高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生第21講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（基礎(chǔ)版全國通用版）

第21講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中AGZ)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

"?/p\TT

圖象T伴尹

冗

定義域RR{x\xk7T-\--,kGZ}

值域[-1,1]RR

周期性2TT24n

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

71

對稱中心/肛0)(^+-,0)仔,。)

,71

對稱軸方程X-k7l-\——x-kn無

2

2.三角函數(shù)的周期性

2771

⑴函數(shù)y=zsin(5+9)的最小正周期T=--.應(yīng)特別注意函數(shù)y=\Asin(@x+(p)\的周期為T=--,

⑷\CD\

24

函數(shù)丁=|/sin(5+。)+b|(b力0)的最小正周期T=-一：.

2萬

(2)函數(shù)》=4COS(GX+9)的最小正周期T=--.應(yīng)特別注意函數(shù)歹=|Zcos(@r+e)|的周期為

7T2左

T=--.函數(shù)歹二|4cos(。x+9)+61(bwO)的最小正周期均為7二^~~-.

1Gl\co\

7171

(3)函數(shù)y=/tan(a)x+q))的最小正周期T=—.應(yīng)特別注意函數(shù)丁=|Ntan(@x+。)11的周期為T=「，

71

函數(shù)y=|/tan(5+*)+b|(bwO)的最小正周期均為7=」.

3.三角函數(shù)的奇偶性

TT

(1)函數(shù)N=Zsin(s+e)是奇函數(shù)=左乃(左eZ),是偶函數(shù)=e=左乃+萬(左eZ)；

TT

(2)函數(shù)y=4cos(5+。)是奇函數(shù)。。二左乃+,(左wZ),是偶函數(shù)o*二左不(4￡Z)；

(3)函數(shù)y=Atan(a)x+(p)是奇函數(shù)=9=左乃(左wZ).

4.三角函數(shù)的對稱性

1

TT

（1）函數(shù)y=Nsin（（yx+e）的圖象的對稱軸由①X+Q=左乃+萬（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標由

a）x+（p=k兀（左eZ）解得；

（2）函數(shù)歹=4cos（ft?x+°）的圖象的對稱軸由5+。=左乃（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標由

JI

cox+(p=k7r+—(keZ)解得:

k冗

（3）函數(shù)y=Ztan（◎x+e）的圖象的對稱中心由5+0=5-左eZ）解得.

題型一：定義域、值域、最值

1.（2021?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高一期末）函數(shù)/（x）=sin]+cos]的最小正周期和最大值分別是（）

A.27t和aB.2n和2C.4兀和應(yīng)I）.4兀和2

ITJT

2.（2021?全國高一課時練習(xí)）若sinx=2m+3,且“￡,則m的取值范圍為（）

66

3.（2021?興仁市鳳凰中學(xué)高一期末）函數(shù)y=sinx-JJcosx的最大值為（）

A.1+73B.73C.2D.6*瓜

2

4.（2021?四川南充?（文））函數(shù)/（x）=sinx-2cosx的最大值為（）

A.1B.73C.45D.3

5.（2021?張家口市宣化第一中學(xué)高一月考）當-?^■4x45時、函數(shù)/'（X）=sinx+A/Jcosx的最大值，最小值分別

為（）

A.1,-1B.2,-2C.1,--D.2,-1

2

TT27r

6.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)歹=sinx,XG,則歹的范圍是（）

A.[-1,1])叵

B.25~2~C.I).例

jrrr

7.（2021?全國高一課時練習(xí)）y=2sin2x在xw上的最大值與最小值的和為（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2021?河南商丘?高一月考）若函數(shù)/a）=4sinx+2acosx（xwH）的最大值為石，則實數(shù)。的值為（）

A.1B.±1C.2D.±2

9.（2021?天水市第一中學(xué)高三月考（文））函數(shù)/（X）=cosx-cos2x是（）

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

2

C.奇函數(shù)，且最大值為9D.偶函數(shù)，且最大值為看9

O

10.（2021?江蘇亭湖?鹽城中學(xué)高一月考）函數(shù)，（x）=cos2x-6cosx+l的值域為（）

-9、「9]「9一

A.IB.-y,-4C.[-4,8]D.--,8

JI~]「1

11.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=cosx,xe的值域為-A,則以下不符合條件的“為（）

A.0B.7C.-I）.-

632

12.（2021?石泉縣石泉中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知函數(shù)^=85（2工+*“冏＜三）在工=0處取得最小值，則夕=

（）

,冗

A.——D

6B-i-T

xw（-的值域為（

13.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=tan)

14.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=tan（x+?J的定域是（）

［小W"乃+?(左GZ)jB.回用

AJ

^x\x工左"eZ)}D.卜1x若}

C..

15.（2021?陜西省洛南中學(xué)）函數(shù)》二=tan2x的定義域是（)

JI

A.{x|x。萬+女肛工GR,kGZ}B.{x\x^—+2k兀,xeR,kGZ}

jrIcTTJI

C.{x|xGR.kGZ}D.{x|xw+攵萬，％eR,keZ}

題型二：單調(diào)性

1.（2021?贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試（理））函數(shù)/（x）=Gsinx+cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

7124乃?！?〃

A.2k冗+一,2%r+——(kwZ)B.2kn+(AwZ)

33J33J

rr

2%n2萬,4〃

C.2k九一—,24江+一(kwZ)D.2kjr-—,2%萬+—(keZ)

33J33

3

2.（2021?六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期中）在區(qū)間0,y上，下列說法正確的是（）

A.V=sinx是增函數(shù)，且丁二以）5%是減函數(shù)

B.y=sinx是減函數(shù)，且》=3§%是增函數(shù)

C.y=sinx是增函數(shù)，且，=8$工是增函數(shù)

D.V=sinx是減函數(shù)，且J，=cosx是減函數(shù)

7T

3.（2021?全國高一單元測試）函數(shù)y=sin（2x+：）的單調(diào)遞減區(qū)間（）

6

7FSTT5乃，\\n,~、

A.kjr-----,k九+——(keZ)B.kf.7tH-----,k7VH-------(kzGZ)

12121212

ji27r

C.k?i----yk/c-\—(kGZ)D.k兀?—，女"4---(kGZ)

3663

4.（2021?上海）函數(shù)y=sin[x+?）xe。）是增函數(shù)，則。可以是

乃乃[「34]

A.-y,—B.C.[r一],0]D.

5.（2021?北京市第六十六中學(xué)高一期中）函數(shù)/（力=8$》是（）

A.奇函數(shù)，且在區(qū)間10,彳）上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間10,上單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,5）上單調(diào)遞減

6.（2021?上海高一課時練習(xí)）使得不等式T4tanx<6成立的x的取值范圍是（)

TTTTA

C.k/r--,k/r+—\,keZD.2k1-----,2k兀+—\,kGZ

43JL43)

7.（2021?湖北高一期末）函數(shù)y=tan（x+?）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

C.eZ)D.k7r--,k7r+

4

8.（2021?全國）在（0,2乃））內(nèi)，使tanx>l成立的x的取值范圍為（)

B.

9.（2021?深州長江中學(xué)）函數(shù)/（x）=tan（x+3J的單調(diào)遞增區(qū)間為（

)

4

A.人7一1,br+］卜女GZ）B.(kjv,k兀+兀)(keZ)

D.k7i-^k7t-{~\kEZ)

題型三：奇偶性

1.（2021?陜西漢中-高三月考（文））下列函數(shù)中是偶函數(shù)的為（）

A.y=sinxB.y=tanxC.y=cosxD.y=sinxcosx

2.(2021?陜西富平?高一期末)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

A.y=x2+cosxB.y=|sinx|C.y=x2sinxD.j^=cosx-tanx

3.(2021?云南昆明二十三中)函數(shù)/(x)=V^sin2xcos2x是)

A.周期為g的奇函數(shù)B.周期為9的偶函數(shù)

22

C.周期為二的奇函數(shù)D.周期為1的偶函數(shù)

4.（2021?北京市第六十六中學(xué)高一期中）函數(shù)/（耳=8$》是（）

A.奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,5）上單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,^）上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減

5.（2021?全國高一單元測試）函數(shù)y=3cos2x+4（》€(wěn)式）是（）

A.最小正周期為1的偶函數(shù)B.最小正周期為2萬的偶函數(shù)

C.最小正周期為左的奇函數(shù)D.最小正周期為2萬的奇函數(shù)

6.（2021?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)（文））下列函數(shù)中，周期為左，且在區(qū)間乃）單調(diào)遞增的是（）

A.y=|sinx|B.y=tan2xC.y=cos2xD.y=sin2x

7.（2021?全國高一課時練習(xí)）下列四個函數(shù)中，以萬為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）

A.y=cosxB.y=|2sinx|C.j^=cos|D.y=tanx

8.（2021?廣東江門?高一期末）下列四個函數(shù)中，在定義域內(nèi)是偶函數(shù)且在區(qū)間乃）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=|sinx|B.y=cosx

C..y=|tanx|D.y=cos2x

9.（2021?上海高一課時練習(xí)）同時滿足條件：①在上是增函數(shù)；②以2乃為最小正周期；③是奇函數(shù)的函

數(shù)是（)

5

x

A.y=tanxB.y=cosxC.y=tan-D.y=-tanx

2

題型四：對稱性

1.（2021?江西九江一中高一期中）函數(shù)/（x）=4sin（2x-?J圖象的對稱軸方程為（）

A.x=~+—（keZ）B.x=—+k7t（^keZ）

828

C.x=—l-----（k^Z）D.x=—l------（kEZ）

42v782v7

2.（2021?北京市昌平區(qū)實驗學(xué)校）函數(shù)y=sin[2x+：）圖象的一條對稱軸是（）

.兀7C

A.x=—B.x=

42

〃兀r5兀

C.x=-D.x=—

84

3.（2021?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)）給出下列命題：①函數(shù)y=cos（*'）是奇函數(shù)；②存在實數(shù)口,使得

sintz+costz=|；③若a,￡是第一象限角且a</，則tanactan/?；④x=?是函數(shù)了=$也（2》+?）的一條對稱

軸方程；函數(shù)夕=sin（2x+（）的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2021?北京高二期末）函數(shù)/（x）=sin卜+的一條對稱軸可以為（）

A.x=—B.x=0

2

C兀r乃

C.x=-D.x=—

42

5.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)夕=l+cosx的圖象（）

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線x=]對稱

6.（2021?北京豐臺?高一期中）函數(shù)/（x）=cos2x的圖象中，相鄰兩條對稱軸之間的距離是（）

入一兀兀

A.27rB.兀C.—D.一

24

7.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=cos（2x+。）的圖象（）

A.關(guān)于點信0）對稱B.關(guān)于點僅0）對稱

6

C.關(guān)于直線X=J對稱D.關(guān)于直線x=?對稱

6

8.（2021?湖北十堰?高一期末）函數(shù)，（x）=4cos（萬x-。）圖象的一條對稱軸可能是直線》=（）

5714萬

A.BC.一D.

3-43-3~

（?山東威海?高一期末）如果函數(shù)卜=儂（工+夕）的圖像關(guān)于點弓）對稱，那么|同的最小值為（

9.20212,0)

71717124

A.B.C.D.

126~3T

10.（2021?吉林高三模擬預(yù)測(理))函數(shù)f(x)=cos3x+—圖象的對稱中心是

I6

B.(左萬+5,0,eZ)

(k九冗/TY.丁、(kjt7T八、八

C.I—+—>v5\(keZ)D.I—+—,0l(ZrGZ)

11.(2021?全國)函數(shù)y=tan(3x+?)的圖像的對稱中心為()

A.(0,0)B.(go)

C?-制(*)D.年暇,0)(hZ)

77

12.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））函數(shù)歹=tan（3x+—）的一個對稱中心是（)

6

A.（0,0）B.（90）

6

47r

C.（-y,0）D.以上選項都不對

13.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=tan（2x-J）的一個對稱中心是（）

6

A.（聯(lián),0）B.（-^-,0）C.。,0）D.（?,（））

14.（2021?上海高一課時練習(xí)）函數(shù)y=2tan[2x+?）圖象的對稱中心是（）

三+%'°卜丘之）D，1(丘Z)

C.

7

第21講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中AGZ)

函數(shù)y=sinxy=cosxy-tanx

兒

-2/p\TT

圖象-玄*-WrF

定義域RR{x\x^k7T-\--,keZ}

值域[-1,1]RR

周期性2乃2471

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

71仔,0)

對稱中心(左肛0)%7+萬,0)

,71

對稱軸方程X=k7T+一x-kjt無

2

2.三角函數(shù)的周期性

2)71

(1)函數(shù)y=Zsin(5+e)的最小正周期丁二；-.應(yīng)特別注意函數(shù)歹二|4sin(&Y+*)|的周期為7二；-,

1^11^1

2乃

函數(shù)y=Msin(@x+e)+b|(6。0)的最小正周期7二^-.

⑷

24

⑵函數(shù)丁=/cos((yx+夕)的最小正周期T=-~.應(yīng)特別注意函數(shù)丁=|Ncos((yx+<p)|的周期為

712萬

T=-―.函數(shù)y=|4cos(5+9)+61(6w0)的最小正周期均為7二;―.

同⑷

7C7C

(3)函數(shù)歹=Ztan((yx+(p)的最小正周期T=-~.應(yīng)特別注意函數(shù)歹=\Atan(a)x+夕)||的周期為T=-~,

⑷1^1

71

函數(shù)y=|/tan(s+e)+b|(bkO)的最小正周期均為7=「.

3.三角函數(shù)的奇偶性

JT

(1)函數(shù)y=Zsin(69x+。)是奇函數(shù)u>。=kji(kwZ),是偶函數(shù)。夕=k7r+—(keZ)；

JI

(2)函數(shù)歹=Zcos(@x+9)是奇函數(shù)0夕二后7+萬(4EZ),是偶函數(shù)o*二左4(kwZ)?,

(3)函數(shù)y=Atan(o)x+(p)是奇函數(shù)=°=左乃(左wZ).

4,三角函數(shù)的對稱性

8

71

（1）函數(shù)y=Zsin（5+9）的圖象的對稱軸由。x+e=Qr+5（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標由

cox+（p=kn（keZ）解得；

（2）函數(shù)丁=/cos（（ar+9）的圖象的對稱軸由s+Q=左乃（左eZ）解得，對稱中心的橫坐標由

7T

5+夕=4乃+,（左GZ）解得；

Irjr

（3）函數(shù)歹=Atan（a>x+（p）的圖象的對稱中心由cox+（/）=—k&Z）解得.

題型一：定義域、值域、最值

1.（2021?嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高一期末）函數(shù)〃x）=sin；+cos]的最小正周期和最大值分別是（）

A.27t和&B.27t和2C.4兀和近I）.4兀和2

【答案】C

【詳解】

f（x）=sin—+cos-=^sin工],

</'41TT

???/（X）的最小正周期為丁一，最大值為近

2

故選：C.

TT7T

2.（2021?全國高一課時練習(xí)）若sinx=2〃?+3,且xe-T，T，則”的取值范圍為（）

66

11]「51]八.751r7r

A.-B.C.-彳力D-L-4，I

L22j142」L

【答案】c

【詳解】

IT1T~\11

因為—，所以一

L66j22

因為sinx=2/%+3,所以一,42/n+3<—,

22

75

解得一：《〃’《一：，

44

故選：c

3.（2021?興仁市鳳凰中學(xué)高一期末）函數(shù)y=sinn-JJcosx的最大值為（）

D夜+#

A.1+73B.6C.2

2

【答案】C

【詳解】

9

y=sinx-y[3cosx=2sinlx—I,

所以當工-：=]+2祈(AeZ)B'J',y=sinx-百cosx取得最大值2,

故選：C.

4.(2021?四川南充?(文))函數(shù)/(x)=sinx-2cosx的最大值為()

A.1B.6C.75D.3

【答案】C

【詳解】

解：/(x)=sinx-2cosx=-^(-^sinx-^--cosx)~-/sin(x-6(其中tanO=2)，

所以當sin(x-9)=l時，/(x)取最大值6，

故選：C

5.(2021?張家口市宣化第一中學(xué)高一月考)當-14x4^?時、函數(shù)/(x)=sinx+6cosx的最大值，最小值分別

為()

A.1,-1B.2,-2C.1,--D.2,-1

2

【答案】D

【詳解】

/(x)=sinx+V3cosx=2(sinxcosy+cosxsiny)=2sin(x+y),又一、4x<y,

<x+^<^,BP/(x)e[-l,2].

636

故選：D.

TT771

6.(2021?全國高一課時練習(xí))函數(shù)y=sinx,xe,則少的范圍是()

63

A.[-1J]B.C.D.坐J

L」|_22J\_2J|_2

【答案】C

【詳解】

TT771

根據(jù)止弦函數(shù)圖象可知在區(qū)間上，函數(shù)P=sinx先增后減，

_63

當X=?時,%”“=：，當x=T時,>2=1.

62」

故選：C.

7.(2021?全國高一課時練習(xí))y=2sin2x^xe上的最大值與最小值的和為()

A.0B.1C.2D.3

10

【答案】B

【詳解】

n7in2萬

當2xG

xeli'T時,75T

則當2X=[,即X=J時，ymax=2；當2x=-[,即x=-*時，ymi?=-l-

24612

所以最大值和最小值的和為L

故選：B.

8.（2021?河南商丘?高一月考）若函數(shù)/（x）=asinx+2acosx（xeR）的最大值為逐，則實數(shù)。的值為（）

A.IB.±1C.2D.±2

【答案】B

【詳解】

依題意，/(X)="sinx+2acosx=6

V5V5J1

1.2

設(shè)銳角。滿足COS。=貝I/'(x)=sin(x+夕).

當a>0時，函數(shù)/（x）的最大值為正〃=指，因此a=l.

當a<0時，函數(shù)/（x）的最大值為-島=右，解得a=T.

綜上，實數(shù)”的值為土1.

故選:B.

9.（2021?天水市第一中學(xué)高三月考（文））函數(shù)/（x）=cosx-cos2x是（）

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

9

C.奇函數(shù)，且最大值為9D.偶函數(shù)，且最大值為看

O

【答案】D

【詳解】

解：由題意得/(-X)=cos(-x)-cos(-2x)=cosX-cos2x=f(x)

I9

又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x-cosx+l=-2(cosx——)2+—

19

.?.當COSX二時'g）的最值為g.

故選：D

10.（2021?江蘇亭湖?鹽城中學(xué)高一月考）函數(shù)〃x）=cos2x-6cosx+l的值域為（）

9199

A.--,+ocB.--,-4C.[-4,8]I).--,8

【答案】c

【詳解】

11

o329

/（x）=2cos-x-6cosx=2（cosx--）--,

因為—IKcosxWl,所以一4K/（X）W8.即值域為［-4,8］,

故選：C.

11.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=cosx,xe-令〃的值域為則以下不符合條件的。為（）

71

A.0B.￡C.-D.

63~2

【答案】D

【詳解】

因為值域為；/，當一。時，尸cos（-?=；

由對稱性可知當x=2時，y=g,

由圖象可知：0,1,所以。不符合條件，

故選：I）.

12.（2021?石泉縣石泉中學(xué)高二開學(xué)考試（文））已知函數(shù)^二35（2、+*）［冏在處取得最小值，則9=

（）

7171

At.——R九D.

6c--7T

【答案】D

【詳解】

函數(shù)y=cos（2x+e"d在x=（處取得最小值,

，cos++(P=7T+2k7t,又

解得：夕=。

故選：1）

12

"1的值域為（

13.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=tan）

A.（T,0）

C.（-叫-1）。（后,+句D.（1,6）

【答案】A

【詳解】

解：因為所以、一3（一抬）

因為y=tanx在卜上單調(diào)遞增，所以tan（x-^Je（-l,9

即

故選：A

14.（2021?全國高一課時練習(xí)）函數(shù)y=tan（x+?］的定域是（）

【答案】C

【詳解】

.卜+力,

x+?聲左萬+^,（%EZ）,

.71

：.XK7U+—,（丘Z）,

4

???函數(shù)的定義域是口

故選：C.

15.（2021?陜西省洛南中學(xué)）函數(shù)y=tan2x的定義域是（）

7C

A.{x|xw,+女肛xeR.kGZ}B.{x|xy+2kxeR,keZ}

{x|xw?+日,x€R.kGZ}R

C.D.{x|xw—+左肛xeR,keZ}

4

【答案】C

【詳解】

jr

解：因為正切函數(shù)y=tanx的定義域為{xXWAJI+萬，keZ},

13

jrk7TTT

所以由2x^kbH---fkEZ得{xiX。-----1---，kGZ}.

2t24

故選：C.

題型二：單調(diào)性

1.(2021?贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試(理))函數(shù)/(x)=6sinx+cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.2女冗+(、2女兀+(k€Z)B.2%乃+?,2〃乃+cZ)

C.2k?！?kn+—(k€Z)D.2k兀-2k7r+(kEZ)

y33

【答案】C

【詳解】

f(x)=V3sinx+cosx=2(sinxxco?A+cosxxsin^)=2sin(x」,

666

2k7i--<x+—<2k冗+工ke.Z.

262

所以2左4一二Wx<2k7r+—,kGZ.

33

27rTT

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［2桁-丁,2桁+1(旌2).

故選：C

TT

2.(2021?六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期中)在區(qū)間0,-上，下列說法正確的是()

A.y=sinx是增函數(shù)，且^=85工是減函數(shù)

B.y=sinx是減函數(shù)，且卜=85%是增函數(shù)

C.y=sinx是增函數(shù)，且歹=85%是增函數(shù)

D.?=sinx是減函數(shù)，且^=35%是減函數(shù)

【答案】A

【詳解】

TT

由正余弦函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間0,萬匕八sinx是增函數(shù)，且^=3$工是減函數(shù)，

故選：A.

3.(2021?全國高一單元測試)函數(shù)歹=sin(2x+