如何有效地組織學(xué)習(xí)材料數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

如何有效地組織學(xué)習(xí)材料杭州市文瀾中學(xué)王亞權(quán)數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

數(shù)學(xué)教學(xué)案例按照事件發(fā)生前的記錄者意識狀態(tài)可以分為兩類：

一類是事件發(fā)生前有意識地進(jìn)行安排，以觀察實踐實際發(fā)生與原先意圖的一致性情況，然后分析和反思，達(dá)到印證原先設(shè)想或某個教學(xué)理論的目的，平時教師對整節(jié)課的教后感或集體公開課后的評課就基本屬于這類情況。但是必須注意的是，由于是教學(xué)事件，因此必須具有典型性；

另一類是事件發(fā)生前記錄者無意識，當(dāng)事件發(fā)生后，對記錄者觸動較大，然后再給予記錄和反思，此類案例往往是一個教學(xué)過程中發(fā)生的一個偶發(fā)事件，屬“個案”的比較多,是數(shù)學(xué)教師“教學(xué)經(jīng)驗”的特殊組成部分，往往是數(shù)學(xué)教師的“個人教學(xué)收藏品”，如果能夠“拿出來與大家共同欣賞”，則能夠為其他數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供間接的經(jīng)驗積累，或許遇到“高水平的鑒賞家”，則更能提高“收藏品”的價值。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)方式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求。主題內(nèi)涵案例1代數(shù)式在哪里（一）、案例描述方法1：代數(shù)式在書本上。方法2：代數(shù)式在頭腦里。3n+1生1：x-5；生2：3a；生3：2x-1=7；……

某公園的門票價格是：成人10元，學(xué)生5元。一個旅游團有成人x人、學(xué)生y人，那么該旅游團應(yīng)付多少門票費？10x+5y

生4：筆記本的單價是x元，鋼筆的單價是y元，買10本筆記本和5支鋼筆的總價是（10x+5y）元。

生5：小聰先按x米/分的速度跑10分鐘，再按y米/分的速度走5分鐘，小聰共行的路程是（10x+5y）米。

生6：一個長為10，寬為x的長方形的面積與一個長為5，寬為y的長方形的面積的和是（10x+5y）代數(shù)式10x+5y還可以表示什么？案例一代數(shù)式在哪里（一）案例描述方法1：代數(shù)式在書本上。方法2：代數(shù)式在頭腦里。方法3：代數(shù)式在生活中。

（1）小明今年是a歲，兩年前是幾歲？

（2）長方形的長為m，寬為n，它的面積是多少？

（3）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b,這個兩位數(shù)該如何表示？

（1）七年級二班共有六個組，每個組有m位學(xué)生，該班共有多少位學(xué)生？

（2）某廠第一個月生產(chǎn)產(chǎn)品p件，第二個月增產(chǎn)了15%，第二個月生產(chǎn)產(chǎn)品多少件？

（3）學(xué)校做一張桌子需要米木材，做120張這樣的桌子需要多少木材？

（4）一個班有x名學(xué)生，其中男生占45%，女生人數(shù)為多少？

（5）某公園門票價格是：成人10元，學(xué)生5元。周末x個老師帶y個學(xué)生去公園，共需門票費多少元？

6m(1+15%)a120a3(1-45%)x10x+5y（二）、案例分析現(xiàn)代版的寓言——三個饅頭?！霸賱?chuàng)造”的教學(xué)策略的運用：

1、努力激發(fā)學(xué)生“再創(chuàng)造”的動機。

國際上著名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”。2、“再創(chuàng)造”應(yīng)以學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”為基礎(chǔ)。3、重視合情推理在“再創(chuàng)造”中的作用。4、引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)化過程中“再創(chuàng)造”。

5、實現(xiàn)從“再創(chuàng)造”到創(chuàng)造的飛躍。

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的研究表明，形成一個數(shù)學(xué)概念，往往要經(jīng)歷由過程開始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J(rèn)知過程。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)課程設(shè)置必須考慮，先給學(xué)生提供過程性的概念，使學(xué)生經(jīng)歷概念操作的過程，然后把這個過程逐步內(nèi)化，最終形成結(jié)構(gòu)性的概念。所以，數(shù)學(xué)課程應(yīng)盡量避免直接給學(xué)生提供明確的、結(jié)構(gòu)性的概念。（《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》徐斌艷，第112頁）

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動活潑地、主動地、富有個性地學(xué)習(xí)。

——《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

新課程意義下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要保證學(xué)生有足夠的時間和機會建構(gòu)性地接觸、認(rèn)識數(shù)學(xué)，從而理解數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué)。

——鐘啟泉《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》案例2：這個內(nèi)容要不要學(xué)（一）案例描述

“18世紀(jì)時，風(fēng)景秀麗的歐洲小城哥尼斯堡中有一條小河，河的中間有兩個小島，河兩岸與兩個小島之間共建有七座橋（圖1）。當(dāng)時小城的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能不重復(fù)地走過所有七座橋，再回到出發(fā)點？這就是數(shù)學(xué)史上著名的“七橋問題”，當(dāng)時許多人都試圖找出問題的答案，但都沒能找到，你愿意試試嗎？

后來，著名數(shù)學(xué)家歐拉知道了七橋問題，歐拉用四個點A、B、C、D分別表示小島和河岸，用七條線段表示七座橋（圖2）。于是問題就成為“如何一筆畫出圖2中的圖形？”歐拉經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，圖2不能一筆畫出。這就是說，找不到不重復(fù)地經(jīng)過所有七座橋的路線。這是為什么呢？讓我們先來看一筆畫的問題。

圖3中有四個圖形，請試一試其中哪些可以一筆畫出（筆尖不離開紙，每條線只畫一次）？再找?guī)讉€圖試一試，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

可以想象，凡是“一筆畫”，一定有一個“起點”，一個“終點”，還有一些“過路點”。有一條線進(jìn)入過路點，必有一條線離開過路點。這樣，與過路點相連的線必為偶數(shù)條。而與奇數(shù)條線相連的點，只能是起點和終點，這樣的點的個數(shù)只能是0或2（想一想什么情況下是0）。數(shù)一數(shù)，在表示七橋問題的圖2中，與奇數(shù)條線相連的點有幾個？由此你明白七橋問題無解的道理了嗎？在七橋問題中，如果允許你再架一座橋，能否不重復(fù)地一次走遍這八座橋？這座橋應(yīng)架在哪里？請你試一試！”

（一）、情境引入實際問題→數(shù)學(xué)問題→一筆畫（位置幾何學(xué)）

（二）、問題探索1、什么是“一筆畫”?2、探索規(guī)律：（1）解決“一筆畫”問題的關(guān)鍵是確定“奇點”、“偶點”的個數(shù)。（2）試判斷下列圖形能否“一筆畫”？并填好下表

圖形

奇點個數(shù)

偶點個數(shù)能否一筆畫12

……（3）在合作的基礎(chǔ)上，教師適當(dāng)加以引導(dǎo)得出如下結(jié)論：①能一筆畫的圖形必須是連通圖；②奇點個數(shù)為O個或2個的圖形能一筆畫。

0個奇點的圖，可以從任一偶點為起點，最后仍回到這一點；

2個奇點的圖，應(yīng)以一個奇點為起點，另一個奇點為終點。③奇點個數(shù)超過2個的圖形不能一筆畫。④（可視情給出）任一個圖形其奇點個數(shù)必為偶數(shù)，含2n(n>0)個奇點的連通圖，需n筆畫成。

（三）、應(yīng)用

1、讓學(xué)生運用上述規(guī)律解決“七橋問題”。

2、讓學(xué)生運用所學(xué)知識解決生活中的實際問題：

3、學(xué)生編制圖形.（四）、課外設(shè)計題（二）案例分析《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：在對數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，教材應(yīng)當(dāng)包含一些輔助材料，如史料、進(jìn)一步研究的問題、數(shù)學(xué)家介紹、背景材料等，還可以介紹數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的廣泛應(yīng)用（如建筑、計算機科學(xué)、遙感、CT技術(shù)天氣預(yù)報等），這樣不僅可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)的發(fā)展過程有所了解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以使學(xué)生體會數(shù)學(xué)在人類發(fā)展歷史中的作用和價值。這些輔助材料一般以“閱讀材料”“選學(xué)”“讀一讀”等形式出現(xiàn)。

對這類非“必學(xué)內(nèi)容”的處理，我們認(rèn)為有如下幾種處理方式：1、在課內(nèi)安排學(xué)習(xí)；2、在課外安排學(xué)習(xí)；3、開設(shè)活動課。思考題:

閱讀材料:“親眼所見,不總是真理”

在圖1中，初看起來，，AB<AC；在圖2中，似乎AB，BC，AC是向內(nèi)彎曲的。事實上，圖1中，，AB=AC；圖2中，AB，BC，AC是三角形的三條邊，這些例子說明，憑第一印象就作判斷會導(dǎo)致謬誤，這正如一句諺語所說“親眼所見，不總是真理”。

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)應(yīng)該是積極的，因為當(dāng)學(xué)生為了用有意義的方式學(xué)習(xí)教材而對輸入的信息進(jìn)行加工時，他們必須積極地做與學(xué)習(xí)有關(guān)的事情。

王希華《現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論評析》

當(dāng)兒童發(fā)現(xiàn)知識的個人價值和社會意義時，他們最想學(xué)習(xí)！在新課程教材內(nèi)容中，知識變得鮮活起來了，讓人看得見、摸得著，讓學(xué)生有親近感，喜歡上它了！

孫曉天史炳星〈〈初中數(shù)學(xué)新課程案例與評析〉〉案例3紙板夠用嗎（一）案例描述解之得（二）案例分析1、對教材的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行了重新組合，使學(xué)習(xí)的進(jìn)程更符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律。2、能抓住學(xué)生在學(xué)習(xí)中的一些習(xí)慣性思維，有效地進(jìn)行辨析、矯正。3、充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，在知識、思維、能力等層面加以延伸和拓展。問題解決的一般步驟：第一、理解題目未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？畫一張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?。實際問題數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化(波利亞的解決問題模式

)第二、擬訂方案你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？觀察未知量！并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目。你能重新敘述這道題目嗎？如果你不能解所提的題目，先嘗試去解某道有關(guān)的題目。你用到了所有的數(shù)據(jù)了嗎？你用到全部的條件了嗎？第三、執(zhí)行方案執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個步驟。你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎？你能證明它是正確的嗎？第四、回顧你能檢驗這個結(jié)果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)這個結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什么題目中利用這個結(jié)果或這種方法嗎？“所得結(jié)論正確嗎？如何驗證這個結(jié)論？”“解答有遺漏嗎？”“還有沒有其它的解法？”“通過這個問題的解答，我學(xué)到了什么？”……

甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行，如果甲比乙先走2時，那么他們在乙出發(fā)后經(jīng)2.5時相遇；如果乙比甲先走2時，那么他們在甲出發(fā)后經(jīng)3時相遇；求甲、乙兩人每時各走多少千米”？

思考題:列方程解應(yīng)用題

問題1：A、B兩地相距36千米，若甲、乙兩人都從A地出發(fā)去B地，乙比甲先走2時，甲出發(fā)后經(jīng)4時追上乙，甲每時走千米，乙每時走千米，畫出示意圖，列出方程。

問題2：你能否利用本題提供的數(shù)據(jù)背景將“行程問題”改編為其他問題？一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿一個有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好象通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域。

——喬治·波利亞

數(shù)學(xué)課程改革對教師能力提出了以下新的要求：收集和處理信息的能力、數(shù)學(xué)課程開發(fā)和整合的能力、現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的能力、廣泛利用數(shù)學(xué)課程資源的能力、指導(dǎo)學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)的能力。

——鐘啟泉：《數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論》

案例4要不要回避（一）案例描述

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA上的點，AE⊥BF，求證：AE=BF。

變1：若將BF向右平移到HF（保持與AE垂直），此時HF與AE還相等嗎？（如圖2）

變2：若將AE也往下平移至GE（保持GE與HF垂直），此時GE與HF相等嗎？（如圖3）

變3：設(shè)GE與HF的交點為O，若此交點在正方形外，在上述前提下，原題的結(jié)論還成立嗎？（如圖4）

第1組：如果E、F、G、H分別是四邊形ABCD的四條邊上的點，且EG=FH，則四邊形ABCD是正方形。

第2組：在正方形ABCD中，E、F、G、H分別在四條邊上，且EG=FH，則EG⊥FH。

第3組：……（二）案例分析開放式教學(xué)的策略：1、樹立開放的意識；

2、精心設(shè)計學(xué)習(xí)內(nèi)容；

3、做一個有心人；4、把握好開放的“度”;

5、處理好預(yù)設(shè)和生成的關(guān)系.

新課程的課堂教學(xué)不再是一個封閉系統(tǒng)，也不再拘泥于預(yù)先設(shè)定的固定不變的程式，而是強調(diào)預(yù)設(shè)的教案在實施過程中必須潛在和開發(fā)地接納始料未及的體驗，要鼓勵師生互動中的即興創(chuàng)造，超越目標(biāo)預(yù)定的要求。

—走進(jìn)課堂《初中數(shù)學(xué)新課程案例與評析》

美國學(xué)者戴爾.斯科特.里德利和比爾.沃爾瑟在《自主課堂》一書中提到：“當(dāng)教師面臨意料之外的教學(xué)困難時，當(dāng)務(wù)之急是引導(dǎo)學(xué)生成為自我指導(dǎo)和自主的學(xué)習(xí)者，這一點將比以往任何時候都重要”。對其校內(nèi)身份和校外身份的接納、認(rèn)可與尊重，對其個人興趣、感受、觀點、家庭生活、文化的尊重；集體歸屬感和同學(xué)間的依戀感；課堂管理中的抉擇、共享和參與的權(quán)利；個人職責(zé)、自主權(quán)和獨立權(quán)；與教師之間解決的人際關(guān)系；有意義、富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)；對自己的理解能力、學(xué)習(xí)能力的自信；積極的投入和參與，而非無精打采；創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)；個人目標(biāo)的實現(xiàn)；學(xué)習(xí)過程的樂趣；大量獲得知識的機會；自己的努力和成功得到公認(rèn)；信任；靈活多樣的學(xué)習(xí)方式；單獨學(xué)習(xí)的機會，以及與其他同學(xué)合作的機會；免于難堪的安全感，以及免于被哄騙著學(xué)習(xí)的安全感；對教師的教學(xué)方法和問題解決策略的了解；個性化的課程，可以把所學(xué)知識和課外生活聯(lián)系起來；明確的規(guī)則、程序和課堂結(jié)構(gòu)，以使行為、學(xué)習(xí)進(jìn)程透明化；詳細(xì)、準(zhǔn)確的反饋；在需要的時候愿意提供額外幫助的教師；最小的課堂競爭；教師對學(xué)生的期望值高，并且與學(xué)生能力相吻合；教師對待學(xué)生一視同仁。

調(diào)查結(jié)果表明，學(xué)生對課堂教學(xué)已不滿足于以教師為中心的課堂教學(xué)格局，絕大多數(shù)學(xué)生希望課堂能以他們?yōu)橹黧w，使課堂教學(xué)成為他們自主探究學(xué)習(xí)的過程。___摘自楊志文等“探究學(xué)習(xí)的調(diào)查、實踐與思考”

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2002年11期思考題1

求證：順次連結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形。幾何畫板帶來的問題思考題2

有甲、乙兩輛汽車從相距60km的A，B兩地相向而行，右圖中分別表示兩輛汽車離開A地的距離S（km）與行駛時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式，請你根據(jù)條件提出1-2個問題，并給出解答。

教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

——《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

教師在課堂上講什么當(dāng)然是重要的，然而學(xué)生想的是什么卻更是千百倍地重要。思想應(yīng)當(dāng)在學(xué)生的腦子里產(chǎn)生出來，而教師僅僅只應(yīng)起一個助產(chǎn)婆的作用……在給定的條件下，應(yīng)讓學(xué)生們盡可能多地靠他們自己去發(fā)現(xiàn)。

——喬治·波利亞《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》

案例5直角三角形的性質(zhì)定理（一）案例描述方案一：按教材的敘述方式進(jìn)行。方案二：由學(xué)生操作后得出定理。方案三：由學(xué)生合作探索后得出定理（二）案例分析

方案一：教師比較重視“教”的方法設(shè)計