《一元二次不等式及其解法》

第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法本節(jié)主要講解一元二次不等式的解法。利用網(wǎng)絡(luò)公司的收費(fèi)問題引入新課，比較新穎。問題探究一利用三個二次的關(guān)系講解一元二次不等式解法。表格演示直觀具體強(qiáng)調(diào)圖像和求根的重要性和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用2個例題和1個變式加以鞏固，并總結(jié)解一元二次不等式的步驟問題探究二借助一元二次不等式的解法研究分式不等式和高次不等式的解法,用2個例題和2個變式加以鞏固.問題探究三是不等式的恒成立問題，通過例5強(qiáng)調(diào)了借助圖象和討論參數(shù)兩個要點(diǎn)，并且例5是含參問題，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想。恒成立問題也是高考的一個熱點(diǎn)。兩個網(wǎng)絡(luò)服務(wù)公司（InternetSericeProvider）的資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：電信：每小時收費(fèi)1.5元網(wǎng)通：用戶上網(wǎng)的第一小時內(nèi)收費(fèi)1.7元，第二小時內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時減少0.1元.（若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計(jì)算）<不妨設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)不超過17小時>一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保證選擇電信比選擇網(wǎng)通所需費(fèi)用少？分析：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時，1.7，1.6，1.5，1.4，……是以1.7為首項(xiàng)，以-0.1為公差的等差數(shù)列∵∴網(wǎng)通公司的收取費(fèi)用為如果能夠保證選擇電信公司比選擇網(wǎng)通公司所需費(fèi)用少，則整理得則電信公司的收取費(fèi)用為1.5x根據(jù)題意知，網(wǎng)通收費(fèi)1.7，1.6，1.5，1.4，……這是什么？考察下面含未知數(shù)x的不等式：15x2+30x－1>0和3x2+6x－1≤0.這兩個不等式有兩個共同特點(diǎn)：

（1）含有一個未知數(shù)x；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2.一般地，含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0(a≠0)的解集，就是分別使二次函數(shù)f(x)的函數(shù)值為正值或負(fù)值時自變量x的取值的集合。一元二次方程f(x)=0(a≠0)的解集，就是使二次函數(shù)f(x)為零時自變量x的取值的集合。因此二次函數(shù)，一元二次方程，一元二次不等式之間有非常密切的聯(lián)系。我們來考察它與其所對的二次函數(shù)的關(guān)系：（1）當(dāng)或時，（2）當(dāng)或時，（3）當(dāng)時，●●y>0,x軸上方y(tǒng)<0，x軸下方y(tǒng)=0，x軸上5一元二次不等式的解法思考：那么一元二次不等式怎樣去求解呢？下結(jié)論：結(jié)合圖像知不等式的解集是.推廣：那么對于一般的不等式或又怎樣去尋求解集呢？一元二次不等式的解法判別式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1x2xyOyxOx1yxO△>0△=0△<0有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1=x2=沒有實(shí)根{x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}ΦΦR{x|x≠

}求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的程序框圖:開始____?x1=x2?結(jié)束原不等式的解集為{x|______}將原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)求方程ax2+bx+c=0的兩個根x1、x2方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根△=b2－ac原不等式解集為R原不等式的解集為{x|______}(x1<x2)是否是否△≥0x<x1或x>x2x≠—b2a解：(1)因?yàn)椤?16-16=0方程4x2-4x+1=0的解是

x1=x2=1/2故原不等式的解集為{x|x≠1/2}（2）解不等式-x2+2x–3>0解：整理，得x2-2x+3<0因?yàn)椤?4-12=-8<0方程2x2-3x–2=0無實(shí)數(shù)根所以原不等式的解集為ф例1、（1）解不等式4x2-4x+1>0解:(2)由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0變式、解不等式-2x2+3x+5＞0解：整理，得2x2-3x-5＜0因?yàn)椤?9+40=49＞0方程2x2-3x-5=0的解是x1=2.5，x2=-1故原不等式的解集為{x|-1＜x＜2.5}解一元二次不等式的步驟：化標(biāo)準(zhǔn)：將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式（右邊為0、最高次的系數(shù)為正）；考慮判別式：計(jì)算判別式的值，若值為正，則求出相應(yīng)方程的兩根；下結(jié)論：注意結(jié)果要寫成集合或者區(qū)間的形式例2、求函數(shù)的定義域。解：由函數(shù)f(x)的解析式有意義得即

解得

因此1≤x<3，所求函數(shù)的定義域是[1，3).分式不等式和高次不等式解法例3、

C{或{例5、函數(shù)f(x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍．分析：令u=kx2-6kx+k+8，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽對任意的x，u=kx2-6kx+k+8的值恒大于0函數(shù)u=kx2-6kx+k+8的圖象恒在x軸的上方不等式恒成立的問題

解：∵f(x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定義域?yàn)镽，uxO即△=(6k)2-4k(k+8)

=32k2-32k＜0∴0＜k＜1∴k≥0當(dāng)k=0時，f(x)=lg8滿足條件.當(dāng)k>0時，∴只要△＜0∴f(x)的定義域?yàn)镽時，k的取值范圍為0≤k＜1．

例5、函