福建省福州市南靖縣第二中學2021-2022學年高二數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

福建省福州市南靖縣第二中學2021-2022學年高二數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是(

)A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB=AC，DB=DC，則AD=BCD．若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC參考答案：C【考點】空間點、線、面的位置．【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】逐一檢驗答案，A、B的正確性一致，C、D結合圖形進行判斷．【解答】解：A顯然正確；B也正確，因為若AD與BC共面，則必有AC與BD共面與條件矛盾C不正確，如圖所示：D正確，用平面幾何與立體幾何的知識都可證明．故選C．【點評】結合圖形，通過仔細分析及舉出反例，判斷各答案是否正確2.下列雙曲線中，焦點在x軸上且漸近線方程為y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程．【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線的方程結合雙曲線的標準方程的性質進行求解判斷．【解答】解：A．雙曲線的焦點在x軸，a=1，b=4，則雙曲線的漸近線方程為y=±x=±4x，B．雙曲線的焦點在x軸，a=4，b=1，則雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，滿足條件．C．雙曲線的焦點在y軸，不滿足條件．D．雙曲線的焦點在y軸，不滿足條件．故選：B【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解和應用，比較基礎．3.已知回歸直線的斜率的估計值為1.23，樣本點的中心為（4，5），則回歸直線方程為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．參考答案：C4.從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有(

)A40種

B

60種

C100種

D120種

參考答案：B略5.不等式ax２＋bx+2＞0的解集是，則a－b等于A.－4

B.14

C.－10

D.10參考答案：C6.函數(shù)的定義域為（

）A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞ C．(－5，0)D．(－2，0)

參考答案：A略7.已知直線l經過點M(－1,2)，且傾斜角為，則直線l的一個參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))()參考答案：B8.已知是三邊之長,若滿足等式,則等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.已知點是橢圓上的動點，為橢圓的左、右焦點，是坐標原點，若是平分線上一點，且，則的取值范圍是A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：B10.拋物線上兩點、關于直線對稱，且，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設橢圓(a＞b＞0)恒過定點A(1，2)，則橢圓的中心到準線距離的最小值是

．參考答案：略12.F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M，若，則C的離心率是

．參考答案：直線的方程為，由得：；由得：，的中點為.據(jù)題意得，所以.

13.已知為橢圓的兩個焦點,過的直線交橢圓于兩點,若,則=__________．參考答案：814.數(shù)列1，，，……，的前n項和為

。參考答案：

15.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中點，則異面直線AB1與A1M所成角為．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】連接AC1，利用三角函數(shù)計算結合題中數(shù)據(jù)證出∠AC1A1=∠A1MC1，從而矩形AA1C1C中A1M⊥AC1．再利用線面垂直的判定與性質，證出A1M⊥平面AB1C1，從而可得AB1⊥A1M，由此即可得到異面直線AB1與A1M所成的角．【解答】解：連接AC1∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，∴A1C1=BC=，Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1=；Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1=∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1可得矩形AA1C1C中，A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1，∵A1M?面AA1C1，∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，∴A1M⊥平面AB1C1結合AB1?平面AB1C1，得到AB1⊥A1M，即異面直線AB1與A1M所成的角是．故答案為：．16.已知，，，則的最小值是

．參考答案：4因為，根據(jù)基本不等式：，則，令，不等式轉化為：，解得：，即的最小值為4．

17.函數(shù)的導函數(shù)為，若對于定義域內任意，，有恒成立，則稱為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中為恒均變函數(shù)的序號是

．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分7分)證明函數(shù)只有一個零點．參考答案：證明：，其定義域是，

令，即，解得或．∵x>0，舍去．

當時，；當時，．Ks5u∴函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減∴當x=1時，函數(shù)取得最大值，其值為．當時，，即．

∴函數(shù)只有一個零點．19.動圓M與圓C1：（x+1）2+y2=外切，同時與圓C2：x2﹣2x+y2﹣=0內切，不垂直于x軸的直線l交動圓圓心M的軌跡C于A，B兩點（1）求點M的軌跡C的方程（2）若C與x軸正半軸交于A2，以AB為直徑的圓過點A2，試問直線l是否過定點．若是，請求出該定點坐標；若不是，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）設動圓M的半徑為r，推導出點M的軌跡是以C1（﹣1，0），C2（1，0）為焦點的橢圓，由此能求出點M的軌跡方程．（2）設直線l方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、圓的直徑、向量垂直，結合題意能求出直線l過定點（，0）．【解答】解：（1）設動圓M的半徑為r，圓C2：．（1分）由題意得|MC1|=+r，|MC2|=﹣r，（2分）∴．∴點M的軌跡是以C1（﹣1，0），C2（1，0）為焦點的橢圓，且長半軸長a=，焦半距2c=2，從而短半軸長b==1，于是點M的軌跡方程為．（4分）（2）設直線l方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，，．（6分）∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴==，（7分）∵點A2（，0）在以AB為直徑的圓周上，∴AA2⊥BA2，即．（8分）又=（，﹣y1），=（，﹣y2），∴（，﹣y1）?（，﹣y2）=0，即，代入得，化簡得，即，∴或．（9分）當時，過定點（，0），此為橢圓右頂點，不滿足；當時，，過定點（，0）．∴直線l過定點（，0）．…（10分）【點評】本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線是否過定點的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、圓的直徑、向量垂直的性質的合理運用．20.已知函數(shù)，其中為常數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調區(qū)間;(Ⅱ)設函數(shù)(),求使得成立的的最小值;(Ⅲ)已知方程的兩個根為,并且滿足.求證:.參考答案：(Ⅰ)因為,所以,當時,函數(shù)在上為單調遞增函數(shù);當時,函數(shù)在上為單調遞增,在上為單調遞減函數(shù).(Ⅱ)由已知,函數(shù)的定義域為,且,因為<0,所以在定義域內為遞減函數(shù),又因為=0,當時,,所以求的最小值為.(Ⅲ)由(Ⅰ)知當時,函數(shù)在上為單調遞增函數(shù),方程至多有一根,所以,,又因為,所以,可得.即,所以.21.如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.（1）求證：∥平面；（2）求證：；（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（1)連結交于，連結,因為四邊形為正方形，所以為的中點，又點為的中點，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，所以，//平面.（2）因為正方形與矩形所在平面互相垂直，所以，，而，所以平面，又平面，所以.（3）存在滿足條件的.依題意，以為坐標原點，、、