帶電粒子在磁場中的運動題型歸類

關(guān)于帶電粒子在磁場中的運動題型歸類第1頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1.“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的基本型問題定圓心、定半徑、定轉(zhuǎn)過的圓心角是解決這類問題的前提。

注意：帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動具有對稱性。①帶電粒子如果從一直線邊界進入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱，入射速度方向、出射速度方向與邊界的夾角相等；②在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。應(yīng)用對稱性可以快速地確定運動的軌跡。第2頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例1：如圖9-4所示，在y小于0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B，一帶正電的粒子以速度從O點射入磁場，入射速度方向為xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ，若粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子電量與質(zhì)量之比。圖9-4第3頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

【審題】本題為一側(cè)有邊界的勻強磁場，粒子從一側(cè)射入，一定從邊界射出，只要根據(jù)對稱規(guī)律①畫出軌跡，并應(yīng)用弦切角等于回旋角的一半，構(gòu)建直角三角形即可求解?！窘馕觥扛鶕?jù)帶電粒子在有界磁場的對稱性作出軌跡，如圖9-5所示，找出圓心A，向x軸作垂線，垂足為H，由與幾何關(guān)系得：

①

帶電粒子在磁場中作圓周運動，由

解得

②①②聯(lián)立解得

【總結(jié)】在應(yīng)用一些特殊規(guī)律解題時，一定要明確規(guī)律適用的條件，準確地畫出軌跡是關(guān)鍵。第4頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三2.“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的范圍型問題帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運用“放縮法”探索出臨界點的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時利用運動軌跡和磁場邊界“相切”

關(guān)鍵尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。第5頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例2：如圖9-8所示真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)有強度為B的勻強磁場方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度V0垂直射入磁場中。要使粒子必能從EF射出，則初速度V0應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射出的區(qū)域？圖9-8圖9-9圖9-10第6頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【解析】粒子從A點進入磁場后受洛倫茲力作勻速圓周運動，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點A并與EF相切的軌跡如圖9-10所示，作出A、P點速度的垂線相交于O/即為該臨界軌跡的圓心。臨界半徑R0由

有:

；故粒子必能穿出EF的實際運動軌跡半徑R≥R0即:

有:

。由圖知粒子不可能從P點下方向射出EF，即只能從P點上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點A進入磁場后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)域為PG，且由圖知:

第7頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三圖9-12例3：如圖9-11所示S為電子射線源能在圖示紙面上和360°范圍內(nèi)向各個方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OS＝L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強磁場；①若電子的發(fā)射速率為V0，要使電子一定能經(jīng)過點O，則磁場的磁感應(yīng)強度B的條件？②若磁場的磁感應(yīng)強度為B，要使S發(fā)射出的電子能到達檔板，則電子的發(fā)射速率多大？③若磁場的磁感應(yīng)強度為B，從S發(fā)射出的電子的速度為，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？圖9-11第8頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【審題】電子從點S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運動，由于電子從點S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點S向與SO成銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過點O；由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射，粒子的軌跡構(gòu)成繞S點旋轉(zhuǎn)的一動態(tài)圓，動態(tài)圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖9-12所示，最低點為動態(tài)圓與MN相切時的交點，最高點為動態(tài)圓與MN相割，且SP2為直徑時P為最高點。【解析】①要使電子一定能經(jīng)過點O，即SO為圓周的一條弦，則電子圓周運動的軌道半徑必滿足

，由

得：②要使電子從S發(fā)出后能到達檔板，則電子至少能到達檔板上的O點，故仍有粒子圓周運動半徑，由

有：第9頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三③當從S發(fā)出的電子的速度為時，電子在磁場中的運動軌跡作出圖示的二臨界軌跡半徑，故電子擊中檔板的范圍在P1P2間；對SP1弧由圖知對SP2弧由圖知【總結(jié)】本題利用了動態(tài)園法尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。第10頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三3.“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的極值型問題尋找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。第11頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例4：圖9-13中半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標原點O處相切；磁場B＝0．33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子質(zhì)量為m=6.6×10-27kg，電量q=3.2×10-19c，則α粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場中運動的最長時間t各多少？圖9-13第12頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【審題】本題α粒子速率一定，所以在磁場中圓周運動半徑一定，由于α粒子從點O進入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角θ不同，要使α粒子在運動中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角θ最大，則必使粒子在磁場中運動經(jīng)過的弦長最大，因而圓形磁場區(qū)域的直徑即為粒子在磁場中運動所經(jīng)過的最大弦，依此作出α粒子的運動軌跡進行求解?！窘馕觥喀亮Ｗ釉趧驈姶艌龊笞鲃蛩賵A周運動的運動半徑：α粒子從點O入磁場而從點P出磁場的軌跡如圖圓O/所對應(yīng)的圓弧所示，該弧所對的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角θ。由上面計算知△SO/P必為等邊三角形，故θ＝60°此過程中粒子在磁場中運動的時間由即為粒子在磁場中運動的最長時間?！究偨Y(jié)】當速度一定時，弧長（或弦長）越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。第13頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三4.“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的多解型問題抓住多解的產(chǎn)生原因：（1）帶電粒子電性不確定形成多解。（2）磁場方向不確定形成多解。（3）臨界狀態(tài)不唯一形成多解。（4）運動的重復(fù)性形成多解。第14頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例5：如圖9-15所示，第一象限范圍內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。質(zhì)量為m，電量大小為q的帶電粒子在xoy平面里經(jīng)原點O射入磁場中，初速度v0與x軸夾角θ=60o，試分析計算：（1）帶電粒子從何處離開磁場？穿越磁場時運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角多大？（2）帶電粒子在磁場中運動時間多長？圖9-15圖9-16

第15頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【審題】若帶電粒子帶負電，進入磁場后做勻速圓周運動，圓心為O1，粒子向x軸偏轉(zhuǎn)，并從A點離開磁場。若帶電粒子帶正電，進入磁場后做勻速圓周運動，圓心為O2，粒子向y軸偏轉(zhuǎn)，并從B點離開磁場。粒子速率一定，所以不論粒子帶何種電荷，其運動軌道半徑一定。只要確定粒子的運動軌跡，即可求解?！窘馕觥苛Ｗ舆\動半徑：。如圖9-16，有帶電粒子沿半徑為R的圓運動一周所用的時間為（1）若粒子帶負電，它將從x軸上A點離開磁場，運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角A點與O點相距第16頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

【總結(jié)】受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初速度下，正負粒子在磁場中運動軌跡不同，導(dǎo)致形成雙解。若粒子帶正電，它將從y軸上B點離開磁場，運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角B點與O點相距（2）若粒子帶負電，它從O到A所用的時間為若粒子帶正電，它從O到B所用的時間為第17頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三例6：如圖9-17甲所示，A、B為一對平行板，板長為L，兩板距離為d，板間區(qū)域內(nèi)充滿著勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里，一個質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以初速v0，從A、B兩板的中間，沿垂直于磁感線的方向射入磁場。求v0在什么范圍內(nèi)，粒子能從磁場內(nèi)射出？圖9-17圖9-17《名師》P106例2變形第18頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【審題】粒子射入磁場后受到洛侖茲力的作用，將做勻速圓周運動，圓周運動的圓心在入射點的正上方。要想使粒子能射出磁場區(qū)，半徑r必須小于d/4（粒子將在磁場中轉(zhuǎn)半個圓周后從左方射出）或大于某個數(shù)值（粒子將在磁場中運動一段圓弧后從右方射出）【解析】如圖9-17乙所示，當粒子從左邊射出時，若運動軌跡半徑最大，則其圓心為圖中O1點，半徑因此粒子從左邊射出必須滿足所以當粒子從右邊射出時，若運動軌跡半徑最小，則其圓心為圖中O2點，半徑為r2由于即:由幾何關(guān)系可得:

第19頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三因此粒子從右邊射出必須滿足的條件是即時，粒子可以從磁場內(nèi)射出。所以當或【總結(jié)】本題只問帶電粒子在洛倫茲力作用下飛出有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去了，也可能轉(zhuǎn)過180o從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解，在解題時一定要考慮周全。第20頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三5、粒子在復(fù)合場里的運動1）.電場＋磁場①電場加速或減速＋磁場偏轉(zhuǎn)②電場偏轉(zhuǎn)＋磁場偏轉(zhuǎn)2）.電場＋磁場＋重力場圓周運動第21頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三帶電粒子在電場磁場中的運動帶電粒子在電場中的運動直線運動：如用電場加速或減速粒子帶電粒子在磁場中的運動直線運動（當帶電粒子的速度與磁場平行時：v∥B，f＝0）帶電粒子在復(fù)合場中的運動直線運動：垂直運動方向的力必定平衡偏轉(zhuǎn)：類似平拋運動，一般分解成兩個分運動求解圓周運動：以點電荷為圓心運動或受裝置約束運動圓周運動（當帶電粒子的速度與磁場垂直時：v⊥B

，f提供向心力）圓周運動：重力與電場力一定平衡（mg＝Eq），由洛倫茲力提供向心力一般的曲線運動第22頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三三、帶電體在復(fù)合場中的運動1、帶電粒子在電場、磁場、重力場中的運動，簡稱帶電粒子在復(fù)合場中的運動，一般具有較復(fù)雜的運動圖景。這類問題本質(zhì)上是一個力學問題，應(yīng)順應(yīng)力學問題的研究思路和運用力學的基本規(guī)律?！舴治鰩щ娏Ｗ釉陔妶?、磁場中運動，主要是兩條線索：⑴力和運動的關(guān)系。根據(jù)帶電粒子所受的力，運用牛頓第二定律并結(jié)合運動學規(guī)律求解。⑵功能關(guān)系。根據(jù)場力及其它外力對帶電粒子做功引起的能量變化或全過程中的功能關(guān)系，從而可確定帶電粒子的運動情況，這條線索不但適用于均勻場，也適用于非均勻場。因此要熟悉各種力做功的特點?！魩щ婓w在復(fù)合場中受力情況復(fù)雜運動情況多變，往往出現(xiàn)臨界問題，應(yīng)以題中“最大”、“最高”、“至少”等詞語為突破口，挖掘隱含條件，根據(jù)臨界條件列出輔助方程，再與其它方程聯(lián)立求解。第23頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三1.帶電粒子在復(fù)合場中應(yīng)用問題的分析與力學中的力學中分析方法相同，關(guān)鍵是要注意電場和磁場對帶電粒子不同的作用特點。（1）帶電粒子在勻強電場中受到的電場力F＝qE是恒力；電場力作功與路徑無關(guān)，只與初末位置的電勢差有關(guān)；電場力作功多是電勢能和其他形式的能之間相互轉(zhuǎn)化的量度。（2）帶電粒子在磁場中受到的洛侖茲力的大小隨運動速度的大小改變而改變；洛侖茲力的方向總與運動方向垂直；洛侖茲力對帶電粒子不作功。

2.帶電粒子在電場和磁場共存區(qū)域內(nèi)運動形式的分析和判定：帶電粒子在電場和磁場共存區(qū)域內(nèi)的運動形式由粒子的受力情況和初速度情況共同決定。由于電場、磁場的本身情況不同（例如相互平行或垂直）都可以使帶電粒子在場內(nèi)運動時所受電場力、洛侖茲力的情況不同，又由于帶電粒子的初速度可能不同，這些因素共同決定了帶電粒子在電場、磁場共存區(qū)域內(nèi)的不同運動形式。第24頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三如圖9-18所示，在x軸上方有一勻強電場，場強為E，方向豎直向下。在x軸下方有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里。在x軸上有一點P，離原點的距離為a?，F(xiàn)有一帶電量+q的粒子，質(zhì)量為m，從y軸上某點由靜止開始釋放，要使粒子能經(jīng)過P點，其初始坐標應(yīng)滿足什么條件？（重力作用忽略不計）圖9-181）.電場＋磁場①電場加速或減速＋磁場偏轉(zhuǎn)第25頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三【審題】根據(jù)帶電粒子在電場中的加速運動和帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動知識，要使帶電粒子能通過P點，由于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)到達P點時可能經(jīng)過的半圓個數(shù)不確定，導(dǎo)致多解?！窘馕觥浚?）粒子從y軸上由靜止釋放，在電場加速下進入磁場做半徑為R的勻速圓周運動。由于粒子可能偏轉(zhuǎn)一個、二個……半圓到達P點，設(shè)釋放處距O的距離為y1，則有:

故①②③由①、②、③式有第26頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

【總結(jié)】帶電粒子在部分是磁場，部分是電場的空間運動時，運動往往具有重復(fù)性，因而形成多解。第27頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

如圖所示，在y＞0的空間中存在勻強電場，場強沿y軸負方向；在y＜0的空間中，存在勻強磁場，磁場方向垂直xy平面（紙面）向外。一電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的運動粒子，經(jīng)過y軸上y＝h處的點P1時速率為v0，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x＝2h處的P2點進入磁場，并經(jīng)過y軸上y＝-2h處的P3點。不計重力。求：（1）電場強度的大小。（2）粒子到達P2時速度的大小和方向。（3）磁感應(yīng)強度的大小。1）.電場＋磁場②電場偏轉(zhuǎn)＋磁場偏轉(zhuǎn)變形：《全解》P168第3題第28頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三第29頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

解析：（1）粒子在電場、磁場中運動的軌跡如圖所示：

設(shè)粒子從P1到P2的時間為t，電場強度的大小為E，粒子在電場中的加速度為a，由牛頓第二定律及運動學公式有：

（2）粒子到達P2時速度沿x方向的分量仍為v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x軸的夾角，則有：第30頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三

（3）設(shè)磁場的磁感應(yīng)強度為B，在洛侖茲力作用下粒子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律：

r是圓周的半徑。此圓周與x軸和y軸的交點分別為P2、P3。因為OP2＝OP3，θ＝45°，由幾何關(guān)系可知，連線P2P3為圓軌道的直徑，由此可求得：

第31頁，講稿共36頁，2023年5月2日，星期三如圖所示，半徑為R的光滑絕緣環(huán)上套有一個質(zhì)量為