多元函數(shù)極限與連續(xù)

關(guān)于多元函數(shù)極限與連續(xù)第1頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.1空間解析幾何簡介4.1.1空間直角坐標(biāo)系的建立4.1.2空間兩點(diǎn)間的距離4.1.3常見的空間曲面第2頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.1.1空間直角坐標(biāo)系的建立橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系在空間任取一點(diǎn)o，過點(diǎn)o作三條相互垂直的直線ox,oy,oz,規(guī)定單位長度，并按右手規(guī)則4.1空間解析幾何簡介確定其方向.第3頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三7(-,-,-)xy面yz面空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面，將空間分成面2(-,+,+)3(-,-,+)5(+,+,-)6(-,+,-)8(+,-,-)1(+,+,+)4(+,-,+)八個(gè)卦限,各卦限符號(hào)，如圖所示.第4頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三注1

引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系的目的是為了研究空注2

對(duì)于空間中任意一點(diǎn)，都有唯一一個(gè)三元P空間的點(diǎn)有序數(shù)組(x,y,z).間曲線與曲面.有序數(shù)組(x,y,z)與之對(duì)應(yīng).第5頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.1.2空間兩點(diǎn)間的距離

設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)為空間任意兩點(diǎn).過P1P2分別作平行于坐標(biāo)平面的平面，這六個(gè)平面構(gòu)成一個(gè)以P1

P2為對(duì)角線的長方體，如下圖所示，則其三條邊長分別為|x1-x2|,|y1-y2|,|z1-z2|，由勾股定理，得P1與P2間的距離ρ為第6頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三注

特別地，點(diǎn)P(x,y,z)到原點(diǎn)O的距離為第7頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例1證明:由于

證明：以點(diǎn)M1(4,3,1)，M2(7,1,3)，

M3即△M1

M2

M3

是等腰三角形.所以，(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.第8頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.1.3常見的空間曲面如果曲面S與方程F(x,y,z)=0之間存在這樣的關(guān)系：（1）若點(diǎn)M(x,y,z)在曲面S上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)（2）若一組數(shù)x,y,z滿足方程F(x,y,z)=0，則點(diǎn)M(x,y,z)滿足三元方程F(x,y,z)=0.M(x,y,z)就在曲面S上.

稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程。曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形。第9頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三注空間的曲線可以看作是兩個(gè)曲面的交線，因此空間曲線的方程通常可以表示為：平面的方程第10頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三柱面

平行于定直線L并沿定曲線C移動(dòng)的直線所成LC動(dòng)直線稱為柱面的母線.的曲面，稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線,第11頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三可以證明：柱面的方程是設(shè)柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線C是xy面上的一條曲線，其方程為從柱面方程看柱面的特征：只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線為xoy面上曲線C.(其他類推)第12頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三橢圓柱面//軸,雙曲柱面//軸,拋物柱面//軸.實(shí)例第13頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三柱面方程

xyz0第14頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三二次曲面二元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.例2解：設(shè)P(x,y,z)是球面S上的任一點(diǎn)，由球面的求通過P0(x0,y0,z0)為中心，以R為半徑的球面S的方程.定義及兩點(diǎn)間距離公式得經(jīng)過原點(diǎn)的球面的方程為：第15頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三

可以證明，經(jīng)過適當(dāng)?shù)剡x取空間直角坐標(biāo)系，二次曲面有下面幾種標(biāo)準(zhǔn)形式：球面橢球面單葉雙曲面第16頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三雙葉雙曲面二次錐面橢圓拋物面雙曲拋物面（馬鞍面）第17頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三

以上曲面的圖形形狀，可通過對(duì)曲面方程的定性分析（如對(duì)稱性、有界性等）和“截痕法”，即用坐標(biāo)平面或平行于坐標(biāo)平面的平面與曲面相交所得交線，通過分析交線（稱為截痕）的形狀，確定曲面的大致形狀加以初步確定.第18頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例3解：試作出單葉雙曲面的草圖.由方程可知：單葉雙曲面的圖形是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面均對(duì)稱的無界對(duì)稱圖形,用平行于xy平面的平面z=h截曲面得，第19頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三綜上可知，單葉雙曲面的形狀如下圖所示：

xyo

z其截痕是中心在z軸的橢圓，用平行于xz平面,yz平面截曲面所得截痕均為雙曲線.第20頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三類似可得雙葉雙曲面的形狀如下圖所示：yzox第21頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三旋轉(zhuǎn)拋物面第22頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三雙曲拋物面（馬鞍面）xzyo第23頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.2多元函數(shù)的概念4.2.1平面區(qū)域的概念4.2.2二元函數(shù)的概念第24頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.2.1平面區(qū)域的概念1.鄰域設(shè)P0(x0,y0)是xoy面上的一定點(diǎn)，d是一正數(shù),稱為點(diǎn)P0的δ鄰域，記為U(P0,d).以P0為圓心，d為半徑的圓的內(nèi)部4.2多元函數(shù)的概念第25頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三U(P0,d)中除去中心P0后所剩部分，即為點(diǎn)P0的δ去心鄰域，記為第26頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三設(shè)D是xoy平面上的點(diǎn)集，P是xoy平面上的一點(diǎn).

若存在

d>0，使得,則稱點(diǎn)P是D的內(nèi)點(diǎn)；

若存在

d>0，使得

,則稱P是D的外點(diǎn)；

若P的任何鄰域內(nèi)，既含有屬于D的點(diǎn)，又含有

D的所有界點(diǎn)所成之集稱為D的邊界；

若P的任何鄰域內(nèi)均含有D中無窮多個(gè)點(diǎn),則稱不屬于D的點(diǎn)，則稱P為點(diǎn)集D的邊界點(diǎn)或界點(diǎn)；P是D的聚點(diǎn).2.點(diǎn)集與點(diǎn)的關(guān)系第27頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三

例如，點(diǎn)集注內(nèi)點(diǎn)必屬于D，外點(diǎn)必不屬于D，邊界點(diǎn)和的點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn)；滿足的點(diǎn)都是D的界點(diǎn)；滿足的點(diǎn)都是D的外點(diǎn)；滿足或的點(diǎn)都是D的聚點(diǎn).滿足聚點(diǎn)可以屬于D，也可以不屬于Ｄ．第28頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例如，也不是R2的閉集.而既不是R2中的開集，是R2中的開集；是R2中的閉集；如果D的余集Dc為開集，則稱D為R2中的閉集.

設(shè)，如果D中每一個(gè)點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn)，則稱D是R2中的開集；3.區(qū)域第29頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三有界集與無界集一個(gè)集合如果不是有界集，則稱之為無界集.，則稱D是R2中的有界集.設(shè)點(diǎn)集，如果存在常數(shù)k>0，使得第30頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三區(qū)域點(diǎn)P1與P2

，總存在D中的折線把P1與P2連接起來，設(shè)為一非空開集，如果對(duì)于D中任意兩則稱D是連通的。連通的開集稱為R2中的開區(qū)域；開區(qū)域與其邊界所構(gòu)成的集合，稱為閉區(qū)域.開區(qū)域與閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域.第31頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例如，和都是R2中的開區(qū)域.和都是R2中的閉區(qū)域.第32頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三定義4-1二元函數(shù),記為設(shè)D為平面上非空點(diǎn)集，若存在對(duì)應(yīng)法則f,使得對(duì)D中每一個(gè)點(diǎn)按照對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)z，則對(duì)應(yīng)法則f為定義在D上的“點(diǎn)函數(shù)”.這樣可使多元函數(shù),一元函數(shù)在形式上保持一致.4.2.2二元函數(shù)的概念第33頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三稱為函數(shù)f的值域.函數(shù)f的定義域，

z稱為因變量,D稱為稱為自變量，其中類似地可以得到n元函數(shù)的定義：

注1注2二元與二元以上函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).當(dāng)n=1時(shí)，就是我們以前所學(xué)的一元函數(shù)；第34頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三二元函數(shù)的定義域

與一元函數(shù)一樣，在討論用解析式表示的函數(shù)時(shí)，其定義域是一切使該解析式有意義的平面點(diǎn)的集合.若函數(shù)所表示的是某一實(shí)際問題，則自變量的取值范圍要符合實(shí)際.下面我們將舉例說明.

二元函數(shù)的定義域在幾何上表示一個(gè)平面區(qū)域圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界.第35頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例4解:要使函數(shù)有意義，x,y必須滿足：xyo11-1-1求函數(shù)的定義域D，并畫出D的示意圖.故定義域其圖形如下圖所示.第36頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三二元函數(shù)的圖形在直角坐標(biāo)系中，取x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D}稱為二元函數(shù)z=

f(x,y)的圖形，它通常是一張曲面，該曲面在z為豎坐標(biāo)，則空間中點(diǎn)集z=f(x,y)的定義域D.xy平面上的投影就是函數(shù)第37頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.3二元函數(shù)的極限與連續(xù)4.3.1二元函數(shù)的極限4.3.2二元函數(shù)的連續(xù)第38頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三4.3.1二元函數(shù)的極限定義4-2設(shè)二元函數(shù)f(x,y)定義在平面點(diǎn)集D上,P0(x0,y0)記為或?yàn)镈的聚點(diǎn)，A為一常數(shù).如果當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P

(x,y)在D內(nèi)沿任意路徑趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)f(x,y)無限趨于常數(shù)A，則稱A是f(x,y)當(dāng)P

(x,y)→P0(x0,y0)時(shí)的極限.第39頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三注1注2亦可寫成通常稱之為二重極限.若在D內(nèi)當(dāng)P沿著兩條不同的路徑趨向于P0動(dòng)點(diǎn)P在D內(nèi)趨向于定點(diǎn)P0的方式是任意的，即在D內(nèi)沿任意路徑趨向于P0，f(P)均以A為極限.時(shí)，

f(P)的極限不同，或者沿著某一路徑趨向于P0時(shí)，f(P)的極限不存在，則稱f(P)在P→P0時(shí)極限不存在，或稱之為發(fā)散.第40頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例5解：

當(dāng)k取不同值時(shí)，其極限不同，故原式極限(1)當(dāng)(x,y)沿射線y=kx趨于(0,0)時(shí)，有判斷下列極限是否存在,若存在求出其值.不存在.返回第41頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三(2)由得由此，當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)，故第42頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三例6解：(1)當(dāng)

(x,y)→(6,0)時(shí)，xy→0，sinxy～xy

，求下列極限.(1)(2)因此第43頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三(2)由乘積的極限運(yùn)算法則得第44頁，講稿共50頁，2023年5月2日，星期三定義4-32.二元函數(shù)的連續(xù)設(shè)二元函數(shù)zf

(x

y)在點(diǎn)

P0(x0

y0)的某鄰域

則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)處連續(xù)，否則稱函內(nèi)有定義，如果極限數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)處間斷（不連續(xù)）.第45頁，講稿共50頁，2023年