān),只與二面角的張角大小有關(guān),所以該命題錯誤.(2)√.由面面垂直的判定定理可知,該命題正確.(3)×.不一定,只有在一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線才能垂直于另一個平面.2.空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有 ()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】選D.因為AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面DBC.又因為AD?平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.3.(教材二次開發(fā):例題改編)如圖所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有 ()對 對 對 對【解析】選D.由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一面面垂直的判定定理的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】已知四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).求證:平面MND⊥平面PCD.【思路導(dǎo)引】欲證平面MND⊥平面PCD,只需證明平面MND中的直線MN⊥平面PCD即可,取PD的中點(diǎn)E,易知MN∥AE,故只需證明AE⊥平面PCD即可.【證明】如圖,取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE.因為E,N分別是PD,PC的中點(diǎn),所以EN

CD.又ABCD,AM=

AB,所以ENAM,所以四邊形AMNE是平行四邊形,所以MN∥AE.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE.在等腰直角三角形PAD中,AE是斜邊PD上的中線,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.又MN∥AE,所以MN⊥平面PCD.因為MN?平面MND,所以平面MND⊥平面PCD.【解題策略】證明兩平面垂直的兩個常用方法1.利用定義:證明二面角的平面角為直角,其判定方法是:(1)找出兩相交平面的平面角;(2)證明這個平面角是直角;(3)根據(jù)定義,這兩個相交平面互相垂直.2.利用面面垂直的判定定理:要證面面垂直,只要證線面垂直.即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直,這是證明面面垂直的常用方法,其步驟是:【跟蹤訓(xùn)練】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠ACB=90°,AA1=2AC,D是棱AA1的中點(diǎn).求證:平面BDC1⊥平面BDC.【證明】由題設(shè)知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又因為DC1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由題設(shè)知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又因為DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC,因為DC1?平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.類型二面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.過A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【思路導(dǎo)引】(1)在平面EFG中找兩條相交的直線分別與平面ABC平行即可.(2)先證BC⊥平面SAB,再利用線面垂直的性質(zhì)即可證BC⊥SA.【證明】(1)因為AS=AB,AF⊥SB,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn).又因為E是SA的中點(diǎn),所以EF∥AB.因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因為平面SAB⊥平面SBC,且交線為SB.又AF?平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因為BC?平面SBC,所以AF⊥BC.又因為AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因為SA?平面SAB,所以BC⊥SA.【解題策略】應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的策略(1)應(yīng)用步驟:面面垂直線面垂直線線垂直.(2)應(yīng)用類型:①證明線面垂直、線線垂直;②作線面角或作二面角的平面角.提醒:面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù),我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.【跟蹤訓(xùn)練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證:(1)PA⊥底面ABCD;(2)平面BEF⊥平面PCD.【證明】(1)因為平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個平面的交線AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB⊥AD,而且四邊形ABED為平行四邊形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PD∥EF,所以CD⊥EF,又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.因為CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.類型三求二面角的大小(邏輯推理、直觀想象)【典例】如圖所示,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AB=2,BC=

,PB=

,求二面角P-BC-A的大小.【思路導(dǎo)引】先利用二面角的平面角的定義找平面角,再通過解三角形求解.【解析】因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.又因為AC⊥BC,PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因為PC?平面PAC,所以BC⊥PC.又因為BC⊥AC.所以∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PBC中,因為PB=

,BC=

,所以PC=2.在Rt△ABC中,AC=

=

,所以在Rt△PAC中,cos∠PCA=

所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小為45°.【解題策略】解決二面角問題的策略【跟蹤訓(xùn)練】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面BAC,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).(1)求證:AB⊥PE;(2)求二面角A-PB-E的大小.【解析】(1)連接PD,因為PA=PB,D為AB的中點(diǎn),所以PD⊥AB.因為DE∥BC,BC⊥AB,所以DE⊥AB.又因為PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE,因為PE?平面PDE,所以AB⊥PE.(2)因為平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC.則DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE⊥平面PAB,過D作DF垂直PB于F,連接EF,則EF⊥PB,∠DFE為所求二面角的平面角,則DE=

,DF=

,則tan∠DFE=

=

,故二面角A-PB-E的大小為60°.1.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是 ()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?αD.m∥n,m⊥α,n⊥β【解析】選C.因為n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m?α,由面面垂直的判定定理得α⊥β.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.已知長方體ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一點(diǎn)M,作ME⊥AB于E,則 ()A.ME⊥平面?平面ACC.ME∥平面AC D.以上都有可能【解析】選A.由于ME?平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,則ME⊥平面AC.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)下列說法:①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角;②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角相等或互補(bǔ);③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角.其中正確的是________.(填序號)

【解析】對于①,混淆了平面與半平面的概念,是錯誤的;對于②,由于a,b分別垂直于兩個平面,所以也垂直于二面角的棱,但由于異面直線所成的角為銳角(或直角),所以應(yīng)是相等或互補(bǔ),是正確的;對于③,因為不垂直于棱,所以是錯誤的.答案:②4.如圖,在正四面體PABC(各棱長均相等)中,E是BC的中點(diǎn),則平面PAE與平面ABC的位置關(guān)系是________.

【解析】因為PB=PC,E是BC的中點(diǎn),所以PE⊥BC,同理AE⊥BC,又AE∩PE=E,所以