高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.5旋轉(zhuǎn)體學(xué)案新人教B版必修第四冊

11．1.5旋轉(zhuǎn)體課程標(biāo)準(zhǔn)1.認(rèn)識圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題． 新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識點(diǎn)一圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以____________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：________叫做圓柱的軸底面：________的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫篲_______的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，____________柱體：____________統(tǒng)稱為柱體知識點(diǎn)二圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以____________________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：________叫做圓錐的軸底面：________的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫篲___________旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，____________錐體：____________統(tǒng)稱為錐體知識點(diǎn)三圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義以________________所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的________底面：________旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫篲_________旋轉(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，__________臺體：__________統(tǒng)稱為臺體知識點(diǎn)四球的結(jié)構(gòu)特征定義以____________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的________半徑：半圓的________直徑：半圓的________知識點(diǎn)五1．簡單組合體由________組合而成的幾何體叫做簡單組合體．2．簡單組合體的構(gòu)成形式有兩種基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的．狀元隨筆等邊三角形繞其一邊的中線所在直線旋轉(zhuǎn)半周形成的面所圍成的幾何體是什么幾何體？[提示]圓錐知識點(diǎn)六旋轉(zhuǎn)體的面積問題1．側(cè)面積公式(1)S圓柱側(cè)＝____________．(2)S圓錐側(cè)＝____________．(3)S圓臺側(cè)＝____________．2．旋轉(zhuǎn)體的表面積(1)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的表面積．(2)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式幾何體側(cè)面展開圖表面積公式圓柱S圓柱＝____________，r為底面半徑，l為母線長圓錐S圓錐＝____________，r為底面半徑，l為母線長圓臺S圓臺＝______________，r′為上底面半徑，r為下底面半徑，l為母線長(3)球的表面積S＝________(R為球的半徑)．基礎(chǔ)自測1．判斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)圓臺有無數(shù)條母線，它們相等，延長后相交于一點(diǎn)．()(2)用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．()(3)用任意一個平面去截球，得到的是一個圓面．()(4)圓臺的高就是相應(yīng)母線的長．()2．圓錐的母線長為10，底面半徑為6，則其高等于()A．6 B．8C．10 D．不確定3．如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征是()A．一個棱柱中截去一個棱柱B．一個棱柱中截去一個圓柱C．一個棱柱中截去一個棱錐D．一個棱柱中截去一個棱臺4．有下列說法：①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線；②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線；③用一個平面截一個球，得到的是一個圓．其中正確說法的序號是________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征例1(1)判斷下列各命題是否正確①圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；②一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；③圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；④到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球．依據(jù)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷．(2)下列三個結(jié)論中，錯誤的個數(shù)為()①經(jīng)過球面上任意兩點(diǎn)，可以作且只可以作一個球的大圓；②球面積是它大圓面積的四倍；③球面上兩點(diǎn)的球面距離，是這兩點(diǎn)所在截面圓上以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的劣弧的長．A．0個B．1個C．2個D．3個方法歸納(1)圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，必須準(zhǔn)確認(rèn)識各旋轉(zhuǎn)體對旋轉(zhuǎn)軸的具體要求．(2)只有理解了各旋轉(zhuǎn)體的生成過程，才能明確由此產(chǎn)生的母線、軸、底面等概念，進(jìn)而判斷與這些概念有關(guān)的命題的正誤．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()A．直角三角形繞一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體C．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺D．通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線(2)長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱分別是3，4，5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是()A．25π B．50πC．125π D．以上都不對題型2簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征例2如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成一個幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征．狀元隨筆關(guān)鍵是弄清簡單組合體是由哪幾部分組成．方法歸納本題是不規(guī)則圖形的旋轉(zhuǎn)問題．對于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進(jìn)行分析．跟蹤訓(xùn)練2(1)描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．(2)一直角梯形ABCD如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的大致形狀．題型3旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算【思考探究】1.圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面是什么樣的圖形？[提示]圓面．2.圓柱、圓錐、圓臺過軸的截面是什么樣的圖形？[提示]分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形．3.經(jīng)過圓臺的任意兩條母線作截面，截面是什么圖形？[提示]因?yàn)閳A臺可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長度均相等，且延長后相交，故經(jīng)過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形．4.球的截面是什么？[提示]球的截面均是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓．例3(1)母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2(2)已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個球的半徑是________；狀元隨筆(1)作出圓臺的軸截面，是一個等腰梯形，計(jì)算等腰梯形的高即為圓臺的高．(2)作出球的大圓，注意球心與截面的圓心連線垂直于截面，注意在直角三角形中求解即可．(3)如圖，一豎立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為43m，求此圓錐底面圓的半徑．方法歸納與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略求解有關(guān)圓錐的基本量的問題時，一般先畫出圓錐的軸截面，得到一等腰三角形，進(jìn)而可得到直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)直角三角形的問題進(jìn)行求解．通常在求圓錐的高、母線長、底面圓的半徑長等問題時，都是通過取其軸截面，化歸求解．巧妙之處就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決．跟蹤訓(xùn)練3(1)母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2的圓臺還原為圓錐后，其它條件不變，求圓錐的母線長；(2)如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱，求圓柱的底面半徑．教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及結(jié)構(gòu)特征，難點(diǎn)是能根據(jù)結(jié)構(gòu)特征識別和區(qū)分這些幾何體．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)判斷旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法及旋轉(zhuǎn)體軸截面的應(yīng)用．(2)簡單組合體的構(gòu)成形式及識別方法．3．本節(jié)課的易錯點(diǎn)是對概念理解不到位而致錯．11．1.5旋轉(zhuǎn)體新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識點(diǎn)一矩形的一邊軸底面?zhèn)让婺妇€底面旋轉(zhuǎn)軸垂直于軸平行于軸不垂直于軸的邊圓柱和棱柱知識點(diǎn)二直角三角形的一條直角邊側(cè)面母線底面軸旋轉(zhuǎn)軸垂直于軸直角三角形的斜邊不垂直于軸的邊棱錐和圓錐知識點(diǎn)三直角梯形垂直于底邊的腰底面?zhèn)让婺妇€底面軸旋轉(zhuǎn)軸直角梯形的上邊和下邊不垂直于軸的邊不垂直于軸的邊棱臺與圓臺知識點(diǎn)四半圓的直徑球心半徑直徑圓心半徑直徑知識點(diǎn)五1．簡單幾何體知識點(diǎn)六1．(1)2πrl(2)πrl(3)π(r1＋r2)l2．(2)2πr(r＋l)πr(r＋l)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(3)4πR2[基礎(chǔ)自測]1．解析：(1)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分是圓臺，由此可知此說法正確．(2)用與底面平行的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺．(3)因?yàn)榍蚴且粋€幾何體，包括表面及其內(nèi)部，所以用一個平面去截球，得到的是一個圓面．(4)圓臺的高是指兩個底面之間的距離．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由圓錐的軸截面可知，圓錐的母線、底面半徑與高構(gòu)成直角三角形，所以其高為102-答案：B3．解析：由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個棱柱中截去一個棱錐．答案：C4．解析：利用球的結(jié)構(gòu)特征判斷：①正確；②不正確，因?yàn)橹睆奖剡^球心；③不正確，因?yàn)榈玫降氖且粋€圓面．答案：①課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)①錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸．②錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．③正確．④錯．應(yīng)為球面．(2)當(dāng)球面上的兩點(diǎn)與球心共線時可作無數(shù)個球的大圓，①錯；S球＝4πR2，S大圓＝πR2.所以S球＝4S大圓，②正確；球面上兩點(diǎn)的球面距離是球面上的兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，并非在任意截面圓上，所以③錯．【答案】(1)見解析(2)C跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)A錯誤，應(yīng)為直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；若繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的是兩個圓錐構(gòu)成的一個組合體．B錯誤，沒有說明這兩個平行截面與底面的位置關(guān)系，當(dāng)這兩個平行截面與底面平行時正確，其他情況則是錯誤的．D錯誤，通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線．故選C.(2)由于長方體的體對角線的長是球的直徑．所以可求得這個球的直徑是52，然后代入球的表面積公式S＝4πR2即可．答案：(1)C(2)B例2【解析】如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是由一個圓柱挖去兩個圓錐后的剩余部分．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)圖①所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖②所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖③所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體．(2)以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個圓臺；以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個圓柱和圓錐的組合體；以CD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個圓臺，下底挖去一個小圓錐，上底增加一個較大的圓錐；以AD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得一個圓柱，上面挖去一個圓錐，如圖所示．例3【解析】(1)截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm.又由題意知，腰長為12cm，所以高AM＝122-5-2(2)如圖所示，因?yàn)閮蓚€平行截面的面積分別為5π、8π，所以兩個截面圓的半徑分別為r1＝5，r2＝22.因?yàn)榍蛐牡絻蓚€截面的距離d1＝R所以d1－所以R2＝9，所以R＝3.(3)作出圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示，該小蟲爬行的最短路程為PP′，在△OPP′中，OP＝OP′＝4m，PP′＝43m，取線段PP′的中點(diǎn)A，連接OA.在Rt△POA中，PA＝12PP′＝23m，