初中數(shù)學(xué)教資考試2022年下半年教資數(shù)學(xué)主觀題必背知識點匯總

全國教資考試初中數(shù)學(xué)主觀題必背知識點匯總

第一模塊初中基礎(chǔ)知識

第一章數(shù)與代數(shù)

第一節(jié)數(shù)與式

一、有理數(shù)

1.有理數(shù)的加法法則：

(1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

(2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較

大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加和為0；

(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

2.有理數(shù)的減法法則：

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a—b=a+(—b)。

3.有理數(shù)的乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負(fù)，并把絕對值相乘；

(2)任何數(shù)與0相乘都得0。

4.有理數(shù)的除法法則

(1)除以一個不等于0的數(shù),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即a+b=a￡(bH0)o

(2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。。除以任何一個不

等于0的數(shù)，都得0。

5.有理數(shù)的混合運(yùn)算順序

(1)先乘方，再乘除，最后加減；

(2)同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

(3)如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。

二、實數(shù)

1.相關(guān)概念

（1）算術(shù)平方根：如果一個正數(shù)％的平方等于a,即/那么這個正數(shù)

%叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為正，a叫做被開方數(shù)，a20。

（2）平方根：如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次

方根。注意-3是9的平方根；9的平方根是3和-3。正數(shù)有兩個平方根，他們

互為相反數(shù)；0的平方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根。

（3）立方根：如果一個數(shù)a的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次

方根。

（4）乘方：九個a相乘的積稱為a的n次幕，在〃中，相同的乘數(shù)a叫做底數(shù)，

a的個數(shù)n叫做指數(shù)，乘方運(yùn)算的結(jié)果即叫做累。即讀作。的葭次方。

（5）開平方：求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。

（6）開立方：求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。

（7）無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)。

（8）實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。

（9）二次根式：一般地，形如20）的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a>0

時，表示a的算術(shù)平方根，其中VU=0。

（10）最簡二次根式：滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得

盡方的因數(shù)或因式，符合這兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式。

2.二次根式運(yùn)算法則

（1）二次根式的加減法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡

二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。

（2）二次根式的乘法法則：Va-Vb=Vab（a>0,b>0）o

（3）二次根式的除法法則:.=J|（a>0,b>0）o

三、整式與分式

1.整式相關(guān)概念

（1）單項式：式子中只含數(shù)或字母的積，叫做單項式，單獨(dú)一個數(shù)或一個

字母也是單項式。

2

（2）單項式的系數(shù)與次數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)，

一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。

（3）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。每個單項式叫做多項式的項，

不含字母的項叫常數(shù)項。

（4）多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次

數(shù)。

（5）整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。

（6）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

（7）合并同類項：把多項式中的同類項合并成同一項，叫做合并同類項。

2.運(yùn)算法則

（1）合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項系

數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。

（2）去括號法則

如果括號外面的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相

同；如果括號外面的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相

反°

（3）整式加減的運(yùn)算法則

一般的，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。

（4）積的乘方法則：（立產(chǎn)=曉"1（〃為正整數(shù)），即積的乘方，等于把積的

每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘。

（5）整式的乘法法則

①單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)累分別相

乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

②單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的

每一項，再把所得的積相加。

③多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項

乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

④同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)募相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即a"+a"=

mn

a~（a0,TH、71都是正整數(shù)，且m>n）。

3

⑤單項式除以單項式：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)累分別相除，作為商的

因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

⑥多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單

項式，再把所得的商相加。

3.因式分解

（1）相關(guān)概念

①分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這.個

多項.式分解因式。注意：因式分解與整式乘法是方向相反的變形。

②提公因式法：將多項式寫成公因式與另一個因式乘積的形式，這種分解因

式的方法叫做提公因式法。

③公式法：平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-/。即兩個數(shù)的和與這兩個

數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。

④完全平方公式：（a±爐=a2±2ab+b\即兩個數(shù)的和（或差）的平方，

等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。

（2）分解因式的步驟

①先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

②再看能否使用公式法；

③用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的

目的；

④因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解；

⑤因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。

4.分式相關(guān)概念及運(yùn)算法則

（1）相關(guān)概念

①分式：一般地，如果4B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子1

叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

②分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，

分式的值不變。

③最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。

4

④通分：把幾個異分母的公式分別化成與原來的分母相等的同分母的分式,

叫做分式的通分。

⑤最簡公分母：為了通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有

因式的最高次基的積作為公分母，叫做最簡公分母。

⑥分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分別乘方。用字母表示為：6尸=

M（n為正整數(shù)）。

（2）分式的乘法法則

①分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為

積的分母。

②分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被

除式相乘。

③分式的乘除混合運(yùn)算，先統(tǒng)一成乘法運(yùn)算，能約分的要隨時約分，以減少

運(yùn)算量。另外，分式的乘方運(yùn)算要把分式加上括號，同時不要忽略分子、分母系

數(shù)的乘方，同時要注意符號問題。

④同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。

⑤異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑?/p>

再加減。

（3）分式方程及解法

①分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

②分式方程的解法：

A.去分母（方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程）;

B.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

C.驗根：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,

則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。

5.等式的性質(zhì)

（1）等式的性質(zhì)1：等式兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍

相等。即如果。=b,那么a±c=b士c。

5

（2）等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù),

結(jié)果仍相等。即如果a=b,那么ac=bc；如果a=b（c=O）,那么￡=g。

第二節(jié)方程與不等式

一、方程與方程組

1.解一元一次方程的一般步驟

（1）去分母

（2）去括號

（3）移項

（4）合并同類項

（5）系數(shù)化為1

2.解一元一次方程組的方法

（1）消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

（2）代入消元法：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再

代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做

代入消元法，簡稱代入法。

（3）加減消元法：當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個

方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法,

簡稱加減法。即二元一次方程組一消元一一元一次方程。

3.解一元二次方程的方法

（1）配方法

①概念：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。一

般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成（％+九）2=p的形式，那么就有：

當(dāng)p>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根：%i=-n-y/p,x2=-n+y[p-,當(dāng)p=0

時，方程有兩個相等的實數(shù)根：%1=小=九；當(dāng)p<0時，因為對任意實數(shù)工，都

有（％+71）2之0,所以方程無實數(shù)根。

②配方法解一元二次方程的一般步驟：

6

一移：移項，將常數(shù)項移到右邊，含有未知數(shù)的項移到左邊；

二化：二次項系數(shù)化為1,左右兩邊同時除以二次項系數(shù)；

三配：配方，左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

四開：開平方求根。

(2)公式法

①判別式：一般地，式子/—4ac叫做一元二次方程a/+bx+c=0(aH

0)根的判別式，通常用希臘字母“△”表示它，即

②當(dāng)△>￡)時，方程a/+bx+c=0(a0)有兩個不等的實數(shù)根；當(dāng)21=

0時，方程a/+bx+c=0(a。0)有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程

ax2+bx+c=0(a=0)無實數(shù)根。

③當(dāng)A20時，方程a/+bx+c=0(a=0)的實數(shù)根可寫為％=「""七，竺

2a

的形式，這個式子叫做一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的求根公式。解

一個具體的一元二次方程時，把系數(shù)直接帶入求根公式的方法叫做公式法。

④公式法解一元二次方程的一般步驟：

A.把方程化成一般形式，并寫出a,b,c的值

B.求出廬-4ac的值

C.代入求根公式

D.寫出方程的解Xi，%2

(3)因式分解法

①概念：先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這

兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次。這種解一元二次方程的方法叫做因式分

解法。

②因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

A.將方程右邊化為0；

B.將方程左邊化為兩個一次式的乘積；

C.令每個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程；

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D.解這兩個一元一次方程，他們的解就是一元二次方程的解。

4.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

根與系數(shù)的關(guān)系：一元二次方程a/+bx+c=0（aH0）中，+x2=

bc

a，二a一

二、不等式與不等式組

1.概念

一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一

元一次不等式組。

2.解集

一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫做由他們所組成的不等式組的解

集。解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，在求出這些解集

的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集。解不等式組口訣：同大

取大，同小取小，大小小大中間找，小小大大無解可找。

第三節(jié)函數(shù)

描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟

（1）列表——表中給出一些自變量的值與其對應(yīng)的函數(shù)值；

（2）描點——在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為

縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的個點；

（3）連線——按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描繪出的各點用平滑曲線

連接起來。

一、一次函數(shù)

L概念

形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，A=0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（%為自變量,y為

因變量）。特別地，當(dāng)b=0時，稱y是％的正比例函數(shù)。

2.性質(zhì)

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當(dāng)k>0時，y隨工的增大而增大；當(dāng)k<0時，y隨％的增大而減小。

二、正比例函數(shù)

1.概念

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kHO）,叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比

例系數(shù)。

2.性質(zhì)

正比例函數(shù)y=kx（k=0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，當(dāng)k>0時，直

線丫=-經(jīng)過第一、三象限，y隨工的增大而增大，當(dāng)k<0時，直線y=依經(jīng)過

第二、四象限，y隨工的增大而減小。

三、反比例函數(shù)

1.概念

形如y=：（k為常數(shù)，k手0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式孫=k,y=

/cx-1o

2.性質(zhì)

（1）當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值

隨工值的增大而減??；

（2）當(dāng)A<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值

隨力值的增大而增大。

四、二次函數(shù)

1.概念

一般地，形如y=a/+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aH0）的函數(shù)，叫做二次函

數(shù)。其中，%是自變量，a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和

常數(shù)項。

2.二次函數(shù)y=a/的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)丫=aX2的性質(zhì)：拋物線y=a%2的對稱軸是y軸，頂點是原點。當(dāng)

a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)a<0時，拋物線的開

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口向下，頂點是拋物線的最高點。對于拋物線y=a/,|a|越大，拋物線的開口

越小。

3.二次函數(shù)y=a(x-仔+k的圖象和性質(zhì)

二次函數(shù)y=a(x—h)2+k的性質(zhì)：拋物線y=a(%—h)2+k與y=ax?形

狀相同，位置不同，把拋物線y=aX2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋

物線y=a(x-h)2+鼠平移的方向、距離要根據(jù)九、Z的值來決定。特點如下:

(1)當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下。

(2)對稱軸是％=K

(3)頂點是(h,k)o

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

(1)二次函數(shù)的解析式三種形式

①一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a豐0)；

②頂點式y(tǒng)=a(x-K)2+k,y=a(x+^)2+言；”；

③交點式y(tǒng)=a(x-xt)(x-x2)o

(2)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)

①對稱軸：x=一9；

2a

②頂點坐標(biāo)：(―

2a4a

③與y軸交點坐標(biāo)(0,c)；

④增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨K增大而減??；對稱軸右邊，y隨

久增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨％增大而增大；對稱軸右邊，y隨％增

大而減小。

⑤圖象平移步驟：

A.配方：y=a(x-h.)2+k,確定頂點(/i,k)；

B.對x軸左加右減；對y軸上加下減。

⑥二次函數(shù)的對稱性：二次函數(shù)是軸對稱圖形，有這樣一個結(jié)論：當(dāng)橫坐

標(biāo)為X1，%2其對應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，那么對稱軸％=第。

⑦根據(jù)圖象判斷a,b,c的符號

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A.a決定開口方向；

B.a,b可以用左同右異判斷(對稱軸在y軸左邊，a,b符號相同，對稱軸在

y軸右邊，a,b符號相反)；

C.c是由拋物線與y軸的交點決定的。

5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)與％軸交點的橫坐標(biāo)》「不是一元二次方程

y=a/+bx+c(aH0)的根；拋物線y=a/+bx+c,當(dāng)y=0時，拋物線便

轉(zhuǎn)化為一元二次方程a/+bx+c=

(1)匕2一4就＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)圖象與

%軸有兩個交點；

(2)b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖象與x

軸有一個交點；

(3)匕2一4就＜0時，一元二次方程沒有實根，二次函數(shù)圖象與％軸沒有交

點。

第二章圖形與幾何

第一節(jié)直線、射線、線段

一、相關(guān)概念

(-)線

1.直線：直線無盡頭，可以向兩端無限延伸。

2.線段：平面中兩點之間的連線叫作線段。

3.射線：直線上的一點和它的一旁的部分組成的圖形稱為射線或半直線。

4垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫作這條線段的

垂直平分線。

5.角平分線：一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角

的射線，叫做這個角的角平分線。

。角

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1.角：具有公共端點的兩條不重合的射線組成的圖形叫作角。這個公共端

點叫作角的頂點，這兩條射線叫作角的兩條邊。一個角的兩邊分別垂直于另一

個角的兩邊，這兩個角相等或互補(bǔ)。

2.余角：如果兩個角的和等于90°,就說這兩個角互為余角。

3.補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°,就說這兩個角互為補(bǔ)角。

二、基本性質(zhì)

（-）直線、射線、線段的基本性質(zhì)

1.基本事實：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線，即兩點確定一條直

線。

2.基本事實：兩點的所有連線中，線段最短，即兩點之間，線段最短。

3.基本事實：經(jīng)過一點（直線上或直線外），有且只有一條直線與已知直線

垂直。

4.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端

點的距離相等。

5.逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線

上。

6.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

7.線段的中點到兩端點的距離相等。

（二）角的基本性質(zhì)

1.角平分線性質(zhì)定理：（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；

（2）角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

2.同角（等角）的補(bǔ)角相等；同角（等角）的余角相等。

三、相交線與平行線

（-）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

1.若兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，則稱兩個角互

為鄰補(bǔ)角，如N1和N2。

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2.若兩個角有一個公共頂點，一個角的兩邊為另一個角兩邊的反向延長

線，則稱兩個角互為對頂，如N1和N3。

3.兩條直線被一條直線所截，在兩條被截直線的同旁且在截線的同側(cè)的兩

個角，稱為同位角（如圖N1和N5）；

4.兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣關(guān)系的

兩個角叫做內(nèi)錯角（如下圖N3和N5）。

5.在兩條被截直線之間且在截線的同側(cè)的兩個角，稱為同旁內(nèi)角（如圖N4

和/5）。

四、平行線及其判定

（一）平行線

1.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。a與b互相平行，

記作a||bo

2.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

3.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

即如果b||a,c||a那么b||a。

（二）平行線的判定

1.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡

單說成：同位角相等，兩直線平行；

2.兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。簡

單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

13

3.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。

簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

（三）平行線的性質(zhì)

1.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同

位角相等。

2.兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)

錯角相等。

3.兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡單說成：兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

第二節(jié)三角形

一、三角形的邊

1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做

三角形。

2.分類：

（■三邊都不相等的三角形

三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

3.三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。即兩邊之

差〈第三邊（兩邊之和。

4.判斷三條線段能否組成三角形，將兩條較短的線段之和與最長的線段進(jìn)行

比較。

二、三角形的高、中線與角平分線

1.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線

段叫做三角形的高。

（1）直角三角形的三條高，一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條與兩條直角邊

重合，且三條高的交點為直角的頂點。

（2）銳角三角形的三條高內(nèi)在三角形的內(nèi)部，且有一個交點。

14

(3)鈍角三角形的三條高，一條高在三角形內(nèi)部，其余兩條在三角形外部,

它們沒有交點，但所在的直線有一個交點。

銳角三角形直角三角形鈍角三角形

高在三角形內(nèi)部的數(shù)311

量

高是否相交相交相交不相交

高所在的直線是否相相交相交相交

交

三條高所在直線的交三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部

點的位置

2.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中

線。

3.角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂

點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

4.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點，三角形中線的交點叫做三

角形的重心。

5.三角形的一邊的中線可以把這個三角形分成面積相等的兩部分。

三、等腰三角形與等邊三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)

(1)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)；

(2)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重

合，簡稱為“三線合一”。

(3)性質(zhì)3：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊中線所在的直線(軸

對稱圖形)。

2.等腰三角形的判定：

(1)判定1：定義法，有兩邊相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形

的對應(yīng)邊相等；利用垂直平分線的性質(zhì)。

(2)判定2：等角對等邊，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所

對的邊也相等。

15

3.等邊三角形角的特點

等邊三角形的三個內(nèi)角相等，并且每一個角都等于60。。

4.等邊三角形的判定：

（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

四、勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c2

2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足。2+*=。2。那么這個三

角形是直角三角形。

3.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于

斜邊的一半。

五、三角形的內(nèi)角

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為180°。

2.直角三角形的兩個銳角互余，反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角

形。

3.直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形4BC可以寫成Rt△ABC。

4.做題中常用的性質(zhì)：等角的余角相等。

5.三角形內(nèi)角和的證明

六、三角形的外角

1.三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的

外角。

16

2.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

七、多邊形的內(nèi)角和

1.多邊形內(nèi)角和公式：九邊形的內(nèi)角和等于（九-2）-180%

2.多邊形的外角和等于360°。

3.多邊形對角線的條數(shù)：從“邊形的一個頂點出發(fā)，可以做（n-3）條對角

線，多邊形的對角線有若2條。

八、三角形全等

1.三角形全等的判定公理及推論

（1）“邊邊邊”簡稱“SSS”：三邊分別相等的兩個三角形全等；

（2）“邊角邊”簡稱“SAS”：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等;

（3）“角邊角”簡稱“ASA”：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等;

（4）“角角邊”簡稱“AAS”：兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形

全等；

（5）斜邊和直角邊相等的兩直角三角形（HL）：斜邊和一條直角邊分別相

等的兩個直角三角形全等。

九、相似

（-）圖形的相似

1.相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形。

2.相似多邊形:兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，

那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。

3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等。

4.相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。

（二）相似三角形的判定

1.用相似符號“S”表示兩個三角形相似，書寫時應(yīng)把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位

置上。

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2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

互為相似形的三角形叫做相似三角形。

3.相似比：如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形

的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比（或相似系數(shù)），這里，

必須注意的是順序問題和對應(yīng)問題。例如：AABCMDEF,那么是△/8。與4

DEF的相似比，而不是指△DEF與△ABC的相似比，這兩個相似比互為倒數(shù)。由

此可說明全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比等于1時的特殊情況。

4.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對

應(yīng)線段成比例。結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），

所得的對應(yīng)線段成比例。

5.判定相似三角形的定理：

（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成

的三角形與原三角形相似；

（2）三邊成比例的兩個三角形相似；

（3）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

（4）兩角分別相等的兩個三角形相似。

（三）相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比;

2.相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（四）相似三角形應(yīng)用舉例

1.用三角形的相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度的問題。

2.“相似三角形對應(yīng)邊的比相等"—四條對應(yīng)邊中若已知三條則可求第四

條。

（五）位似

1.位似圖形：對應(yīng)頂點的連線相交于一點的兩個相似圖形叫做位似圖形。這

點叫做位似中心。

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2.位似變換中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變

換是以原點為位似中心，相似比為鼠那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或

-ko

第三節(jié)四邊形

一、平行四邊形

平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形

用“口”表示，例如平行四邊形ABCD記為“DABCD”

（一）平行四邊形的性質(zhì)

1.平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平

行四邊形的對角線互相平分。

2.兩平行線之間的距離：兩平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的

距離，叫做這兩平行線之間的距離。

（-）平行四邊形的判定

1.平行四邊形的判定：

（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（2）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

2.中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

3.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第

三邊的一半。

二、特殊的平行四邊形

（一）矩形

1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

2、矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等。AC=

BD。

19

3、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

4、矩形判定定理：

（1）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。

（二）菱形

1.菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每

一條對角線平分一組對角。

3.菱形的判定定理：

（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四條邊相等的四邊形是菱形。

4.S菱=[ab（a,b為兩條對角線）

（三）正方形

1.正方形：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

2.正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。

3.特殊性：正方形既是矩形，又是菱形。

4.正方形判定定理：

（1）鄰邊相等的矩形是正方形；

（2）有一個角是直角的菱形是正方形。

第四節(jié)圓

一、圓的相關(guān)概念

1.弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫作弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

2.?。簣A上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧。優(yōu)弧，劣弧

3.等圓或等?。耗軌蛑睾系膬蓚€圓叫作等圓，在同圓或等圓中能夠重合的弧

叫作等弧。

20

4.圓心角：頂點在圓心的角叫作圓心角。

5.圓周角：頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角。

6.圓的切線：如果一條直線與圓有且只有一個交點，那么這條直線就是圓在

交點處的切線。

7.外接圓：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫作圓

的內(nèi)接多邊形，這個圓叫作多邊形的外接圓。

8.弦切角：頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫作弦切

角。

二、圓的有關(guān)性質(zhì)

1.圓是軸對稱圖形、中心對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱

軸，圓心是它的對稱中心。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對應(yīng)的兩條弧。

垂徑定理的逆定理：平分非直徑的弦的直徑垂直于弦且平分弦所對的兩條弧;

平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心。

3.圓心角的性質(zhì)

（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

（2）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等。

（3）在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓心角相等，所對的弦也相等。

4.圓周角的性質(zhì)

（1）一條弧所對應(yīng)的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

（3）同弧或等弧所對的圓周角相等

5.切線的判定定理：經(jīng)過半圓的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

（2）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。

（3）圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

6.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一

21

點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

7.弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半。

推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角。

8.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。如

圖（1）所示，AM?MB=CM?MD。

9.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條

線段長的積相等。如圖（2）所示，PA-PB=PC-PD.

10.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交

點的兩條線段長的比例中項。如圖（3）所示，PC2=PA-PB.

11.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

三、點和圓、直線和圓的位置關(guān)系

（一）點和圓的位置關(guān)系

22

1.圓和點的位置關(guān)系：以點P與圓。的為例(設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心

的距離OP=d),則有：

(1)點P在圓外-d>r；

(2)點P在圓上一d=r；

(3)點P在圓內(nèi)一d<r0

2.不在同一條直線上的三個點確定一個圓。

3.外接圓：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是

三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。

4.三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；直角三角形的外心

是斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部。

(-)直線和圓的位置關(guān)系

1.直線與圓有3種位置關(guān)系：以直線/與圓。的為例(設(shè)。。的半徑為r,圓

心到直線的距離為d),則有：

(1)直線，與。。相交<r,直線和圓有兩個公共點；

(2)直線/與。。相切-d=r,直線和圓只有一個公共點，就說這條直線

和圓相切，這個點叫做切點。

(3)直線/與。。相離-d>r,直線和圓沒有公共點。

2.切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

4.切線長：經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這

點到圓的切線長。

5.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一

點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

6.內(nèi)切圓：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓

心是三角形三條角平分線的交點，稱為三角形的內(nèi)心。

23

7.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之

內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個

公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且

R>r,圓心距為P：外離P>R+r；外切P=R+r；相交R—r<P<R+r；

內(nèi)切P=R—r；內(nèi)含P<R—r。

四、弧長和扇形面積

1.扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

2.扇形弧長：1=鬻。

180

3.扇形面積：5=嚅=9/?。

3602

4.圓錐:是由一個底面和一個側(cè)面圍成的幾何體。

5.圓錐的母線：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐

的母線。

6.圓錐的高：連接圓錐頂點和底面圓心的線段叫做圓錐的高。

7.圓錐側(cè)面積：S御=1-2兀r?I=nrl

9.圓錐的全面積：S全=5側(cè)+S底=兀包+兀八.

第五節(jié)圖形的變化

一、圖形的軸對稱

如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個

圖形叫做軸對稱圖形；這條直線叫做對稱軸。

二、圖形的旋轉(zhuǎn)

L概念

把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點。轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點。

叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

2.性質(zhì)

24

對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

3.中心對稱

(1)概念

如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180。后能與另一個圖形重合，那么我們就說,

這兩個圖形成中心對稱。這個點叫做對稱中心，這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能夠重合的

對應(yīng)點叫做關(guān)于對稱中心的對稱點。

(2)性質(zhì)

中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中

心平分；中心對稱的兩個圖形是全等圖形。

三、圖形的平移

1.平移

在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平

移平移變換，簡稱平移。

2.對應(yīng)點

平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這

樣的兩個點叫做對應(yīng)點。

3.平移特點

平移不改變圖形的形狀和大?。粚?yīng)點連線平行且相等。

第三章統(tǒng)計與概率

第一節(jié)抽樣與數(shù)據(jù)分析

一、統(tǒng)計名稱

1.個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。

2.樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。

3.樣本容量：樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量。

25

4.簡單隨機(jī)抽樣：總體中的每一個個體都有相等的機(jī)會被抽到，像這樣的抽

樣方法是一種簡單隨機(jī)抽樣。

5.平均數(shù)

加權(quán)平均數(shù)：一般地，若n個數(shù)孫孫…,丁的權(quán)分別是Wi，W2,…,wn,則

X-X2W2+…,叫做這〃個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)。

w1+w2+---+wn

6.中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是

奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，

則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

7.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2222

8,方差：S=^[(%1-%)+(%2-^)+...+(Xn-%)]o方差越大，數(shù)據(jù)的波

動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。

二、直方圖

1.頻數(shù)：一般地，我們稱落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為該組的頻數(shù)。

2.頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。

3.組數(shù)和組距：在統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)按照一定的范圍分成若干各組，分成

組的個數(shù)稱為組數(shù)，每個小組的兩個端點之間的距離(組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍)稱

為組距。

4.直方圖與條形圖區(qū)別

相同之處：條形圖與直方圖都是在坐標(biāo)系中用矩形的高來表示頻數(shù)的圖形。

不同之處：直方圖組距是相等的，而條形圖不一定。直方圖各矩形間無空隙，

而條形圖則有空隙。直方圖可以顯示各組頻數(shù)分布的情況，而條形圖不能明確反

映這點。

5.扇形統(tǒng)計圖

圓心角的度數(shù)=百分比X360。

第二節(jié)事件的概率

26

一、隨機(jī)事件

1.必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件，稱為必然事件；

2.不可能事件：在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件，稱為不可能事件；

3.必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件。

4.隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件。

二、概率

1.概率：把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件/發(fā)生的概率，記

為PQ4）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能

性都相等，事件4包含其中的m種結(jié)果，那么事件/發(fā)生的概率P（A）=-n-，

2.0<P（71）<1,特別地，當(dāng)/為必然事件時，P（/）=1；當(dāng)/為不可能

事件時，P（/）=0o

3.用列舉法求概率

（1）在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的

可能性大小相等，那么我們可以通過列舉試驗結(jié)果的方法，求出隨機(jī)事件發(fā)生的

概率。

（2）列舉法常用的表現(xiàn)形式有：

①直接列舉法：適用于涉及的對象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果較少的情況。

②列表法：當(dāng)一次設(shè)計兩個因素時，且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時，為不重復(fù)不

遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法。

③畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗涉及3個因素或3個以上的因素時，列表法就不

方便了，為不重不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用畫樹狀圖法。

4.用頻率估計概率

（1）適用條件：當(dāng)試驗的所有結(jié)果不是有限個，或者各種可能結(jié)果發(fā)生的

可能性不相等時常用頻率估計概率。

（2）歸納：利用多次重復(fù)試驗，通過統(tǒng)計試驗結(jié)果估計概率的方法叫做用

頻率估計概率。當(dāng)試驗的次數(shù)九足夠大，頻率上越接近真實值。

n

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注意：概率是針對大量重復(fù)試驗而言的，大量重復(fù)試驗反應(yīng)的規(guī)律并非在每

一次試驗中都發(fā)生。

第二部分《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》

簡答和論述題整理

1.請簡述義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程性質(zhì)。

【參考答案】義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有

基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性。

（1）首先，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性。數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必

備的基礎(chǔ)知識和基本技能，是學(xué)生全面發(fā)展的重要基礎(chǔ)，能為學(xué)生未來生活、

工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)；

（2）其次，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程具有普及性。即義務(wù)教育階段的教育是

國家統(tǒng)一實施的所有適齡兒童、少年必須接受的教育，是國家必須予以保障的,

屬于義務(wù)教育。

（3）最后，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程具有發(fā)展性。通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，提升創(chuàng)新意識和實踐能力，促進(jìn)學(xué)生

在情感、態(tài)度與價值觀等方面的發(fā)展，為即將結(jié)束義務(wù)教育階段的初中學(xué)生的可

持續(xù)發(fā)展而設(shè)置的。

2.請簡述義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的設(shè)置要注意哪些方面。

【參考答案】數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學(xué)的特點，要符合學(xué)生的

認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思

想方法。

第一，課程內(nèi)容的選擇要反映社會的需要，即社會需要什么樣的人才，學(xué)校

就需要培養(yǎng)什么樣的人才并設(shè)置對應(yīng)的課程內(nèi)容，比如，現(xiàn)在社會需要創(chuàng)新型和

應(yīng)用型人才，那么數(shù)學(xué)課程的設(shè)置也要考慮到提升學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識;

第二，課程內(nèi)容的組織要符合數(shù)學(xué)的特點。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)注重嚴(yán)謹(jǐn)性和科

學(xué)性，因此在課程設(shè)時要重視知識的生成過程和推理論證的過程，處理好過程與

結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀教學(xué)，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視數(shù)學(xué)課程直接

經(jīng)驗的獲得，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系；

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第三，課程內(nèi)容的選擇要要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，即貼近學(xué)生的生活實際、

思維現(xiàn)實和認(rèn)知經(jīng)驗，要有利于學(xué)生體驗與理解、思考與探索，同時課程內(nèi)容的

呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性。

3.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》有兩類行為動詞，其中一類是描

述結(jié)果目標(biāo)的行為動詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”，其中另一類是描述

過程目標(biāo)的行為動詞，包括“經(jīng)歷”“體驗”“感悟”“探索”，請通過舉例說明各

含義。

【答題模板】

（1）了解：從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特

征，從具體情境中辨認(rèn)或舉例說明對象。

例1：“了解分式的概念”具體含義為：能夠舉例說出分式的的形式，即形

如今A,B均為整式，且B中含有字母的式子就叫分式，能在具體實例中初步認(rèn)

識分式。（結(jié)合動詞介紹并分析具體知識點）

例2：“了解等腰三角形的概念”的具體含義為：一個三角形中如果有兩條

邊相等，那么這個三角形稱為等腰三角形；相等的兩邊稱為等腰三角形的腰，

另一條邊稱為底邊；兩腰的夾角稱為頂角，兩腰與底邊的夾角稱為底角。（結(jié)

合動詞介紹并分析具體知識點）

（2）理解：描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的

區(qū)別和聯(lián)系。

例1：以“平行四邊形概念”為例，教學(xué)目標(biāo)中“理解”平行四邊形的概念和平

行四邊形對邊、對角相等的性質(zhì)。這些都屬于“理解”的目標(biāo)層次。學(xué)生在學(xué)習(xí)過

程中，能夠把握平行四邊形的概念，通過內(nèi)在邏輯聯(lián)系，以此為前提進(jìn)行推導(dǎo),

得到平行四邊形的對邊、對角相等的性質(zhì)。

例2：以“三角形相似的概念”為例，“理解”的具體含義為：能說出相似三角

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形的具體概念，會用符號表示兩個三角形相似邊和角的相關(guān)性質(zhì)，并能區(qū)分全等

與相似。

(3)掌握：多角度理解和表征數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，把對象用于新的情境。

例1：以“認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)”，教學(xué)目標(biāo)中學(xué)生能認(rèn)、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能

用數(shù)表示實際生活中物體的個數(shù)或事物的順序和位置。

例2：以“常見圖形的面積公式”為例，“掌握”的具體含義指，能在組合圖形

中運(yùn)用常見圖形，如三角形、平行四邊形、圓形、梯形等的面積公式求解陰影部

分圖形的面積。

(4)運(yùn)用：基于數(shù)學(xué)對象和對象之間的關(guān)系，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q

問題。

例1：證明"角角邊”定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩

個三角形全等。

例2：運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理解決最短路徑問題。

(5)經(jīng)歷：有意識地參加特定的數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，

獲得一些感性認(rèn)識。

例如：：經(jīng)歷觀察、對比的活動，認(rèn)識平行四邊形，初步得到平行四邊

形邊、角、對角線對印關(guān)系。

(6)體驗：有目的地參與特定的數(shù)學(xué)活動，驗證對象的特征，獲得一些具

體經(jīng)驗。

例1：通過直尺、量角器等進(jìn)行測量，驗證平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)，并嘗

試運(yùn)用