畢業(yè)設計（論文）：基于三角Bézier曲線的過渡曲線曲面的構造

本科畢業(yè)設計（論文）課題名稱：基于三角Bézier曲線的過渡曲線曲面的構造專業(yè)：信息與計算科學姓名：學號：指導教師：數(shù)理學院年月本科畢業(yè)設計（論文）摘要在計算機幾何設計中，如何構造過渡曲線一直是一個非常重要的研究課題，國內外學者對這個課題進行了大量的探討和研究。作者首先給出了兩類不同的Bézier曲線基函數(shù)，分別是多項式基函數(shù)和三角基函數(shù)。然后根據(jù)所給出的不同基函數(shù)提出了帶形狀參數(shù)的兩種不同Bézier曲線的構造方法。在選取控制頂點的時候發(fā)現(xiàn)，當兩條Bézier曲線具有相同的控制點且滿足某些條件時，此時這兩條Bézier曲線具有一定的擬連續(xù)性。但是當控制頂點的選取無關時(即沒有相同的控制頂點)，這時需要一條過渡曲線來連接兩條Bézier曲線，當兩條Bézier曲線和過渡曲線之間滿足一定的擬連續(xù)性時，這條過渡曲線中的調配函數(shù)以及控制頂點的選取是至關重要的，這是本文的研究重點。本文給出了兩類形狀不同的過渡曲線(C型和S型)的例子來加深理解。最后，通過對過渡曲線的研究，上升到對過渡曲面如何構造的探討，針對過渡曲面的研究，其調配函數(shù)的選取和過渡曲面的構造與過渡曲線中的方法基本是一致的，只是從二維空間上升到三維空間而已。通過選取不同的調配函數(shù)，得出三種不同的過渡曲面分別滿足擬連續(xù)性。關鍵詞：形狀參數(shù)；過渡曲線；過渡曲面；連續(xù)性

AbstractInthecomputergeometricdesign,howtoconstructthetransitioncurvehasalwaysbeenaveryimportantresearchtopic,scholarsathomeandabroadhavedonealotofresearchonthissubject.First,twoclassesofBéziercurvebasisfunctionsaregivenbytheauthor,theyarepolynomialbasisfunctionsandtrigonometricbasisfunctions.TwodifferentBéziercurveswithshapeparametersareproposedbythegivenbasisfunctions.Whenthecontrolverticesareselected,itisfoundthatthetwoBéziercurveshavethesamecontrolpointsandsatisfycertainconditions,thetwoBéziercurveshavecertaincontinuityatthispoint.However,whentheselectionofthecontrolverticesisirrelevant(withoutthesamecontrolvertices),thenatransitioncurveisrequiredtoconnecttwoBéziercurves.WhenthetwoBéziercurvesandthetransitioncurvessatisfyacertainquasi-continuity,theselectionoftheblendingfunctionandthecontrolverticesinthistransitioncurveisofvitalimportance,whichisthefocusofthispaper.Thispapergivestwoexamplesofdifferenttransitioncurves(CandS)withdifferentshapestounderstand.Finally,throughthestudyofthetransitioncurve,thediscussionofhowtoconstructthetransitionsurfaceisdiscussed.Forthestudyofthetransitionsurface,theselectionofthemodulationfunctionandtheconstructionofthetransitionsurfacearebasicallythesameasthoseinthetransitioncurve.Spacerosetothree-dimensionalspaceonly.Bychoosingdifferentallocationfunctions,wegetthreedifferenttransitionsurfacestosatisfytheandcontinuity.Keywords:shapeparameter;transitioncurve;transitionsurface;continuity

目錄摘要 IAbstract II目錄 III圖表目錄 V第一章緒論 11.1課題研究背景與現(xiàn)狀 11.1.1研究背景 11.1.2研究現(xiàn)狀 21.2本文主要內容 3第二章三次多項式Bézier曲線的過渡曲線曲面的構造 42.1雙參數(shù)三次Bézier曲線的定義及其性質 42.1.1雙參數(shù)Bézier曲線基函數(shù)的構造和性質 42.1.2雙參數(shù)Bézier曲線的構造與性質 52.2調配曲線的構造及其連續(xù)性 52.2.1調配曲線的構造 52.2.3調配曲線連續(xù)性的預備知識 62.2.4擬連續(xù)的構造 72.2.5擬連續(xù)的構造 72.2.6擬連續(xù)的構造 82.3過渡曲線連續(xù)性的實例分析 92.3.1C-型過渡曲線的設計 92.3.2S-型過渡曲線的設計 102.4利用調配函數(shù)構造過渡曲面 112.4.1參數(shù)多項式曲面的表現(xiàn)形式 112.4.2過渡曲面的構造方法 112.5本章總結 14第三章二次三角Bézier曲線的過渡曲線曲面的構造 153.1QT-Bézier基函數(shù)的構造和性質 153.1.1QT-Bézier曲線的基函數(shù) 153.2QT—Bézier曲線 163.2.1QT—Bézier曲線的定義 163.2.2QT—Bézier曲線的性質 173.2.3形狀參數(shù)對QT—Bézier曲線的調節(jié)作用 173.3QT—Bézier曲線的光滑連接 173.3.1連續(xù)的構造 173.3.2連續(xù)的構造 183.4調配曲線的構造，性質及其連續(xù)性 193.4.1調配曲線的構造 193.4.2調配曲線的性質 203.5調配曲線擬連續(xù)性的構造 203.5.1擬連續(xù)的構造 203.5.2擬連續(xù)的構造 213.6過渡曲線的實例分析 223.6.1C-型過渡曲線的設計 223.6.2S-型過渡曲線的設計 233.7利用調配函數(shù)構造過渡曲面 233.7.1Bézier曲面的定義與性質 233.7.2過渡曲面的構造 243.8總結 27第四章 總結與展望 284.1本文總結 284.2未來工作及展望 28參考文獻 29致謝 31

圖表目錄圖2.1基函數(shù)圖像 4圖2.2基函數(shù)圖像 4圖2.3連續(xù)過渡曲線圖像 9圖2.4連續(xù)過渡曲線圖像 9圖2.5連續(xù)過渡曲線圖像 9圖2.6C型過渡曲線(參數(shù)見文中) 10圖2.7C型過渡曲線(參數(shù)見文中) 10圖2.8S型過渡曲線(參數(shù)見文中) 11圖2.9S型過渡曲線(參數(shù)見文中) 11圖2.10連續(xù)時的過渡曲面 13圖2.11連續(xù)時的過渡曲面 13圖2.12連續(xù)時的過渡曲面 13圖3.1兩個形狀參數(shù)相等時的基函數(shù)圖像 15圖3.2兩個形狀參數(shù)不等時的基函數(shù)圖像 15圖3.3曲線的拼接 18圖3.4曲線的連續(xù) 19圖3.5連續(xù)調配曲線 21圖3.6連續(xù)調配曲線 21圖3.7C型調配曲線圖像(1,1,0.5,0.5) 23圖3.8C型調配曲線圖像(-1,-1,0.5,1) 23圖3.9S型調配曲線圖像(1,1,0.5,0.5) 23圖3.10S型調配曲線圖像(1,1,0.5,0.5) 23圖3.11連續(xù)時的過渡曲面 27圖3.12連續(xù)時的過渡曲面 27圖3.13連續(xù)時的過渡曲面 27第一章緒論1.1課題研究背景與現(xiàn)狀計算機輔助幾何設計（CGAD）是以數(shù)學和計算機科學為基礎的新的跨學科課程。隨著工業(yè)發(fā)展的需求而出現(xiàn)和發(fā)展起來的，所以成為了熱門學科。在幾何的發(fā)展過程中，從數(shù)字定義出發(fā)，將傳統(tǒng)時代幾何轉化為信息時代幾何，充滿活力，有著超強的生命力。其研究的內容主要就是如何改變工業(yè)產品的形狀，即我們可以利用數(shù)學幾何模型為計算機輔助設計和制造提供數(shù)學外形，制造出符合工業(yè)需求的產品。1.1.1研究背景計算機輔助設計是應用數(shù)學中一個發(fā)展前景極為良好的分支，是為了滿足工業(yè)需求而出現(xiàn)的學科。隨著日益增多的設計要求，計算機幾何隨著多方向性，獨特性和拓撲結構的多重性正變得越來越顯著，和圖形產業(yè)和制造產業(yè)逐漸的走向信息，一體和網絡化。而網絡化的步伐正在加快，三維數(shù)據(jù)的采集技術和計算機硬件越來越完美化，輔助設計也在最近幾年中有著發(fā)展和創(chuàng)新，其研究領域正在不斷擴張。它涉及到很多現(xiàn)代數(shù)學，比如微分幾何，數(shù)值分析等，還有著幾何建模，數(shù)據(jù)結構，程序設計語言等學科。在實際生產生活中，在計算機輔助設計中曲線和曲面有著極其廣泛的應用。例如，如何利用曲線曲面的形式去將實驗統(tǒng)計的結果分析和優(yōu)化，使人們更容易去理解和接受。和中自由曲線和曲面的變化是非常熱門的研究課題。上世紀中期首次應用于發(fā)達國家的航空工業(yè)中。由弗格森首次提出利用曲線和曲面的特性，可以給它們向量化，最終弗格森雙三曲面由四個角點的位置和兩個方向的切向量定義線面的參數(shù)形式成為了數(shù)學中的定義形式。Coons提出了一種能夠運用四個閉合邊界線交互設計的自由曲面的設計方法曲線定義一塊表面，也就是說，Coons表面不限于邊界上的數(shù)據(jù)代替在許多點上插入兩組邊界曲線。上世紀70年代Bézier發(fā)表了一種利用控制多邊形來定義曲線全新的方法，即利用改變控制頂點的方法來改變曲線形狀。Bézier提出的方法簡明好用，也解決了形狀控制的問題。1.1.2研究現(xiàn)狀曲線和曲面中的過渡和連續(xù)性問題一直都是是自由曲線曲面和曲面設計的重要組成部分。上世紀90年代，Sapdis和FieyHYPERLINK[13]提出了兩個Bézier曲線單調性的充要條件。但是，討論結果卻是兩個Bézier曲線具備單調約束是很難實現(xiàn)的，只有當兩條控制邊的角度在小于90度的時候才能實現(xiàn)曲線曲率單調，而且所得到的曲線看起來比較直，也就是說彎曲度極小，所以在實際應用中有著極大的限制性。隨后，F(xiàn)iey和FleidHYPERLINK[14]給出了兩個理性Bézier曲線曲率單調的充分和必要條件。王小平等HYPERLINK[10]也給出了更為合理的Bézier曲線的曲率單調的必要和充分條件。研究結果表明，當兩個Bézier曲線在曲率單調條件下，這兩條有理Bézie曲線具有較大的松弛度即彎曲度足夠大。2003年，王晶昕等HYPERLINK[8]推導兩個均勻有理B樣條曲線的曲率單調的必要和充分條件。由于兩個Bézier曲線的限制，1996年，沃爾頓和梅克HYPERLINK[15]研究了三個Bézier曲線和五個Bézier曲線，分別提出了三個Bézier螺旋和起始點零曲率的五個PH螺旋，使用兩個螺旋作為道路設計的過渡曲線，發(fā)電曲線取得了良好的效果。后來很多學者兩種螺旋被深入研究。但是，在對多階參數(shù)曲線的研究時發(fā)現(xiàn)，在計算曲率導數(shù)時，對于較高的曲率多項式我們是很難去計算的。所以曲率為單調時，將多項式轉換為Bernstein基表示，然后將給出了高階貝爾曲線的單調曲率的充分條件。同樣，徐慧霞等HYPERLINK[17]還給出了樣條曲線的曲率單調的足夠條件。我們都知道，Bézier曲線不可以準確的表達高次曲線，但是HYPERLINK[19]在1996年提出了一種新型的曲線，在蔡華輝HYPERLINK[20-21]等的基礎上，給出了曲率在端點處為零的C-Bézier曲線，成為了計算機道路設計的新寵兒。1.2本文主要內容在改變形狀時，過渡曲線曲面的連續(xù)性是有著非常大的難度去調節(jié)的。在本文第二章中一開始給出了多項式Bézier曲線的定義，然后我們從過渡曲線的構造必須和Bézie曲線之間滿足一定擬連續(xù)性HYPERLINK[1]的要求來進行研究，結合多項式Bézier曲線的一些性質(如端點性)，對過渡曲線的選取，構造以及擬連續(xù)性進行了深入的了解，特別是連續(xù)性的研究。同時舉出了C型連續(xù)和S型連續(xù)HYPERLINK[4]的兩個例子，并且通過過渡曲線的構造和知識，也研究了過渡曲面是如何構造的，并給出形狀參數(shù)和調配函數(shù)以及控制頂點的選取對過渡曲面HYPERLINK[6]的形狀有著關鍵性作用的結論。第三章和第二章研究的內容結構基本一致，但是第三章研究的是以角函數(shù)為基函數(shù)的Bézier曲線，同時利用三角Bézier曲線的某些性質，給出其過渡曲線的構造方法以及過渡曲線的擬連續(xù)性，同時也給出了兩種具有代表性(C和S)形狀的過渡曲線。最后通過對過渡曲線的研究，我們自然而然的得出基于三角Bézier曲面的過渡曲面HYPERLINK[16]的構造方法，并給出相關的一些結論。第四章是通過對本篇論文的書寫以及這些知識的學習之后得出的一些總結和體會以及今后所要研究的內容。

第二章三次多項式Bézier曲線的過渡曲線曲面的構造 本章定義了一種三次多項式基函數(shù)HYPERLINK[7]，從基函數(shù)的性質出發(fā)，給出了Bézier曲線的構造。在研究Bézier曲線的過程中，可以發(fā)現(xiàn)當控制頂點的選取無關的時候，這兩條Bézier曲線無法產生關系，從而引出過渡曲線，通過對過渡曲線中調配函數(shù)的選取，可以讓兩條Bézier構成更好的連續(xù)性。在過渡曲線的基礎上，還簡單的研究了一下過渡曲面的構造問題。2.1雙參數(shù)三次Bézier曲線的定義及其性質2.1.1雙參數(shù)Bézier曲線基函數(shù)的構造和性質定義1對，稱關于t的多項式HYPERLINK[7]： (2.1)為帶雙參數(shù)的三次Bézier多項式曲線的基函數(shù)，簡稱為三次基。圖2.1基函數(shù)圖像圖2.2基函數(shù)圖像圖2.1為時4個基函數(shù)圖像，其中1是第一個基函數(shù)圖像，2是第二個基函數(shù)圖像，3是第三個函數(shù)圖像，4是第四個函數(shù)圖像；圖2.2為時4個基函數(shù)圖像，其中什么數(shù)字代表哪個基函數(shù)圖像和圖2.1是一致的，這里不再贅述。定理1三次基具有下面這些基本性質：（1）權性：（2）擬對稱性：當時，有其中，當時，該基函數(shù)就是伯恩斯坦基。（3）非負性：當時，對，有（4）單調性：當保持不變時，關于單調遞減；關于單調遞減；關于單調增加；關于單調增加。2.1.2雙參數(shù)Bézier曲線的構造與性質在2.1節(jié)給出的雙參數(shù)三次基函數(shù)的基礎上，可以定義多項式Bézier曲線。定義2 給定基函數(shù)，控制頂點則稱： (2.2)為帶形狀參數(shù)的三次雙參數(shù)Bézier曲線，簡稱為三次Bézier曲線。2.2調配曲線的構造及其連續(xù)性2.2.1調配曲線的構造首先考慮兩個帶參數(shù)的三次雙參數(shù)Bézier曲線和HYPERLINK[22]。如果給定兩組控制頂點，其中表示的控制頂點，表示的控制頂點，則有：=其中是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)；=其中是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)。所以由此可以定義雙參數(shù)Bézier曲線的調配曲線。定義3給定控制頂點和基函數(shù)，稱 (2.3)為雙參數(shù)三次Bézier曲線的調配曲線，其中稱為調配函數(shù)為了使得(調配曲線)經過曲線的起始點和曲線的終止點，則必須使得當時；當時。在給定的曲線和具有相關的控制點，即，下面來分析其性質：調配曲線的性質：(1)端點位置性質 由時，時知，；即調配曲線和首末控制頂點相切。(2)端點切矢性質由于，，所以調配曲線和控制多邊形的起始邊和終止邊是相切的。2.2.3調配曲線連續(xù)性的預備知識我們由式(2.3)可以知道： (2.4) (2.5)過渡曲線在兩個端點處滿足擬連續(xù)的條件為： (2.6)其中。因此，由式(2.3)到(2.5)可知，為了讓過渡曲線滿足式(2.6)中所列出的條件，調配函數(shù)在端點處必須滿足： (2.7)過渡曲線在兩個端點處滿足擬連續(xù)的條件為： (2.8)其中。因此，由式(2.3)到(2.5)可知，為了讓過渡曲線滿足式(2.7)中所列條件，調配函數(shù)在端點處必須滿足： (2.9)過渡曲線在兩個端點處滿足擬連續(xù)的條件為： (2.10)其中。因此，由式(2.3)到(2.5)可知，為了讓過渡曲線滿足式(2.10)中所列出的條件，調配函數(shù)在端點處必須滿足： (2.11)2.2.4擬連續(xù)的構造為了讓調配曲線經過曲線的始點和曲線的末點，必須滿足和，即必須滿足，為了計算的方便，我們用的是低次多項式來表示的，即取，這樣就可以讓過渡曲線具有擬連續(xù)。2.2.5擬連續(xù)的構造在滿足擬連續(xù)的前提下，要保持擬連續(xù)，則要有和，即(調配函數(shù))必須滿，可以取則能滿足連續(xù)的條件。當然這里我們也可以取其他的調配函數(shù)，只要滿足條件即可。2.2.6擬連續(xù)的構造同樣要保持擬連續(xù)，則必須有和，即調配函數(shù)必須滿足，所以我們可以取，則能滿足擬連續(xù)的條件。當然也可以用其他的調配函數(shù)，只要滿足條件即可，我們這里為了方便起見，用的是最簡單的調配函數(shù)。定理2設三次調配曲線要滿足擬連續(xù)的充分條件HYPERLINK[6]是調配函數(shù)分別為；；。根據(jù)定理2中所給出的多項式調配函數(shù)，分析可得如下性質：(1)單調性：當時，調配函數(shù)是單調的，即 (2)對稱性：，即在點處是反對稱的，也就是有下面的等式：（3） 中點性：在中點處滿足。（4） 端點性：在端點處滿足 圖2.3是擬連續(xù)時的函數(shù)圖像，其中1和2分別是兩個Bézier曲線，3是所要研究的過渡曲線；圖2.4是擬連續(xù)時的函數(shù)圖像，其中1和2分別是兩個Bézier曲線，3是所要研究的過渡曲線；圖2.5是擬連續(xù)時的函數(shù)圖像，其中1和2分別是兩個Bézier曲線，3是所要研究的過渡曲線。圖2.3連續(xù)過渡曲線圖像圖2.4連續(xù)過渡曲線圖像圖2.5連續(xù)過渡曲線圖像2.3過渡曲線連續(xù)性的實例分析2.3.1C-型過渡曲線的設計設兩條基曲線為三次多項式Bézier曲線，其方程分別為：；其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時候，我們所得到的的C-形過渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時所構造出的不同的C-形過渡曲線。圖2.6是當形狀參數(shù)時的C型過渡曲線函數(shù)圖(過渡曲線為1)；圖2.7是當形狀參數(shù)時的C型過渡曲線函數(shù)圖(過渡曲線為1)。圖2.6C型過渡曲線(參數(shù)見文中)圖2.7C型過渡曲線(參數(shù)見文中)2.3.2S-型過渡曲線的設計根據(jù)2.3.1中所給出的基曲線可以構造下列兩條曲線：其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時候，我們所得到的S-形過渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時所構造出的不同的S-形過渡曲線。圖2.8是當形狀參數(shù)時的S型過渡曲線函數(shù)圖(過渡曲線為1)；圖2.9是當形狀參數(shù)時的S型過渡曲線函數(shù)圖(過渡曲線為1)。圖2.8S型過渡曲線(參數(shù)見文中)圖2.9S型過渡曲線(參數(shù)見文中)2.4利用調配函數(shù)構造過渡曲面2.4.1參數(shù)多項式曲面的表現(xiàn)形式如果我們將坐標變量表示成關于兩個參數(shù)和的方程式的表現(xiàn)形式，即可以得到曲面的參數(shù)表示形式： (2.12)通常是要求，是在一定坐標間變化的，因為這樣是具有一般性的，令，則在矩形參數(shù)域×內變化。得到矩形域上的參數(shù)曲面片的矢量表示形式： (2.13)的四個角點分別為和，四條邊界線分別為。關于曲面的理論和方法完全類似曲線，所以我們在這里就不再解釋每一個結論，具體的性質和內容可以參照前面的介紹。2.4.2過渡曲面的構造方法下面的內容是通過對過渡曲線的研究，上升到對過渡曲面的構造問題，即給定兩張曲面，能夠構造出這樣的曲面，使得邊界曲線通過連接到邊界曲線，這里是滿足一定條件的，即其形狀是由所決定的，并且過渡曲面在兩條邊界曲線處和兩張基曲面是具有一定的連續(xù)性的。我們由式(2.3)中對過渡曲線的構造方程中可以推理得到過渡曲面的方程可表示為： (2.14)其中，，是該調配方程中的調配函數(shù)，類似于式(2.3)中的調配函數(shù)。所以，由之前研究的一些調配函數(shù)的性質和式(2.13)經過計算可以知道： (2.15)其中，。由式(2.15)我們可以知道，利用調配函數(shù)構造的過渡曲面在兩條邊界曲線處滿足連續(xù)。下面我們舉一個具體的例子來說明多項式過渡曲面的構造。例，設兩張基曲面的方程分別為：其中，當我們調配函數(shù)取不同的函數(shù)時，過渡曲面在兩條邊界曲線處滿足不同的連續(xù)性。即時滿足連續(xù)，時滿足連續(xù)，時滿足連續(xù)。以下圖示分別是連續(xù)時的圖示，可以看到三張圖連接的越來越順滑一點。圖2.10連續(xù)時的過渡曲面圖2.11連續(xù)時的過渡曲面2.12連續(xù)時的過渡曲面

2.5本章總結從三次Bézier曲線的連續(xù)性出發(fā)，通過對過渡曲線的選取讓兩條曲線滿足一定的連續(xù)性()。這其中控制頂點的選取以及調配函數(shù)的選取對曲線連續(xù)性的構造起著決定性的作用，重點研究了調配函數(shù)的選取。將問題上升到過渡曲面的研究。

第三章二次三角Bézier曲線的過渡曲線曲面的構造本章從二次三角基函數(shù)出發(fā)，構造出QT-Bézier曲線。通過選取有有關聯(lián)和無關聯(lián)的控制頂點，研究QT-Bézier曲線的連續(xù)性。重點研究了當控制頂點的選取無關聯(lián)的時候，過渡曲線的構造。最后通過對過渡曲線的深入理解，上升到對過渡曲面的研究。3.1QT-Bézier基函數(shù)的構造和性質3.1.1QT-Bézier曲線的基函數(shù)定義1設實數(shù)，函數(shù)HYPERLINK[11]： (3.1)則稱是以為形狀參數(shù)的二次三角Bézier基函數(shù)，簡稱為Bézier基函數(shù)。圖3.1兩個形狀參數(shù)相等時的基函數(shù)圖像圖3.2兩個形狀參數(shù)不等時的基函數(shù)圖像圖3.1表示當參數(shù)相等時Bézier基函數(shù)的函數(shù)圖像，其中1為時的三個基函數(shù)圖像，2是時的三個基函數(shù)圖像，3為時的三個基函數(shù)圖像;圖3.2是參數(shù)不同時的函數(shù)圖像。由此可見當且變大時，中間的基函數(shù)跟著變大，而兩邊的基函數(shù)變小。如果我們要研究這個基函數(shù)的一些基本性質，那么首先我們需要證明下面的引理：引理1當時： 。證明：當時，于是，我們經過這個引理和研究可以得出基函數(shù)具有如下的性質：（1） 權性：。即，這個結論經過簡單的計算可以驗證是完全正確的。（2） 非負性：由圖3.1和圖3.2的函數(shù)圖像完全可知：當時，。（3） 擬對稱性：（4） 線性相關性：即基函數(shù)是線性相關的。3.2QT—Bézier曲線3.2.1QT—Bézier曲線的定義 定義2給定控制頂點，為定義1中所定義的基函數(shù)，則我們可以稱： ， (3.2)為二次三角Bézier曲線，可以簡稱為Bézier曲線HYPERLINK[11]。3.2.2QT—Bézier曲線的性質因為Bézier曲線是由Bézier基函數(shù)的基礎上來的，所以由上述Bézier基函數(shù)的性質我們可以得出Bézier曲線的一些性質：（1） 端點插值性質：曲線插值控制多邊形的端點：且與控制多邊形的端邊相切，,。（2）凸包性和保凸性：Bézier曲線是必然落在控制多邊形的凸包之內的。（3）幾何不變性和仿射不變性。（4）擬對稱性：調換形狀參數(shù)，形狀是相同的，只是方向不同而已。3.2.3形狀參數(shù)對QT—Bézier曲線的調節(jié)作用由基函數(shù)的定義和3.1.1節(jié)中的基函數(shù)圖像可知，當固定和的值，將增大時，會減小，而則會增大，所以曲線會慢慢靠近控制多邊形的邊。同樣道理，當我們將增大時，曲線會慢慢靠近控制多邊形的邊。若或逐漸減小則相反。3.3QT—Bézier曲線的光滑連接本節(jié)將考慮如何將若干段Bézier曲線連接成光滑的曲線。設為或中的一組已知的控制頂點，再設一組實數(shù)。則由它們構成的段Bézier曲線 (3.3)3.3.1連續(xù)的構造由上述段Bézier曲線的定義即式(3.3)可知：連續(xù)的充分必要條件為。圖3.3中1和2曲線分別是兩條Bézier曲線，它們在點處實現(xiàn)了拼接。圖3.3曲線的拼接3.3.2連續(xù)的構造設相鄰兩端Bézier曲線與的控制點滿足連續(xù)時的充要條件，則它們是連接的充要條件為：下面我們對上述條件進行證明證明：與是連接等價于。由曲線Bézier的控制頂點的性質可得： (3.4)這里通過計算整理即可得到連續(xù)的充要條件。所以，兩段二次Bézier曲線連接的充要條件為，即公共端點必須在和連線的中點處。圖3.4中1和2曲線分別是兩條Bézier曲線，它們在點處實現(xiàn)了拼接。圖3.4曲線的連續(xù)3.4調配曲線的構造，性質及其連續(xù)性3.4.1調配曲線的構造首先考慮兩個帶形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線和。如果給定2組控制頂點，其中表示的控制頂點，表示的控制頂點，則有： (3.5)其中是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)，是定義1中含有參數(shù)的基函數(shù)。由此我們可以定義二次Bézier調配曲線定義3給定控制頂點和基函數(shù)，稱 (3.6)為二次Bézier調配曲線，其中稱為調配函數(shù)。為了讓調配曲線經過曲線的始點和曲線的尾點，則要滿足當時；當時。如果給定的曲線和的控制頂點是同一組的話，即，下面來分析其性質：3.4.2調配曲線的性質(1)端點位置性質 由時，時知，；即調配曲線插值于首末控制頂點。(2)端點切矢性質 因為，，所以調配曲線與控制多邊形的起始邊和尾邊是相切的。3.5調配曲線擬連續(xù)性的構造從3.4.1節(jié)中知，當給定的曲線和的是兩組完全不同的控制頂點時，要保證和過渡曲線之間具有一定的連續(xù)性，最重要的是調配函數(shù)的選取問題。本節(jié)針對調配函數(shù)如何選取給出了一些基本的方法。我們由曲線的保凸性可知，過渡曲線始終應在給定的和的內部，所以在連接點處肯定不是那么的光滑，并不是實現(xiàn)真正的連續(xù)。3.5.1擬連續(xù)的構造為了讓調配曲線經過曲線的始點和曲線的末點，必須滿足和，即必須使得，為了降低計算的復雜度，我們選取都是低次的多項式，即取，此時調配曲線和Bézier曲線滿足擬連續(xù)。圖3.5中1線為調配曲線，是連續(xù)。圖3.5連續(xù)調配曲線3.5.2擬連續(xù)的構造在擬連續(xù)的基礎之上，要使得擬連續(xù)，則有和，則調配函數(shù)，可以取則能滿足連續(xù)的條件。當然這里我們也可以取其他的調配函數(shù)，只要滿足條件即可。圖3.6是調配曲線，其中1線為調配曲線。圖3.6連續(xù)調配曲線 定理2設二次Bézier調配曲線要滿足擬連續(xù)的充分條件是調配函數(shù)分別為；；，通過多項式及其函數(shù)圖像我們可以得出調配函數(shù)有著下面這些簡單的性質：(1)單調性：當時，調配函數(shù)是單調的，即 (2)對稱性：，即是關于點反對稱的，也就是說有以下等式成立：(3)中點性：在中點處滿足。(4)端點性：在端點處滿足 3.6過渡曲線的實例分析3.6.1C-型過渡曲線的設計設兩條基曲線為三次多項式Bézier曲線，其方程分別為：；其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時候，我們所得到的的C-形過渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時所構造出的不同的C-形過渡曲線。圖3.7是當4個形狀參數(shù)分別是(1,1,0.5,0.5)時的C型過渡曲線。圖3.8是當4個形狀參數(shù)分別為(-1,-1,0.5,1)時的C型過渡曲線。兩幅圖中都是1線為過渡曲線。圖3.7C型調配曲線圖像(1,1,0.5,0.5)圖3.8C型調配曲線圖像(-1,-1,0.5,1)3.6.2S-型過渡曲線的設計根據(jù)2.3.1中所給出的基曲線可以構造下列兩條曲線：其中，，與分別是兩條基曲線的控制頂點，是式(2.1)中所定義的基函數(shù)。所以當基函數(shù)中的形狀參數(shù)取不同的值得時候，我們所得到的S-形過渡曲線也是完全不同的，如下圖所示即為形狀參數(shù)不同時所構造出的不同的S-形過渡曲線。圖3.9是當4個形狀參數(shù)分別是(1,1,0.5,0.5)時的S過渡曲線。圖3.10是當4個形狀參數(shù)分別為(-1,-1,0.5,1)時的S型過渡曲線。兩幅圖中都是1線為過渡曲線。圖3.9S型調配曲線圖像(1,1,0.5,0.5)圖3.10S型調配曲線圖像(-1,-1,0.5,1)3.7利用調配函數(shù)構造過渡曲面3.7.1Bézier曲面的定義與性質給定空間的個點，我們稱如下形式的張量積參數(shù)曲面是次的Bézier曲面 (3.7)我們稱為控制頂點，所有的構成的一張控制網格。由本章的第二節(jié)中關于Bézier曲線的研究很容提可以得出如下幾種關于曲面的性質：(1)角點位置：從定義可以看出，Bézier曲面的四個角點分別是其控制網格的四個角點，所以，可以得到 (3.8)(2)邊界線：的臨界線是Bézier曲線，他們的數(shù)學表達式分別是: (3.9)(3)角點法矢量：這有點類似角點切平面的討論，我們可以得到曲面在四個角點處的矢量分別是： (3.10)(4)凸包性：曲面位于其控制頂點的凸包之內關于Bézier曲面的性質還有很多，本文在這里就不做一一的列舉了，而且關于曲面的理論和方法完全類似曲線，所以我們在這里就不再解釋每一個結論，具體的性質和內容可以參照前面的介紹。3.7.2過渡曲面的構造下面的內容是通過對過渡曲線的研究，上升到對過渡曲面的構造問題，即給定兩張曲面，能夠構造出這樣的曲面，使得邊界曲線通過連接到邊界曲線，這里是滿足一定條件的，即其形狀是由所決定的，并且過渡曲面在兩條邊界曲線處和兩張基曲面是具有一定的連續(xù)性的。我們由式(3。6)中對過渡曲線的構造方程中可以推理得到過渡曲面的方程可表示為： (3.11)其中，，是該調配方程中的調配函數(shù)，類似于式(2.3)中的調配函數(shù)。所以，由之前研究的一些調配函數(shù)的性質和式(2.13)經過計算可以知道： (3.12)其中，由此我們可以知道，利用調配函數(shù)構造的過渡曲面在兩條邊界曲線處滿足擬連續(xù)。下面我們舉一個具體的例子來說明多項式過渡曲面的構造。例如，我們可以設兩張基曲面的方程式分別為：其中，當我們調配函數(shù)取不同的函數(shù)時，過渡曲面在兩條邊界曲線處滿足不同程度的連續(xù)性。即時滿足連續(xù)，時滿足連續(xù)，時滿足連續(xù)。以下圖示分別是連續(xù)時的圖示。圖3.11連續(xù)時的過渡曲面圖3.12連續(xù)時的過渡曲面圖3.13連續(xù)時的過渡曲面 3.8總結三角Bézier曲線的研究一直是一個熱門，本章節(jié)主要研究的是二次三角Bézier曲線連續(xù)性的構造中的過渡曲線的研究問題。通過選取不同的控制頂點以及符合條件的調配函數(shù)，達到Bézier曲線之間的連續(xù)性構造最后淺談了一下關于過渡曲面的構造問題。

總結與展望4.1本文總結本論文首先介紹了Bézier曲線及其過渡曲線曲面的研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀。然后給出了兩類基于不同基函數(shù)Bézier曲線的構造方法，通過研究Bézier曲線之間的連續(xù)性我們發(fā)現(xiàn)，當任意兩條Bézier曲線之間具有一個或者多個控制頂點時，此時這兩條Bézier曲線之間都存在著一定的擬連續(xù)性，但是當任意兩條Bézier曲線的控制頂點不相同的時候，我們發(fā)現(xiàn)，這兩條曲線之間沒有任何的關系，所以就更不會有連續(xù)性了，此時，我們給出一種過渡曲線的構造方法，得出一條過渡曲線，通過這條過渡曲線，使得此前沒有連續(xù)性的兩條Bézier曲線之間產生了一定的連續(xù)性，本論文著重討論的是C連續(xù)。最后，通過對過渡曲線的研究，我們發(fā)現(xiàn)，Bézier曲面之間也存在著相同的問題，所以，通過對過渡曲線的研究，我們得出過渡曲面的構造方法，給出過渡曲面相關研究。4.2未來工作及展望本論文中關于過渡曲線曲面的調配曲線曲面中的調配函數(shù)的選取，我們?yōu)榱朔奖阌嬎闩c減少計算量，是直接進行選取最為簡單的調配函數(shù)，實際上，對于調配函數(shù)的選取，是有多種選擇的，所以我們應該研究它的普適性。另外，關于過渡曲線的問題，我們還是應該研究一下最佳過渡曲線。然后，利用研究過渡曲線時所提出的方法，將這種方法上升到曲面的高度，較為深入的了解一下最佳過渡曲面的構造問題。同時，本論文中只是對C連續(xù)進行研究，所以，我們還是要對G連續(xù)進行詳細的研究，這是實際應用中所需要的。機器人行走路線，設計道路和軟件造型的設計都和本課題所研究的內容息息相關，所以，我們通過本課題的研究，可以將其應用到實際生活中，具有很強的實用性，研究意義重大。參考文獻劉華勇,李璐,張大明,謝新平,王煥寶.帶形狀參數(shù)的代數(shù)三角樣條曲線曲面的構造（英文）[J].高等學校計算數(shù)學學報,2016,38(03):234-246.樊文,洪玲,邢燕.帶一個形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線[J].大學數(shù)學,2016,16(04):30-34.嚴蘭蘭,韓旭里,黃濤.帶一個形狀參數(shù)的3次三角多項式曲線曲面[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2016,28(07):1047-1058.劉成志,李軍成.帶形狀參數(shù)的類三次代數(shù)三角Hermite參數(shù)樣條曲線[J].計算機工程與科學,2016,15(07):1479-1483.嚴蘭蘭,韓旭里,饒智勇.帶局部形狀參數(shù)的λ-B曲線設計[J].中國圖象圖形學報,2016,21(02):174-183.劉華勇,李璐,張大明.帶形狀參數(shù)的QT-Bézier曲線曲面的構造和應用[J].計算機工程與科學,2016,27(02):344-349.杭后俊,余靜,李汪根.三次Bezier曲線