空間直線、平面的垂直關(guān)系導(dǎo)學(xué)案 高三一輪復(fù)習(xí)

高考一輪復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案姓名：使用時(shí)間：第八章第五節(jié)空間直線、平面的垂直關(guān)系一、學(xué)習(xí)目標(biāo)【課標(biāo)解讀】1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中直線、平面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.【衍生考點(diǎn)】1.與線、面垂直(平行)相關(guān)命題的判斷2.線面垂直的判定及性質(zhì)3.面面垂直的判定及性質(zhì)4.平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用二、相關(guān)知識(shí)回顧1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.“任意”與“所有”是同義的,但與“無(wú)數(shù)”不同(2)判定定理與性質(zhì)定理定理名稱文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么“相交”條件至關(guān)重要該直線與此平面垂直a?b=O性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線

?a∥微點(diǎn)撥定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.如果一條直線與平面內(nèi)再多(即無(wú)數(shù)條)的直線垂直,但這些直線不相交就不能說(shuō)明這條直線與此平面垂直.微思考1當(dāng)直線m與平面α不垂直時(shí),在α內(nèi)是否一定存在無(wú)數(shù)條直線與m垂直?微思考2若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面嗎?2.直線和平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的所成的叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角.

(2)線面角的范圍:.

微點(diǎn)撥一條直線垂直于平面,則它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是0°的角.加上斜線與平面所成的角,故線面角范圍是[0°,90°].3.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角;(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點(diǎn),以該點(diǎn)為垂足,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫作二面角的平面角.

(3)二面角的范圍:[0°,180°].微點(diǎn)撥二面角的平面角定義中有三個(gè)關(guān)鍵詞:一是“棱上一點(diǎn)”,二是“在兩個(gè)半平面內(nèi)”,三是“作棱的垂線”.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理定理名稱文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條,那么這兩個(gè)平面互相垂直?α⊥性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直一是“在面內(nèi)”,二是“垂直于交線”?微點(diǎn)撥面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直線m⊥l,則m與平面β一定垂直嗎?常用結(jié)論1.直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.2.三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.三、考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)一與直線、平面垂直(平行)相關(guān)命題的判斷典例突破例1.(1)(2021四川涼山州三模)已知三條不重合的直線m,n,l,三個(gè)不重合的平面α,β,γ,下列命題中正確的是()A.m⊥l,n⊥l?m∥n B.m⊥α,m⊥β?α∥βC.α⊥(2)(2021山西太原二模)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥BC且PA=BC=1,PB=AC=2,PC=3,則下列命題不正確的是()A.平面PAB⊥平面PBCB.平面PAB⊥平面ABCC.平面PAC⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面ABC突破技巧判斷與空間平行、垂直關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法突破技巧判斷與空間平行、垂直關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法(1)借助幾何圖形來(lái)說(shuō)明線面關(guān)系.(2)尋找反例,只要存在反例,結(jié)論就不正確.(3)反復(fù)驗(yàn)證所有可能的情況,必要時(shí)要運(yùn)用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2021山東青島高三期末)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,l是一條直線,以下結(jié)論正確的是()A.若l⊥α,α∥β,則l⊥βB.若l∥α,l∥β,則α∥βC.若l⊥α,α⊥β,則l?βD.若l∥α,α⊥β,則l⊥β(2)(2021湖南師大附中高三月考)若m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且m⊥α,n?β,則“m∥n”是“α⊥β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件考點(diǎn)二直線、平面垂直的判定及性質(zhì)(多考向探究)考向1.直線與平面垂直的判定典例突破例2.如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中點(diǎn),F是CC1上一點(diǎn).當(dāng)CF=2時(shí),證明:B1F⊥平面ADF.考向2.直線與平面垂直的性質(zhì)典例突破例3.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AB=1,AD=2,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).(1)求三棱錐E-PAD的體積;(2)證明:無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處,都有AF⊥PE.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為D1D的中點(diǎn),O為底面ABCD的中心,求證:B1O⊥AP.考點(diǎn)三平面與平面垂直的判定及性質(zhì)典例突破例4.(2021新高考Ⅰ,20)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點(diǎn).(1)證明:OA⊥CD;(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2021陜西咸陽(yáng)模擬)如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為正方形,DE=BD=1,CE=2,點(diǎn)G為AD的中點(diǎn),點(diǎn)H為DE的中點(diǎn).(1)求證:平面ADEF⊥平面ABCD且FH⊥BE;(2)求三棱錐B-CEG的體積.考點(diǎn)四平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用典例突破例5.在多面體ABCDEF中,BC∥EF,BF=6,△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,四邊形ACDF是菱形,∠FAC=60°,M,N分別是AB,DF的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面AEF;(2)求證:平面ABC⊥平面ACDF.規(guī)律方法規(guī)律方法用幾何法證明空間中的平行與垂直關(guān)系,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用各種平行(垂直)關(guān)