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文檔簡介
2024學(xué)年貴州省遵義第二教育集團數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-82.三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.3.拋物線的焦點為F,點為該拋物線上的動點,若點,則的最小值為()A. B. C. D.4.的內(nèi)角的對邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點,其橫坐標(biāo)分別為,則()A. B. C. D.6.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.47.已知,若則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則的一個充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且9.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.410.已知函數(shù).設(shè),若對任意不相等的正數(shù),,恒有,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.11.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為176,320,則輸出的a為()A.16 B.18 C.20 D.1512.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,則不可能為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)恰好有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為____14.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),滿足,.,若是等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式_______.15.已知函數(shù),令,,若,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項和為,則_________16.已知公差大于零的等差數(shù)列中,、、依次成等比數(shù)列,則的值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知動圓E與圓外切,并與直線相切,記動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點的直線l交曲線C于A,B兩點,若曲線C上存在點P使得,求直線l的斜率k的取值范圍.18.(12分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.19.(12分)設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點處切線的傾斜角為,求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點,證明:當(dāng)時,.20.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)數(shù)列滿足,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【題目詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【題目點撥】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型,只需把這個變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述,則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.3、B【解題分析】
通過拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【題目詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時,有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【題目點撥】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【題目詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【題目點撥】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.5、A【解題分析】
畫出函數(shù)的圖像,函數(shù)對稱軸方程為,由圖可得與關(guān)于對稱,即得解.【題目詳解】函數(shù)的圖像如圖,對稱軸方程為,,又,由圖可得與關(guān)于對稱,故選:A【題目點撥】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6、A【解題分析】
先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項.【題目詳解】已知對于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)即時,取等號,當(dāng)時,函數(shù)沒有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個數(shù)為1個.故選:A.【題目點撥】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運用基本不等式時,滿足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】
根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【題目詳解】因為,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因為,所以,即,可化為,因為,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題,8、B【解題分析】由且可得,故選B.9、C【解題分析】
結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【題目詳解】由題意可得,則.故選:C.【題目點撥】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】
求解的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,對任意不相等的正數(shù),構(gòu)造新函數(shù),討論其單調(diào)性即可求解.【題目詳解】的定義域為,,當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減;不妨設(shè),而,知在單調(diào)遞減,從而對任意、,恒有,即,,,令,則,原不等式等價于在單調(diào)遞減,即,從而,因為,所以實數(shù)a的取值范圍是故選:D.【題目點撥】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題,根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題,屬于一般性題目.11、A【解題分析】
根據(jù)題意可知最后計算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【題目詳解】輸入的a,b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計算的結(jié)果為的最大公約數(shù),按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16,故選:A.【題目點撥】本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.12、D【解題分析】
依題意,設(shè),由,得,再一一驗證.【題目詳解】設(shè),因為,所以,經(jīng)驗證不滿足,故選:D.【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義,還考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
恰好有3個不同的零點恰有三個根,然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【題目詳解】解:恰好有3個不同的零點恰有三個根,令,,在遞增;,遞減,遞增,時,在有一個零點,在有2個零點;故答案為:.【題目點撥】已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點也是難點,這類題一般用分離參數(shù)的方法,中檔題.14、【解題分析】
利用遞推關(guān)系,等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】因為,所以,因為是等比數(shù)列,所以數(shù)列的公比為1.又,所以當(dāng)時,有.這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列,所以,故答案為:.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式,屬于簡單題目.15、4【解題分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算,結(jié)合數(shù)列的通項公式的求法,求得,,,進而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【題目詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,所以數(shù)列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算,以及等差數(shù)列的通項公式,累加法求解數(shù)列的通項公式,以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.16、【解題分析】
利用等差數(shù)列的通項公式以及等比中項的性質(zhì),化簡求出公差與的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化求解的值.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由于、、依次成等比數(shù)列,則,即,,解得,因此,.故答案為:.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列通項公式以及等比中項的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合已知條件,即可容易求得結(jié)果;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線相交則,結(jié)合由得到的斜率關(guān)系,即可求得斜率的范圍.【題目詳解】(1)因為動圓與圓外切,并與直線相切,所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為,所以點到點的距離等于點到直線的距離,所以圓心的軌跡為拋物線,且焦點坐標(biāo)為.所以曲線的方程.(2)設(shè),,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范圍為.【題目點撥】本題考查由拋物線定義求拋物線方程,涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍,屬綜合中檔題.18、(1)見解析;(2)存在,長【解題分析】
(1)先證面,又因為面,所以平面平面.(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點的坐標(biāo)表示,設(shè),則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【題目詳解】解:(1)證明:因為四邊形為矩形,∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面(2)取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,,,設(shè),;∴,,設(shè)平面的法向量為,∴,不防設(shè).∴,化簡得,解得或;當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴;綜上存在這樣的點,線段的長.【題目點撥】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查利用線面所成角求參數(shù)問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計算能力.19、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析【解題分析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,設(shè),證明函數(shù)單調(diào)遞減,故,得到證明.【題目詳解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零點,設(shè)零點為,故,即,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,設(shè),則,設(shè),則,單調(diào)遞減,,故恒成立,故單調(diào)遞減.,故當(dāng)時,.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.20、(1);(2)【解題分析】
(1)當(dāng)時,將原不等式化簡后兩邊平方,由此解出不等式的解集.(2)對分成三種情況,利用零點分段法去絕對值,將表示為分段函數(shù)的形式,根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【題目詳解】(1)時,可得,即,化簡得:,所以不等式的解集為.(2)①當(dāng)時,由函數(shù)單調(diào)性可得,解得;②當(dāng)時,,所以符合題意;③當(dāng)時,由函數(shù)單調(diào)性可得,,解得綜上,實數(shù)的取值范圍為【題目點撥】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立問題的求解,屬于中檔題.21、(1)證明見解析,;(2)【解題分析】
(1)利用,推出,然后利用等差數(shù)列的通項公式,即可求解;(2)由(1)知,利用裂項法,即可求解數(shù)列
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